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R-C-K 增长模型. 陈斌开 中央财经大学经济学院. 问题的提出. 在索洛模型中，储蓄率 s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“ 过度积累 ”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是 动态无效 的。当时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。. Ramsey-Cass-Koopmans 模型. 1. 模型的基本假定 2. 模型中决策主体的行为 3. 模型的动态学 4. 参数变化的影响 5. 收敛速度
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R-C-K增长模型 陈斌开 中央财经大学经济学院
问题的提出 • 在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
Ramsey-Cass-Koopmans模型 1.模型的基本假定 2.模型中决策主体的行为 3.模型的动态学 4.参数变化的影响 5.收敛速度 6.政府行为 7.模型总结
模型说明 • 基本思想： 储蓄率事实上是由家庭在约束条件下最大化一生效用来决定的； 是否储蓄是在当期消费与未来消费之间作出选择，其中蕴含着一个两难：增加当期消费会增加当期效用，但减少储蓄又意味着未来可能消费的减少； 家庭会根据目标函数进行动态最优决策，产生一个有效折衷，产生储蓄、消费的最优时间路径。
模型说明 • 索洛模型主要从生产角度研究平衡增长路径，空间是一维的； • R-C-K模型从生产者、家庭两个角度研究增长路径，空间是二维的。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费 家庭 厂商 相互拥有 销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息 循环图
本章概要 与索洛模型相似： • 本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生的。 与索洛模型不同： • 模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互作用中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再是外生的。 • 在R-C-K模型中，经济总量的动态学由微观层次的决策决定。
1.模型的基本假定 • 厂商 • 大量厂商，每一厂商具有同索洛模型相同的生产函数Y=F(K,AL)； • 要素市场、产品市场都是完全竞争的； • A外生以速率g增长； • 厂商最大化利润。
1.模型的基本假定 • 家庭 • 大量相同家庭（数量H），每一家庭规模以速率n增长（长生不老且没有新家庭加入）。 • 家庭每一成员在每一时点上供给1单位劳动，将所拥有资本均租给厂商，家庭拥有企业，因此，企业产生的利润归于家庭。 • 家庭最初资本持有量为： • 没有折旧
1.模型的基本假定 • 家庭在每一时点上将其收入用于消费和储蓄，比例取决于最大化一生效用的目标。 家庭效用函数：
家庭效用函数 存在大量相同的家庭（H），家庭的规模以n的速率增长。家庭拥有K（0）/H的初始资本。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以便最大化其终身效用。家庭的效用函数为： 式中，C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费。u( )是瞬时效用函数。L(t)是经济中的总人口，因此，L/H等于每个家庭的人口。u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总瞬时效用。 ρ是时间偏好率，表示获得效用越晚价值越低。ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来的消费估价越小。
ρ的说明——贴现 • 价值贴现 • 效用贴现
1.模型的基本假定 • 即期效用函数采用常相对风险厌恶的效用函数：
即期效用函数 • 风险厌恶： • 风险偏好： • 风险中性：
即期效用函数 • 相对风险厌恶系数（反映了效用函数的凹性）定义为：
即期效用函数 • 边际效用为正； • 当 趋于1，效用函数可以简化为lnC
时期j的消费 跨时期无差异曲线 斜率 时期i的消费数量 跨期替代弹性
瞬时效用函数采取如下形式： 由于该函数的消费替代弹性为1/θ，因此被称为不变跨期替代弹性效用函数。 边际效用弹性（其绝对值就是相对风险厌恶系数）：消费每增加1％，边际效用下降的百分比。 θ越高，随着消费的增加，边际效用就下降的越快，家庭就越不愿意消费的波动。
瞬时效用函数性质总结 • 边际效用为正，边际效用递减。 • 相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）为常数。 • 跨期替代弹性为常数。
考虑有效劳动的家庭效用函数 • 定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：
2.模型中决策主体的行为 • 厂商： 厂商使用资本和劳动力，按其边际产品付酬，销售所生产的产品，由于是完全竞争市场，而且规模报酬不变，所以获得零利润。
2.模型中决策主体的行为 • 资本的边际产品 • 有效劳动的边际产品：
2.模型中决策主体的行为 • 资本的边际产品为资本的真实报酬率，也即真实利率，在t时为： • 一个工人在t时的劳动收入等于A乘以有效劳动的边际产品：
作出储蓄—消费决策 储蓄 当期收入 消费 购买产品 提供产品
厂商的行为 厂商 竞争性厂商获得零经济利润。 在竞争市场，且假设没有折旧，因此资本报酬率等于其边际产品： 劳动的真实工资等于其边际产品： 每单位有效劳动的真实工资：
2.模型中决策主体的行为 • 家庭 目标函数： 约束条件：一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生劳动收入的现值。
预算约束 • 按照有效劳动数量进行正规化：
预算约束的集约形式（有效劳动） • 由于
2.模型中决策主体的行为 使用拉格朗日函数法求解 • The fist-order condition for an individual c(t) is:
经济含义：当且仅当资本的边际生产力(r)大于效用的贴现率(ρ)时，人均消费的增长率才会增加。换句话说，人均消费或人均储蓄的增长率是由资本的边际生产力和效用的贴现率这两个变量内生决定的。此即个人储蓄或资本积累的内生性。经济含义：当且仅当资本的边际生产力(r)大于效用的贴现率(ρ)时，人均消费的增长率才会增加。换句话说，人均消费或人均储蓄的增长率是由资本的边际生产力和效用的贴现率这两个变量内生决定的。此即个人储蓄或资本积累的内生性。
2.模型中决策主体的行为 • 为单位有效劳动消费的增长率 • 人均消费的增长率： • 资本报酬率大于贴现率，消费增长率大于0； 厌恶风险程度越高，消费对资本报酬率与贴现率差额的反应越小。
家庭最优化 家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效用(通过构造拉格朗日函数计算)。 每单位有效劳动消费的最优增长率： 欧拉方程 每个工人的消费C(t)等于A(t)c(t)，其增长率为： 该式意味着，如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。
3.模型的动态学 • c的动态学
3.模型的动态学 • k的动态学
