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第十章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分. 返回. 一、主要内容. 1. 曲线积分与曲面积分. 2. 各种积分之间的联系. 3. 场论初步. 联系. 联系. 1. 曲线积分与曲面积分. 对面积的 曲面积分. 对弧长的 曲线积分. 曲线积分. 曲面积分. 定义. 计算. 定义. 计算. 对坐标的 曲线积分. 对坐标的 曲面积分. 曲 线 积 分. 对弧长的曲线积分. 对坐标的曲线积分. 定义. 联系. 计 算. 二代一定 ( 与方向有关 ). 三代一定. 与路径无关的四个等价命题. 条件. 等 价 命 题. 曲 面 积 分.

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第十章 曲线积分与曲面积分

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Presentation Transcript

  1. 第十章 曲线积分与曲面积分 返回

  2. 一、主要内容 1.曲线积分与曲面积分 2.各种积分之间的联系 3.场论初步

  3. 联系 联系 1. 曲线积分与曲面积分 对面积的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 曲线积分 曲面积分 定义 计算 定义 计算 对坐标的 曲线积分 对坐标的 曲面积分

  4. 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 二代一定 (与方向有关) 三代一定

  5. 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题

  6. 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 联系 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)

  7. 2. 各种积分之间的联系 定积分 计算 曲线积分 Green公式 Stokes公式 计算 计算 曲面积分 重积分 Guass公式

  8. 积分概念的联系 定积分 二重积分

  9. 曲线积分 三重积分 曲线积分 曲面积分

  10. 计算上的联系

  11. 其中

  12. 理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 格林公式

  13. 三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式

  14. 或 Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系 推广 推广

  15. 3. 场论初步 梯度 通量 散度 环流量 旋度

  16. 二、典型例题

  17. 对弧长的曲线积分的计算方法练习 二、对弧长的曲线积分 解法：化为参变量的定积分计算 解题步骤： （1）画出积分路径的图形； （2）把路径L的参数式子写出来： （3）将ds写成参变量的微分式，代入并计算： 注意：参数大的作为上限β，小的作为下限α

  18. 二、对弧长的曲线积分-例1 解 a/2

  19. 二、对弧长的曲线积分-例2-1 Y 解： B O A(a,0) X

  20. Y B O A X 二、对弧长的曲线积分-例2-2

  21. 二、对弧长的曲线积分-例3-1 解 oA： 过点 o (0, 0, 0) ，平行于 y轴， 方程： AB： 过点 A (0, 2, 0) ，平行于 x轴，

  22. 二、对弧长的曲线积分-例3-2 AB： 过点 A (0, 2, 0) ，平行于 x轴， 方程： BC： 过点 B (3, 2, 0) ，平行于 z轴， 方程：

  23. 二、对弧长的曲线积分-例3-3 BC： 过点 B (3, 2, 0) ，平行于 z轴， 方程： 于是，

  24. 对坐标的曲线积分的计算方法：四种 三、对坐标的曲线积分-解法1 解法1：化为参数的定积分求解 （1） （2） （3）

  25. 三、对坐标的曲线积分-解法2 解法2：利用格林公式求解 注意： （1）P（x，y）、Q（x，y）在闭域D上一阶偏导数的连续性； （2）曲线L是封闭的，并且是取正向。

  26. 三、对坐标的曲线积分-解法3 解法3：L不闭合，则补充边L’使L+L’闭合，在再用格林公式

  27. 三、对坐标的曲线积分-解法4 解法4：利用与路径无关条件求解

  28. 三、对坐标的曲线积分-例1 解

  29. 三、对坐标的曲线积分-例2 解 P，Q在 D上具有一阶连续偏导数。 由格林公式，有

  30. 三、对坐标的曲线积分-例3 解 Y A 1 B 1 O 2 X 选择路径OBA，则

  31. 三、对坐标的曲线积分-例4-1 解 P，Q在全平面一阶连续偏导数。 且全平面是单连通域。 因此，曲线积分与路径无关。

  32. 三、对坐标的曲线积分-例4-2 且全平面是单连通域。 因此，曲线积分与路径无关。 取一简单路径：AB + Bo .

  33. 三、对坐标的曲线积分-例5-1 解 P，Q在全平面一阶连续偏导数。 补上直线段 AB，L与AB 所围为 D。 在 D域上应用格林公式。

  34. 三、对坐标的曲线积分-例5-2 补上直线段 AB，L与AB 所围为 D。 在 D域上应用格林公式。

  35. 三、对坐标的曲线积分-例6-1 Y L b L1 -a O a X -b 解 在L包围的椭圆区域内作顺时针方向的小圆周L1：

  36. 三、对坐标的曲线积分-例6-1 在 D1域上应用格林公式，有 Y L b 所以， L1 D1 -a O a X -b

  37. 对面积的曲面积分的计算法 二、对面积的曲面积分的计算法 解法：化为投影域上的二重积分的计算 解题步骤： 1、画出曲面∑的草图； 2、由曲面∑的方程，写出其去曲面微分ds 3、计算在投影面上的二重积分；

  38. z y O x 例1-1 解： ∑在xOy面上的投影域为： 投影域在极坐标下可表示为：

  39. z y O x 所以， 例1-2

  40. 例2-1 z 解： 如图所示，记上半球面为∑1 ∑1 记下半球面为∑2 a ∑2 则 ∑=∑1+∑2 y O x ∑1的方程为：

  41. ∑1在xOy面上的投影域为： 例2-2 投影域在极坐标下可表示为： z ∑1 a ∑2 y O x 同理，可得 故

  42. 例3-1 z 解： 半球壳的方程为： O y x

  43. 此半球壳在xOy面上的投影域为： 例3-2 在极坐标系下可表示为： z 故，所求转动惯量为： O y x

  44. 对坐标的曲面积分的计算法 二、对面积的曲面积分的计算法1 解法有三种： 1、通过投影化为二重积分

  45. 二、对面积的曲面积分的计算法2 2、利用两类曲面积分之间的联系

  46. 二、对面积的曲面积分的计算法3 3、利用高斯公式 （1）曲面∑闭合，且P、Q、R在闭曲面∑所围成的空间区域Ω中有连续的一阶偏导数，则 （2）若曲面∑不闭合，且P、Q、R比较复杂，P、Q、R在∑+ ∑*（ ∑+ ∑*闭合）所构成的空间区域Ω中有连续的一阶偏导数，则

  47. 例1-1 例1计算 其中  是圆柱面 在第一卦限中 的部分的前侧. 解

  48. 例1-2

  49. 例1-3 于是，

  50. 例2-1 Dxy 例2计算 其中  是平面 在第一卦限内的上侧 。 解 方法一，化为投影域上的二重积分 因为取∑的上侧，所以

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