Difusão e Random walks

1. Difusão e Random walks

2. Na aula passada Aula do prof. Raul Donangelo: na página Marcelo A. F. Gomes Fractal Geometry in crumpled paper balls American Journal of Physics 55, 649 (1987)

3. Na aula anterior • Random walk 1 dimensão •  • Random walk 2 dimensões •  • Self-avoiding walks • Passo constante • Passo aleatório • Difusão

4. Difusão e Random walk Random walk seguir a trajetória de uma partícula Difusão estudar como a densidade de moléculas varia: r(x,y,z,t)

5. Para definir a densidade dV Infinitésimo físico pequeno o suficiente comparado a tamanhos macroscópicos Muito maior que distâncias interatômicas: contém um número grande de moléculas

6. Equação de difusão parâmetro relacionado à constante de difusão dos random walks D

7. Difusão em uma dimensão Solução Com s=s(t)

8. Difusão

9. Como implementar numericamente Discretizar x e t i= posição n= tempo r(x,t)= r(iDx,nDt)=r(i,n)

10. Diferenças finitas

11. Substituindo

12. Para fazer o programa n= tempo n=0 a tfinal i= posição i=-L a L bordas ? Fixas e distantes

13. Estabilidade Distúrbio se espalha de s durante um passo de simulação

14. Programa Para–L<i<L r(i,0) =0.d0 r(0,0) =1.d0 • Inicializa r: • Para n= 1 até tfinal • Para i= -L+1 até L-1 • Escreve r para n desejado: t = 0, 10, 100

15. Random walk e difusão 1 dimensão bin=1 105 realizações passo=+-1 D=1 t = n 1 realização Dx=1.0 D =1 Dt=0.5 t=nDt Satisfaz a condição de estabilidade

16. Random walk e difusão t=0

17. Random walk e difusão t=10 passos t=10Dt -6<x <6

18. Random walk e difusão t=100passos t=100Dt -20<x <20

19. t=10Dt ~ -6 < x < 6 x 10 x t=100Dt ~ -20 < x < 20

20. Oscilação da densidade - RW Se um RW começa da origem e dá um número par de passos de tamanho 1 ele só pode estar num sítio par!

21. Oscilação da densidade - difusão Densidade inicial concentrada em um único sítio:r(0,0)=1.0 Menor dimensão do sistema Singularidade: delta de Dirac, carga puntual

22. Soluções Tomar a média sobre sítios adjacentes (RW-aula passada)

23. Bin=2 RW t=10 passos t=100 passos

24. Soluções Tomar a média sobre sítios adjacentes (RW-aula passada) Espalhar a densidade inicial sobre vários sítios

25. Largura inicial w=3 sítios t=10Dt t=100Dt

26. Largura inicial w=9 sítios t=10Dt t=100Dt

27. Difusão em 2D t=0 t=6Dt t=20Dt Dt=0.25, Dx=1.0, D=1.0, |x,y| <=10 Estabilidade: mais restritiva em Dt

28. Café com creme – Como fazer RW ? Cada molécula executa um random walk em uma rede 2D Permitimos múltipla ocupação em cada sítio A cada passo escolhemos uma molécula aleatoriamente

29. 400 moléculas em uma rede 200x200 t=0 t=104

30. Passando o tempo t=105 t=106 comportamento difusivo

31. Entropia Função de estado

32. 2a lei da termodinâmica t=0 Entropia baixa t grande Entropia alta

33. Entropia para café com creme grid: 8x8 =64 Não é igual a rede icélulas

34. Para 1 molécula de creme Estado i: molécula localizada na célula i do grid Pi = probabilidade de encontrar a molécula no estado iem um determinado t

35. Entropia Medida do grau de desordem do sistema Wnúmero de estados acessíveis Muito ordenado Sgrande Muito desordenado

36. Definição estatística de entropia Soma sobre todas as células do grid Muitas moléculas: cálculo de Pi

37. 2a lei da termodinâmica t=0 Entropia baixa Creme TODO no centro da xícara Creme em torno do centro da xícara S pequeno

38. 2a lei da termodinâmica t grandes Entropia alta Hipótese ergódica: todos os estados de um sistema em equilíbrio vão ser ocupados com igual probabilidade

39. 2a lei da termodinâmica As partículas se espalham para ocupar todos os estados possíveis e maximizam a entropia

40. Modelos de crescimento de cluster Modelo DLA Difusion limited aggrgation Modelo de Eden

41. Modelo de Eden  Escolha uma semente (0,0)  encontre o perímetro do cluster • (1,0) e (0,1)  escolha aleatoriamente um sítio do perímetro para ocupar  encontre o perímetro do novo cluster  escolha aleatoriamente um sítio do perímetro para ocupar  até o tamanho desejado

42. Modelos de crescimento de cluster Modelo de Eden

43. Modelos de crescimento de cluster DLA - Difusion limited aggregation

44. Dimensão fractal Aro Disco esfera cluster

45. Dimensão fractal Modelo de Eden

46. Referência • Computational Physics, Nicholas Giordano