Algebarske jednadžbe

Algebarske jednadžbe Određivanje područja korijena te približno određivanje korijena

Zadana je algebarska jednadžba stupnja n: kojoj je i svi koeficijenti iz skupa realnih brojeva. Tada ona ima n rješenja, pri čemu ako je jedno rješenje kompleksno onda imamo sigurno i konjugirano kompleksno. Zato algebarska jednadžba neparnog stupnja ima bar jedno realno rješenje.

Određivanje područja rješenja • Pitamo se da li je osim pomoću tablice i grafičkog prikaza moguće još nekako odrediti u kojem intervalu(ako su rješenja realna) tj. području(ako razmatramo i kompleksna rješenja)

Teorem • Neka je gdje su ak koeficijenti zadane algebarske jednadžbe. Tada apsolutne vrijednosti svih rješenja xk zadovoljavaju nejednakost

Posljedica • Neka i . Tada je

Teorem • Neka je i prvi od negativnih koeficijenata polinoma P(x). Tada za gornju granicu pozitivnih korijena jednadžbe P(x)=0 možemo uzeti

Metoda zbroja znakova • P(x)=Q1(x)-Q2(x)+Q3(x)+....+Q2m(x) • Q1(x) zbroj članova sa pozitivnim koeficijentima počevši od a0xn • Q2(x) zbroj članova sa negativnim koeficijentima • Tražimo takve pozitivne brojeve cj da vrijedi Q2j-1(cj)-Q2j(cj)>=0,j=1,...,n • Tada gornja granica pozitivnih korijena je R=max{c1,c2,...,cn}

Broj realnih rješenja • Ako je P(a)P(b)<0, na intervalu <a,b> polinom P(x) ima neparan broj rješenja(uračunavajući njihove višestrukosti). • Ako je P(a)P(b)>0, na intrvalu <a,b> polinom P(x) ili nema rješenja ili ih ima paran broj (uračunavajući njihove višestrukosti).

Teorem(Descartes) • Broj pozitivnih rješenja algebarske jednadžbe P(x)=0, računajući njihove višestrukosti, jednak je ili manji broju promjena predznaka u sustavu

Teorem(Newton) • Ako imamo polinom P(x) i imamo broj C za koji vrijedi da je vrijednost polinoma u točki C i svih njegovih derivacija veće ili jednaka od nule tada C možemo uzeti za gornju granicu pozitivnih korijena jednadžbe P(x)=0 • P(n)(C)=n! tj. a0=1

Približno određivanje korijena • Metoda Lobačevski-Greffe • Postupak kvadriranja korijena

Metoda Lobačevski-Greffe • Neka su korijeni jednadžbe P(x)=0 takvi da vrijedi: • Metoda je točnija što su rješenja udaljenija • Zatim rješavamo sustav

Metoda kvadriranja korijena • Koristimo je u slučaju kada rješenja nisu dovoljno razmaknuta • Formiramo novi polinom Q(x)=A0yn+A1yn-1+...+An-1y+An čija su rješenja yk=-xk2

Koeficijente Ak dobivamo iz • Zatim rješavamo sustav: • Imamo:

Algebarske jednadžbe