江苏省大学生力学竞赛教练员培训研讨会

1. 江苏省大学生力学竞赛教练员培训研讨会 材料力学 动载荷 南京航空航天大学 邓宗白 2014年9月12日

2. 动载荷 一、动静法 二、杆件受冲击时的应力和变形 三、强迫振动的应力计算

3. 动静法 一、动静法 将遍布于构件整个体积内的惯性力附加在构件上，构件在作用力与惯性力的共同作用下保持动力平衡状态，把动载荷问题作为静载荷来处理，这就是动静法，或称为达朗贝尔原理。 1、匀加速直线运动 动荷系数： 动应力： 注：若不考虑重力的影响

4. 有一钢杆长为 ， 端固定一重量为 的物体， 端刚性固联在小车上，如图所示。杆自身重度为 ，当小车沿斜面方向以等加速度 前进时，试求杆 端截面处的最大拉应力及最大压应力。 动静法 例1

5. 解： 杆自重 为轴向均布载荷 杆的惯性力 是与 反向的均布载荷 杆受横力如图（c）所示。 动静法 重物 的惯性力 是与 反向的集中载荷

6. 杆受轴力如图（d）所示。 动静法

7. 动静法 2、匀速转动 动荷系数： （1）平面运动 物体在一个平面内作匀速转动，其向心加速度一般为一个常量。 （2）空间运动 物体在空间内作匀速转动，其向心加速度通常是一个变量。

8. 动静法 例2 图示开口圆环， 端与刚性杆 连接， 杆绕通过 点的铅垂轴以等角速度 作水平转动。已知：材料的密度为 ，弹性模量为 ，圆环平均半径为 ，环杆横截面直径为 ，试求 点的径向位移和该截面的转角（只考虑弯曲效应）

9. 段弧长上的惯性力: 在 点加一径向单位力 点径向位移为 动静法 解：单位弧长上的惯性力: 任意圆心角 对应横截面上的弯矩为 用单位力法求解

10. 截面的转角为 动静法 在 截面加一单位力偶，如图（d）所示

11. 图示重为 、长为 的杆件 ，可在铅垂平面内绕 点自由转动，当此杆以等角速度 绕铅垂轴 旋转时，试求： （1） 角的大小； （2）杆上的最大弯矩。 动静法 例3

12. 匀速运动时，应满足平衡方程 ，即 动静法 解：（1）杆 重力 惯性力

13. 动静法 （2）在垂直杆轴向的分量 重力的分量 惯性力的分量 在垂直杆轴向的支反力 为 杆内弯矩：

14. 有极小值，为 0； 有极大值， 动静法 又 故 由 将 代入，得最大弯矩为

15. 杆件受冲击时的应力和变形 二、杆件受冲击时的应力和变形 1、冲击物垂直下落冲击 ２、冲击物水平以速度　冲击

16. 杆件受冲击时的应力和变形 题型分类： （１）静不定结构和组合变形的冲击； （２）非线性结构的冲击； （３）突然刹车引起的冲击； （４）考虑被冲击杆件质量的冲击； （５）其他。 注：冲击问题的求解关键是能量守恒原理。

17. 图（a）所示重为 的重物自高位 处自由下落冲击于薄壁圆环顶点 ，已知 为常数，求 点的最大动位移的计算式。 杆件受冲击时的应力和变形 一、静不定结构和组合变形的冲击 例4

18. 杆件受冲击时的应力和变形 解：当环顶端A处作用静力P时，求 。取1/4圆环AD段，如图（b）所示。 由正则方程 （D截面处的转角为0） 解得：

19. 杆件受冲击时的应力和变形 由莫尔定理，顶端A的垂直位移： 顶端A点的最大动位移：

20. 杆件受冲击时的应力和变形 例5 图示折杆 在 段的自由端截面 处有一重物 自高度 处下落。已知 ， ， ， ， ， ，试按第三强度理论计算结构受冲击时 段的最大动应力。

21. 杆件受冲击时的应力和变形 解： 段弯曲变形引起 点的位移为： 段扭转变形引起 点的唯一为 ，先求 杆 的 截面受扭矩： 两端支反力偶：

22. 杆件受冲击时的应力和变形 段弯曲变形引起 点的位移为 ，先求 如图（c）所示，当 时， ，挠曲线一般方程式为： 当 时， ，得

23. 杆件受冲击时的应力和变形 将 ， 的值代入，得 点静位移

24. 杆的弯曲和扭转作和变形， 截面为危险截面。 杆件受冲击时的应力和变形

25. 有一悬臂梁 ，长度为 ，抗弯刚度为 ，梁本身自重可忽略不计。在自由端 下方有一弹簧，与之相距一铅垂的间隙 ，当在梁自由端作用一静载 时，梁正好与弹簧接触，若将 突然放在自由度上，则梁接触弹簧后使弹簧压缩 。求弹簧刚度值 。 杆件受冲击时的应力和变形 二、非线性结构的冲击 例6

26. 杆件受冲击时的应力和变形 解： 加载后重物 势能减少： 梁的变形能： 弹簧变形能：

27. 杆件受冲击时的应力和变形 能量守恒原理： 弹簧刚度： 又 故

28. 杆件受冲击时的应力和变形 例7 （第三届全国周培源大学生力学竞赛试题） 图示两相同梁AB、CD，自由端间距 ，当重为Q的物体突然加于AB梁的B点时，求CD梁C点的挠度 。

29. 杆件受冲击时的应力和变形 解： 重物降下的位能为 变成两杆的应变能。 杆1 杆2 即 由题 ，代入后得 即

30. 图示两根完全相同的悬臂梁，抗弯刚度为 ，在自由端两者有一间隙 ，今有一重物P从高度 落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹性范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。 杆件受冲击时的应力和变形 例8

31. 解：当梁受到最大冲击力作用时，上梁的最大挠度为 ， 下梁的最大挠度为 ，根据能量守恒原理，有 杆件受冲击时的应力和变形 即： 所以： 设两梁中间的相互作用力为F，则： 消去F得最大冲击力：

32. 在悬臂钢梁的端部装一吊车，将重物以匀速 下放（如图）。今吊车突然制动，求钢绳中的动应力。设梁长为　，抗弯刚度为　　，绳长为　，绳的横截面积为　，钢的弹性模量为　，重物的重量为　，梁与车的质量不计。 杆件受冲击时的应力和变形 三、突然刹车引起的冲击 例9

33. 杆件受冲击时的应力和变形 解：将梁与绳看成一弹性系统，该系统的柔度系数（载荷与 柔度系数相乘即给出载荷作用点的变形）为： 设制动前系统的变形量为 ，制动后系统的变形量为 （图（b））。根据能量守恒原理，制动前、后能量相等，于是： （a） （b） 式中 为制动后绳中的动拉力。由胡克定律知：

34. 杆件受冲击时的应力和变形 将（b）式代入（a）式，得： 即： 动荷系数： 故绳中的动应力为： 式中 是绳中的静应力，。

35. 图（a）所示均质悬臂梁重为 ，在自由端受到重物 自高度为 的自由落体的冲击。如果考虑杆件的质量，试求动荷系数的表达式。 杆件受冲击时的应力和变形 四、考虑被冲击杆件质量的冲击 例10

36. 杆件受冲击时的应力和变形 解：悬臂梁自由端受P作用时的挠曲线方程为： （1）求相当质量 所以： （2）求冲击物与相当质量的共同速度 记

37. 杆件受冲击时的应力和变形 由动量守恒 （3）求动荷系数 式中：

38. 矩形等截面悬臂梁高 ，宽 ，长 。重Q的重物从高 　　 　　　处落到自由端并附着它。梁的重量不计，E为材料的弹性模量， 为截面轴惯性矩。 Q H 求：1、梁内最大冲击正应力 ； 　　将梁设计成两段等长的阶梯梁（两段各长　　），梁高　保持不变，各段梁宽度可按要求设计。在梁内最大冲击正应力不变的条件下，按最省材料原则，阶梯梁在靠自由端一段宽　，靠固定端一段宽　，则 h b b2 b1 h h H A B 2、比值　　　； 杆件受冲击时的应力和变形 五、其他类型的冲击 例11（第四届全国周培源大学生力学竞赛试题） 3、阶梯梁比等截面梁节省材料（分数或百分数表示）

39. Q H h b b2 b1 h h H A B 杆件受冲击时的应力和变形 解：１） ２） 故得：

40. Q H h b b1 b2 h h H A B 杆件受冲击时的应力和变形 ３）

41. Q h b QL 杆件受冲击时的应力和变形

42. 杆件受冲击时的应力和变形 由 有 则

43. 杆件受冲击时的应力和变形 例12 （江苏省第三届大学生力学竞赛试题） 如图所示，由相同材料和相同截面尺寸的等直杆组成的桁架当重物从H的高度下落到D点时，动力放大系数（最大冲击载荷与对应静载荷之比）为10。若将桁架各杆的截面面积提高50%，而保持结构其余几何参数，重物下落的高度和位置不变，则： 1、动力放大系数为多少？ 2、在安全因数相同的条件下，重物的许用重量提高多少？（用百分数表示）（忽略桁架质量及冲击过程的能量损失，并设结构为线弹性）

44. 杆件受冲击时的应力和变形 解: 1、设动力放大系数为K，则： 其中 为D点静位移。将K=10代入上式得： 因桁架为线弹性结构，静位移与杆横截面面积A成反比。 其中B、P与截面面积无关，

45. 杆件受冲击时的应力和变形 设横截面面积增加后的桁架D点的静位移为 ，动力放大系数为 ，许用载荷为 ，则 故

46. 杆件受冲击时的应力和变形 2、桁架最大动应力与动载荷 成正比，与杆横截面面积成反比 其中：C与 和A无关。 当新旧桁架许用最大动应力相等时安全因数相同

47. 杆件受冲击时的应力和变形 例13 钢杆以速度 水平撞击刚性壁，若杆的弹性模量 密度 。假设冲击时，杆的轴向应力线形分布，A端为零，B端最大，试求杆的最大轴向冲击力。

48. 杆件受冲击时的应力和变形 解：由能量守恒 其中，设A端为坐标起点，杆长为 ，横截面面积为A。 用密度表示质量 解出最大轴向应力

49. 强迫振动的应力计算 三、强迫振动的应力计算 振动物体的运动方程为： 其中， 为重力， 为弹簧系数， 为干扰力， 为阻尼力。 系统的固有频率 阻尼系数

50. 强迫振动的应力计算 设把干扰力 按静载荷的方式作用于弹性系统上的静位移为 放大系数： 振幅： 振动的动荷系数：