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Lecture 5: AC Circuits (Inductor )

Lecture 5: AC Circuits (Inductor ). Jeong Wan Lee 전기회로이론 및 실험. The Inductor.  시간에 따라 변하는 전류는 자기장 B를 만들고,  시간에 따라 변하는 자기장 B 는 전류를 유도한다.  전류가 순간적으로 0이 되도, 자기장 B 는 곧바로 0이 되지는 않는다.  DC Response: di/dt = 0. => V = 0 Short circuit  AC Response:.

nikita
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Presentation Transcript

  1. Lecture 5: AC Circuits (Inductor) Jeong Wan Lee 전기회로이론 및 실험

  2. The Inductor  시간에 따라 변하는 전류는 자기장 B를 만들고,  시간에 따라 변하는 자기장 B는 전류를 유도한다. 전류가 순간적으로 0이 되도, 자기장 B는 곧바로 0이 되지는 않는다.  DC Response: di/dt = 0. => V = 0 Short circuit  AC Response:

  3. Cont...  AC High Frequency Response: - di/dt = very large (infinite?), V = very large - Approaches an open circuit  Inductor의 직렬연결  Inductor의 병렬연결 Leq = L1 + L2 + L3 Leq=1 / (1/L1 + 1/L2 + 1/L3)  ENERGY STORAGE

  4. Inductor의 자연응답 회로의 스위치을 연결할때 전류의 거동은? 초기에는 inductor에 흐르는 전류는 0이고,  전류가 0이기 때문에 저항에서의 전압 강하도 0이다  따라서 초기의 inductor 사이의 전압은 전압소스의 전압과 같다. 루프에 KVL을 적용하면 : t=0 i(t) + vL(t) L VS - R 또한, Inductor에서의 전류와 전압 관계:

  5. Cont... 만약 구해진 루프의 식의 양변을 미분하면 그리고 윗식을 vL(t)의 관계로 정리하면: 윗식은 first order ordinary differential equation 의 형태이고 해의 형태는 다음과 같다.: 또한 미분을 이용하면,:

  6. Cont... 이 관계를 정리한 식에 대입하면: and canceling: K값을 구하기 위하여, 전압의 initial condition을 생각하면: t=0일때 v(0) = VS이다. 따라서 해는: This is a exponential decay, and thus the voltage will decay as follows:

  7. Cont... vL(t) Inductor사이에 흐르는 전류가 증가함에 따라, 전압은 감소한다. t 전류의 계산: 루프의 원래의 식에서, vL(t)의 해를 윗식에 대입

  8. Cont... 따라서: This will have the following form, which again is what we predicted: iL(t) 여기서 IT는 정상상태의 전류이다. (정상상태에서 inductor는 short circuit과 같은 거동을 한다. t

  9. Discharging the capacitor or inductor 지금까지의 내용: inductor 와 capacitor 에 DC supply 가 연결됐을 때의 거동 Point: inductor에서 load (resistor)로 discharge될때의 거동은?  다음과 같은 회로를 고려하자. t=0 i(t) + VS vC(t) R C - R

  10. Cont... 시간 t<0 의 구간에서는 capacitor 는 전압소스에 의하여 fully charged되어 있다. 따라서, capacitor 의 전압은 supply voltage VS와 같다.  여기서 스위치를 power supply와는 끊고, 저항과는 연결시킨다. Analysis: 새로운 루프에 대하여 KVL 을 적용하면: 양변을 미분하면:

  11. Cont... Capacitor의 전압과 전류 관계에서: 따라서: 위의 1차 상미분 방정식의 해를 구하면: 즉, 로드 저항으로 흐르는 전류는 지수함수적으로 감소한다.

  12. Phasors and Impedance 기본 관계식 (복소수): as * 주파수  (rads/s)와 위상차를 갖는 사인형의 함수의 일반적 표현 * Phasor notation: 사인형 함수의 복소표현 Phasor Notation - Magnitude A and Phase .

  13. Lecture 5-1: 미분방정식의 해 Jeong Wan Lee 전기회로이론 및 실험

  14. RLC회로의 해석 방법 Recall: 이 관계를 이용하여, capacitor나 inductor가 포함된 회로를 해석한다.: 회로에 KVL이나 KCL을 적용할 때 사용된다.

  15. Example 1

  16. 1st Order Ordinary Differential Equation 앞장에 유도된 식은 1차 상미분방정식이다. 한 개의 L 혹은 C 가 있는 회로: 1차 상미분방정식 General Form: 일반적인 해법: 1. 자연 응답을 구한다 (Natural Response). - 소스가 없는 경우의 L 이나 C 의 거동을 의미한다. - L 이나 C 가 charged up 되었다고 가정한 다음, 만약 discharge 된다면 회로는 어떤 거동을 할 것인가? (initial conditions 과 연관) 2. 강제응답을 구한다 (Forced Response). - 소스가 있는 경우의 L 이나 C 의 거동을 의미한다. - L 이나 C 가 uncharged되었다고 가정하고, 만약 소스에 의해 charged 된다면 회로는 어떤 거동을 할 것인가? (source의 형태와 연관) 3. 완전한 해를 구한다 (Complete Response). - 자연응답과 강제응답을 더한다.

  17. Natural Response의 해법 Inductor의 예: Capacitor의 예: Steps: 1. Zero source (homogeneous equation) 2. Postulate a solution 3. Substitute it in 4. Solve for transient part of solution using equation 5. Solve for constant part using initial conditions

  18. Forced Response의 해법 Steps: 1. Postulate solution (either v or I) 2. Substitute in: 3. Group like terms: 4. Coeffiecients of sin and cos must BOTH be zero. Solve for A and B: Zero source (homogeneous equation) 고려사항: 소스가 다음과 sin 형태인 경우를 고려하자. vs(t)=Vcos(wt)  Fact: 소스가 sin형태이면, output(전압,전류)은 항상 같은 주파수의 sin 형태이다. (magnitude와 phase만 달라진다.)

  19. Cont... a) Postulate solution (either v or I) of the form: i(t) = |I|cos(wt+f) = Asin(wt) + Bcos(wt) 여기서,|I| = sqrt(A^2 + B^2), tan(f) = B/A b) Substitute in: - Capacitor의 경우: [Aw cos(wt) - Bw sin(wt)]+1/RC [Asin(wt)+Bcos(wt)] = 1/R [-wV sin(wt)] - Inductor의 경우: [Aw cos(wt) - Bw sin(wt)] + R/L [Asin(wt) + Bcos(wt)] = 1/L [V cos(wt)] c) Group like terms: - Capacitor의 경우: cos(wt) * [Aw + B/RC] + sin(wt) *[-Bw + A/RC + wV/R] = 0 - Inductor의 경우: cos(wt)* [Aw + BR/L - V/L] + sin(wt) * [-Bw + AR/L] = 0

  20. Cont... d) Coeffiecients of sin and cos must BOTH be zero. Solve for A and B: - Capacitor의 경우: Aw + B/RC = 0 -Bw + A/RC + wV/R = 0  A = -V(wRC) / [R( 1 + (wRC)2)]  B = V(wRC)2 / [R( 1 + (wRC)2)] - Inductor의 경우: Aw + BR/L - V/L = 0 -Bw + AR/L = 0  A = V(Lw/R)2 - V/[Lw(1+R/(Lw)2)]  B = (V/R) / [1+(Lw/R) 2] Forced Response: i F (t) = |I|cos(wt+f) = Asin(wt) + Bcos(wt)  Complete Response iT(t) = iN(t) + iF(t)

  21. Time Constant Natural Response: iN (t) = IO e-t/(RC) OR iN (t) = IO e-tR/L 일반적인 형태로 바꾸면: iN (t) = IO e-t/t - 여기서 t는 time constant (rate of decay)  t가 t 일때, 63.2 % 감소한다.

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