مثلثات

1. مثلثات

2. مفاهیم مثلثاتی در مثلث قایم الزاویه تعریف می شود .

4. دو زاویه حاده(تند) داریم،که با فرمول های زیر سه نسبت مثلثاتی را برای زوایا تعریف می کنیم.

5. Sin A =Aوتر / ضلع مقابل به • Sin B =Bوتر / ضلع مقابل به • Cos A=Aوتر / ضلع مجاور به • Cos B =Bوتر / ضلع مجاور به • Tan A =Aضلع مقابل به / A ضلع مجاور به • Tan B = Bضلع مقابل به / Bضلع مجاور به

6. محاسبه نسبت های مثلثاتی

7. نسبت های مثلثاتی زاویه محاسبه کنید..ابتدا با استفاده از نقاله زاویه ای 35درجه رسم می کنیم سپس بااستفاده از گونیا مثلث قایم الزاویه ای روی اضلاع این زاویه می سازیم ،به طوری که این زاویه 35 درجه یکی از زاویه های حاده مثلث حاصل باشد،سپس اضلاع این مثلث را با خط کش اندازه گیری می کنیم و با استفاده از فرمول های مثلثاتی نسبت ها را بدست میاوریم .

8. Sin c= sin 35 = 2/6.2 = 0.81cos c = cos 35 = 4/6.2 = 0.57tan c = tan 35 = 2/4 = ½ = 0.5

9. مثال

10. Sin c= sin 65= 2/3.5 = 0.57cos c = cos65= 3/3.5 = 0.85tan c = tan 65 = 2/3

11. رابطه ی تانژانت با شیب

12. شیب هر خط برابر با tan زاویه ای است که خط با جهت مثبت محور xها میسازد .

13. 2y/2 = 2x/2 + ½y=x+0.5tan x = 1x = 45

15. رابطه نسبت های مثلثاتی

17. تاریخچه مثلثات

18. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که پایه گذاری و پیشرفت آن را بیش از هر جای دیگر مدیون ریاضیدانان شرق و به ویژه ایرانی هستیم. • بررسی های اختـر شناسـی، ریاضیدانـان بابـل و یونان باستان را به سوی موضوع هایی کشانده بود که می توان به عنوان پیدایی مفهوم های نخستین مثلثات به شمار آورد. اقلیدس از نخـستین دانشمندانـی است کـه در ایـن زمینـه تلاشهـایـی کرده است. آریستـارک و اراتوستن بخاطر محاسبه های مربوط به اختر شناسی و زمین سنجیاز مفهوم های اولیه مثلثات استفاده می کردند.

19. تلاش ارشمیدس ضمن بررسی دایره به محاسبه وترها و پیدا کردن زاویه هایی برای وترهای مجموع و تفاضل دو کمان رسید. شاید بتوان هیپـارک را به مفهومـی بنیـان گذار مثلثات دانست. او در محاسبه های خود، تقسیم بندی شصت شصتی بابلی را در دایره (درجـه، دقیقـه، ثانیـه و غیره) پـذیرفت • وجــدولـی تنظیم کرد که در آن، برخـی از وتـرها محاسبه شده بود، و این کهن ترین جدول مثلثاتـی است که تا کنون شناختـه شده است. منـه لائوس هم بررسی هایی دارد که می توان به نحوی به مثلثات روی صفحه و روی کره تعبیر کرد. بطلمیوس در نوشته اساسی خود که ریاضیدانان ایرانی به آن "المجسطی" می گفتند، مثلثات زمان خود را آورده است.

20. ولی یونانی ها ، مثلثات را به عنوان بخشی از هندسه می دانستند و بیشتر استدلالهای خود را با استفاده از قضیه های هندسی انجام می دادند. آن ها همیشه از وتر کمان ها استفاده می کردند و در نوشته هـای آن ها نمی توان چیزی به معنای خط های مثلثاتی کمان ها پیدا کرد. • نخستین گام را در این راه ها دانشمندان هندی برداشتند. آریا بهاتا، مفهوم سینوس را بـه کـار برد و آن را "اردها جیا"(یا "حیااردها"، به معنی نصف وتر) و یا بطور خلاصه "جیا" نامید. از اینجا به بعد، همه پیشرفت های مثلثات را مدیون ریاضیدانان دوره حکومت اسـلامی و به ویژه ایرانی هستیم.

21. خوارزمی جدول سینوس ها را تنظیم کرد. بتانی مفهوم کتانژانت را (که ظل تمام می نامید) وارد کرد. ابوالـوفای بوزجانی و ابـوریحان بیرونی، از تانژانت (ظل) هم استفاده کردند، دستور محاسبه سینوس مجموع و تفاضل دو کمان را به دست آورند و بـرخی از حالت های مثلث کروی را حل کردند.سرانجام نصیرالدین توسی، با جمع بندی کارهای ریاضیدانان ایرانی پیش از خود، با تالیف کتاب "کشف القناع فی اسرار شکل القطاع" در واقع نخــستین کتـاب را دربـاره مثلثات نـوشت. نقش توسـی را در مثلـثات، بـاید شبیه اقلیدس در هندسه دانست

22. نخــستین کتـاب را دربـاره مثلثات نـوشت. نقش توسـی را در مثلـثات، بـاید شبیه اقلیدس در هندسه دانست، ترجمه ای که از کتاب توسی به زبان فرانسوی انجام گرفت مدت ها بصورت کتاب درسی، در اروپای غربی تدریس می شد.از جمشید کاشانی هم باید نام ببریم که توانست با حل جبری یک معادله درجه سوم، مقدار سینوس یک درجه را (که در محاسبه های اختر شناسی لازم بود) به دست آورد. • با انتشار نوشته های ریاضی دانشمندان ایرانی در غرب، بـه تـدریج کـارهـای ریاضـیدانان در اروپای غربی و جنوبی ظـاهـر شـد. فویـربـاخ (سـده پانزدهم میلادی) جدول تازه ای برای سینوس ها نوشت.

23. رژیومونتان (دانشمند آلمانی و شاگرد فویرباخ)، عـدد نویسی دهدهی را (که جمشید کاشانی در کتاب "مفـتاح الحـساب" خـود برای نخـستین بار شرح داده بود) در جدولهای مثلثاتی وارد کرد. قدیمـی ترین کـتاب کـامـل مثلثات در اروپای غربی از اوست. کپرنیک (اختر شناس سده های پانزدهم و شانزدهم) روی دستورهای اصلی مثلثات کروی کار کرد. رتیکوس شاگرد کوپر نیک، جدولی شامـل نسبت های مثـلـثاتی کـمان ها، از صـفر درجـه تا 90درجـه تنظیـم کرد. ویت (دانـشمنـد فـرانـسوی سده شانزدهم) دربـاره بستگی ســینوس و کـســینوس و مثلثات کروی نوشته هایی دارد.

24. ویت ثابت کرد، مساله مربوط به تقسیم زاویـه به سه بـخش برابر، در حـالت کلی، منجر به حل یک معادله درجــه ســوم مـی شود. دزارک (دانشمند فرانسوی : 1593-1661) بــررسی های ویت را دنبال و مثلث قطــبی را (که توسی هم درباره آن بحـث کرده بود) وارد مثلثات کرد. نپــر (دانشمند اسکاتـلندی: 1550-1637) کســی که کـشف لـگاریتـم را به او نسـبت می دهند، نسبتهایی از مثلثات کروی بدست آورد که با نام خود او معـروف است (پنج ضلعی نپـر). بریـگس نخستین جدول لگاریتم نسبت های مثـلثـاتی را تنظـیم کـرد و اولـر (سـده هجـدهـم) بــررسی هـای جـدی و عمیقی درباره تابع های مثلثاتی دارد.

25. کارهای اولر را باید مبنای واقعیروشهای کنونی مثلثات دانست مثلثات زاییده نیاز مربوط به محاسبه های علمی است، به ویژه نیاز به وسیله ای برای محاسبه عنصرهای شکل های مختلف هندـسی، وقتی که عنصرهایی از آن ها معلوم باشد. حتی در یونان باستان ضـمن حـل یـک رشتـه مسـالـه های محـاسبه ای مربوط به اخـترشناسی، موفقیت هایی در مثلثات به دست آوردند. ولی شکل گیری مثلثات را به عنوان یک شاخه مستقل، مدیون ریاضیدانان خاورمیانه و نـزدیک هستیم. گرچه مثلثات شاخه مستقلی از ریاضیات شد و روشهای خاص خود را پیدا کرد، به ظاهر به هدف شناسایی و محاسبه عنصرهای شکـل های ساده هندسی (روی صفحه و در فضا) خدمت می کرد و گمان می رفت، بررسی تابع های مثلثاتی، جز از راه.

26. ولی وقتی بین تابع های مثلثاتی (و در آغاز با بررسی هندسی) رابطه های جـبری برقرار شد، این امـکان به دست آمد که تابع های مثلثاتی را با روش های جبری مطالعه کنند، تبدیل های مختلف آن ها را به دست آوردند و رابطه های مختلفی بین عنصرهای هندسی کشف شود پیشرفتهای بعدی نشان داد، تابع های مثلثاتی، تنها ابزاری برای عمل محاسبه ای مساله های هندسی نیستند و در فــیزیک و مکانیــک هم، وقتی از فرایندهای تناوبی صحبت می شود، اهمیت جدی دارند. به این ترتیب، نظریه تابع های مثلثــاتی، دارای معنـایی مسـتقل شد و لازم بود، اسـاس تحـلیــلی ایـن نظــریه بـدون اتـکای بـه هنـدسـه پایه ریـزی شـود. گذاشت که بر پایه رشته های توانی تنظیم شده بود.

27. لئـونار اولر، نخستین گام را در زمینه نظریه تحلیلی تابع های مثلثاتی برداشت و نیکلای لبا چوسکی برای تعریف تابع های مثلثاتی بدون استفاده از هندسه اقلــیدسی، نظریه تحلیلـی این تابع ها را بنیان گذاشت . • در زمـان مـا، مثلثات را به عنـوان دانشی مستقل نمـی شناسند، زیرا طبیعـی است که مسالـه های مـربوط به محاسبه عنصرهای شکل های هندسی به هندسه مربوط است و مثلثات نقشی کمکی رادرباره آن ها به عهـده دارد. از سـوی دیگر، نظـریه تحلیلــی تـابـع های مثلثاتـی، به فصلی از آنالیز ریاضی مربوط می شود که به مطالعه نظریه عمومی تابع های مقــدماتی اختصـاص دارد. ولی با اینکه در زمان ما، کسی مثلثات را بـه عنـوان دانشـی مســتقل نـمی پــذیـرد، در برنامــه هـای درسی همچون مـاده مستقلـی باقی مـانده است و بـه حـق، در دوره ریـاضیــات دبیرستانی، جای مهمی را گرفته است.

28. در برنامه های مثلثات دبیرستانی، دو جهت اصلی دیده می شود : تابعی و محاسبه ای ساختمان های هندسی ممکن نیست .در جهت نخست، تابع های مثلثاتــی به عنوان تابع هایــی با متغییر عددی بررســی مـی شود که اهمیت زیادی دارد، زیرا این تابع ها، در آنالیز ریاضی، فیزیک، مکانیک و صنعت نقش اساسی دارند. در جـهت دوم، راه های محـاسبه عناصرهای شکل های هندسی، بررسی می شود که اهمیت آن در کاریرد عملی آن در هندسه، فیزیک، صنعت، اخترشناسی، مساحی و غیره است

30. استاد راهنما :سرکار خانم هدیهآشتابگرد آورنده : مریمصابونچی فاطمه خلجی