第七章 粒子在电磁场中的运动

1. 第七章 粒子在电磁场中的运动 §7.1 电磁场中荷电粒子的Schrdinger方程 两类动量 一、荷电q粒子在电磁场中的Newton方程 （经典描述） 质量μ，荷电q的粒子在电磁场中运动，其 经典Hamilton为 电磁标势 正则动量 电磁矢势

2. 将上式代入正则方程，有 以x分量为例，有 第一式给出

3. 对于 机械动量 正则动量 可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械 动量并不相等。 将式 微分，得 对t 微分

4. （重新组合）

5. 即 所以 式中 电场强度 磁场强度 上式即为荷电q的粒子在电磁场中的Newton方程。 式中右边第二项即Lorentz力，实践证明是正确的。

6. 按照量子力学中的正则量子化程序，把正 则动量 换成算符 ，即 二、电磁场中荷电粒子的Schrödinger方程 则电磁场中荷电q粒子的Hamiltonian算符可 表为 因而Schrödinger方程可表为

7. 一般说来， 不对易， 利用电磁波的横波条件 则上述第一方程可表为

8. 取复共轭，注意到在坐标表象中 三、讨论 1. 定域的几率守恒与流密度 将式

9. 令

10. 式中 为粒子的速度算符。 代入前式 得 此处非常类似当初引进S-方程时对定域几率 守恒的讨论。

11. 2. 规范不变性 在学习电动力学时知道，当矢势和标势 作下列规范变换时 则电、磁场强度都不改变。 利用 很容易得到证明。

12. 对牛顿方程 因为已证明电、磁场强度都不改变。其规范 不变性是显然的。 但对下列S-方程 是否违反规范不变性？ 为解决这个问题，令 可以验证 其中

13. 这说明，在对波函数作一定的相位变换后， S-方程仍满足规范不变性。 当然，亦可证明，当作以下变换后 物理量 以及 仍保持不变。

14. §7.2 正常Zeeman效应 正常Zeeman效应： 把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的 每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman 效应。 问题：谱线为啥可以分裂？ 1. 体系的哈密顿 研究对象： 原子中的价电子 在原子大小范围内，磁场可视为均匀磁场， 不依赖于电子的坐标。

15. 取磁场方向为z轴方向，则 对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子， 它在原子核及内层满壳层电子所产生的屏蔽 库仑场中运动，则

16. 式中 是角动量的 z 分量。 上式还比较复杂，我们看根据物理实际，能否 化简？

17. 上式右侧最后一项可以视为电子的轨道磁矩 与外磁场(沿z方向)的相互作用。 因此可略去B2项，即

18. 2. 外加磁场后的能级分裂 对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称 及守恒量问题 外加磁场前 属性 加均匀磁场(沿z方向)后 总哈密顿 对称性 球对称性破坏 球对称 守恒量 容易证明? (6.1.1)已证明 守恒量完全集

19. 而 就是中心力场V(r)中粒子的Schrödinger方程 相应的能量本征值为 的能量本征值。

20. 显然加外场前后能级分裂情况是不一样的 加外场前 加外场后 属性 球对称性 球对称性破坏 对称性 能量本征值 简并度 能级简并全部消除 能级简并消除 能级分裂发生 设分裂后的相邻能级间距为 则 Larmor频率

21. +1 -1 3p 0 0 m 3s 由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂。 下图是钠原子光谱黄线在磁场中的正常Zeeman分裂。 无外磁场 加强磁场 原来的一条钠黄线(λ≈5893Å)分裂成三条,角频率为 w，w±wL所以外磁场越强，则分裂越大。 作业： p216 2

22. 第八章 自旋 §8.1 电子自旋 在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩 如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来 的附加能量为

23. 显然 是量子化的，它取 个值 在较强的磁场下( 10T )，我们发现一些类氢离 子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨 道磁矩的存在，能很好的解释它 但是，当这些原子或离子置入弱磁场 ~1T的环 境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是 那么简单，这就要求人们进一步探索。 大量实验事实证明，认为电子仅有三个自由度 并不是完全正确的。我们将引入一个新的自由 度—自旋，它是粒子固有的 。

24. S 原子炉 N 准直屏 磁 铁 1 电子自旋存在的实验依据 （1）Stern-Gerlach实验（1922年） 当一狭窄的S态银原子束通过非均匀磁场后，分为两束。见下图

25. 从经典观点看 取值（从 ）, 因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同， 而取值从 到 。所以原子应 分布在一个带上. 分析： 当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如 原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁 矩，那在磁场中的附加能量为 如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度，即不均匀，则受力

26. 但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的 银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二 束， 即仅二条轨道（两个态）。 而人们知道，银原子（z = 47） 基态 l = 0， 所以没有轨道磁矩. 而分成二个状态（二个轨 道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的 投影仅取二个值。只能是电子本身的（核磁矩 可忽），这磁矩称为内禀磁矩。 与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电 子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。

27. Å Å （2）电子自旋存在的其他证据 A．碱金属光谱的双线结构 Na原子光谱中有一谱线，波长为5893Å，但 精细测量发现，实际上这是由两条谱线组成。 这一事实，从电子具有三个自由度是无论如 何不能解释 。

28. C.在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相 邻能级间距,并不一定为 ,而是 . 对于不同能级， 可能不同，而不是简单为 ( 称为 因子 ) B．反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect） 原子序数 Z为奇数的原子，其多重态是偶数， 在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶，如钠 D1和 D2，的两条光谱线，在弱磁场中分裂为4条和6 条。这种现象称为反常塞曼效应。

29. ①电子具有自旋 ，并且有内禀磁矩 ，它们有关系 ② 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值 ，所以 根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck） （乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特） 提出 假设

30. 以 为单位，则 （而 ） 进一步分析： 磁矩和磁场作用为 设磁场在z方向不均匀，则利用 有

31. 但由于轨道磁矩为0， 因此电子具有固有 磁矩，称为自旋磁矩 ，与之相应的角 动量叫自旋角动量，用 表示。 定义 （实验结果） 结论： S 态银原子束在非均匀磁场中分裂为朝 相反方向偏转的两束，没有不偏转的原子。

32. 如设想电子为均匀分布的小球，其静止能 量 完全来自其静电能，即 对自旋的讨论---- 自旋无经典对应 原因： ①把电子看成是带电自传的小球是错误的 则电子的经典半径可以算出为

33. 而19世纪末统计物理学的研究表明： 原子的大小约为10-10m （与电子的经典半径10-15m比较） 按照此经典半径,当电子是机械自旋时,若使其磁矩达到 得其表面旋转速度 这是不可能的. 故自旋是电子的内禀属性.

34. ②自旋角动量　在空间任何方向取值均为 　　　，这在经典图象中是无法想象的． 自旋是 的半奇数倍---费米子： 自旋是 的偶数倍 ---玻色子： 自旋，又称内禀角动量，一个新的自由度． 实验发现：自旋是各种微观粒子的重要性质 电子、中子、质子及各种基本粒子 自旋是半奇数或整数，决定了它遵从Fermi 统计或Bose统计。 电子、中子、质子等(1/2) π介子(0)、光子(1)等

35. ⅰ 每个电子具有自旋角动量 ，它在空间 任意方向的投影只能取两个值 称为自旋磁量子数 其中 电子的自旋角动量与轨道角动量的不同： 或 ⅱ 磁矩的差别 自旋磁矩： 相差1/2 轨道磁矩： 或 |gs|=2,|gL|=1 即旋磁比是轨道情况的2倍

36. 2 自旋态的描述 电子除具有空间自由度,还具有自旋自由度 故 由于 因此,用二分量波函数是方便的: 上述波函数称为旋量波函数.

37. 是电子自旋向上 位置在 处的几率 是电子自旋向下 位置在 处的几率 而 的几率 表示电子自旋向上 表示电子自旋向下 的几率 旋量波函数的物理意义:

38. 归一化条件为

39. 是描述自旋态的波函数. 式中|a|2与|b|2分别代表电子取 的几率. 波函数的构造: 若体系的Hamiltonian量不含自旋变量,或可 表为自旋变量部分和空间变量部分之和,且 无耦合,则波函数可以分离变量,即 一般形式为 故归一化条件为

40. 为本征值 对 的本征态 ， 问题: 既然体系的Hamiltonian量不含自旋变量, 为什么波函数中仍包含自旋部分? 特例: 即 这种本征态常记为α与β：

41. α与β构成电子自旋态空间的一组正交完 备基，一般自旋态可用它来展开： 而前述二分量波函数可表为： 以上是对自旋态的描述，那么自旋算符如何 描述？