2 基于选择的需求

1. 2 基于选择的需求 基于偏好的需求符合现实需求的特点：零阶齐次性、瓦尔拉定律、连续可微、替代矩阵对称半负定。那么这些性质是否是需求映射的特有性质？一个具有这些性质的映射能否看成是某个消费者的需求映射？这就是所谓的可积性问题。 • 本讲的内容： • 讨论可积性问题：建立基于选择的需求理论，从理论上证明基于选择的需求与基于偏好的需求的一致性。 • 应用基于选择的需求理论研究总需求： • 总需求是否还是价格和收入的函数？ • 总需求能否揭示一种消费者偏好？ • 总需求有什么社会福利意义？ • 通过对这三个问题的研究，总需求的性质即可得到充分揭示。

2. 一、选择法则与显示性偏好 • 问题 • 从偏好关系推导消费者需求，这种做法存在着这样的问题：现实中实实在在的需求被建立在了难以捉摸的主观偏好之上，那么这种需求理论可信吗？ • 解决办法 • 为了研究这个问题，我们采用如下办法： • 首先，从实际消费活动来观察需求。 • 然后，用观察到的需求去显示消费者偏好。 • 最后，检查观察到的需求所显示的偏好是否符合消费者理性。 • 结果 • 如果观察到的需求所显示的偏好符合消费者理性，那么这里的问题就得到了解决。

3. (一) 萨缪尔森的想法 • 如上解决问题的想法，是萨缪尔森提出来的。 • 观察偏好做不到 • 萨缪尔森对序数效用论的偏好关系产生了质疑，他认为这是一个抽象概念，不受经济上的任何约束，因而实际上并不可能像序数效用论者所说的那样对消费者偏好进行有效观测。 • 对抽象概念进行实际观测是困难的，也是罕见的，应该避免这种做法，避免使用偏好这个抽象概念。 • 观察选择较可行 • 萨缪尔森认为，当价格和收入既定时，消费者必然会选择出所需要的商品，而且对消费者的选择进行观察没有多大困难，可以做到。因此，需求实际上由价格和收入直接决定，无须通过偏好这个中间环节，不必为了观察难以捉摸的抽象偏好而设计人为试验，我们可以把消费理论建立在由价格和收入直接决定的需求之上。

4. 1. 观察选择，确定需求 为了直接从需求出发来研究消费者行为，需要首先确定消费者的需求。而为了确定需求，办法只有观察，即通过观察消费者的购买选择活动，来确定每种价格p和收入r下的需求集合D(p,r)。 察 观 次 一 第 次 二 第 第 三 次  最  后 一 次 这种对消费者需求的观察，其实就是对消费者的选择法则进行观察，或者说，观察得到的需求集映本身就反映了消费者的选择法则。因此，我们把通过观察得到的需求叫做基于选择的需求。

5. 2. 基于选择的需求的基本特点 假定 D: X是通过观察确定的需求集映，其中 X是消费者的消费集合。 对于任何(p,r), D(p,r)中的向量是观察到的消费者的购买向量，这表明D(p,r)是消费者的购买欲望与购买能力的综合反映。因此， D(p,r)必然在预算集合(p,r)之内：D(p,r)(p,r)。 本质上看，这种需求集映D:X代表着消费者的选择法则。 • 选择法则： 对于任何(p,r)，消费者首先面对一个由客观条件和购买能力决定的选择范围(p,r) (即预算集合)，然后在这个范围中又有某个确定的非空集合D(p,r) (即需求集合)，最后在这个集合D(p,r)中任意选择一种消费方案。 • 基本特点：基于选择的需求正是代表选择法则的这样一种集值映射D: X使得对一切(p,r)，都有 D(p,r)(p,r)成立。

6. (二) 需求显示偏好 • 需求是消费者的购买欲望与购买能力的综合反映。 • 既有购买的欲望，又有购买的能力，才能形成需求。 • 购买能力：预算集合(p,r) • 购买欲望：没有明确的表示。但是，在客观条件和支付能力都许可的范围内，消费者选择这种方案而不选择那种方案，这本身就表明消费者对这种方案的欲望要大于对那种方案的欲望。 • 基于选择的需求D:X 显示着消费者个人偏好。 • 首先，D(p,r)显示出消费者对需求集合D(p,r)中的任何两种消费方案都有着相同的偏好。这是因为，如果不是这样的话，那么消费者就不会把D(p,r)中的向量毫不挑剔地地作为最终消费选择。 • 其次，D(p,r)显示出预算集合 (p,r)中没有一种方案能够比需求集合D(p,r)中的方案更好。这是因为D(p,r)是消费者从预算集合 中挑选出来的最想要的商品向量。

7. 1. 显示性偏好的定义 基于以上对基于选择的需求所显示的消费者的欲望的解释，我们可给出需求显示偏好的办法，即给出显示性偏好的定义。 • 定义设D:X 是基于选择的需求集映。消费集合 X上的二元关系 叫做是需求 D显示的偏好关系，是指对任何 x, yX，都有： • (xy)  ((p,r))((x,y(p,r))(yD(p,r))) • 当是需求显示的偏好关系时，就称 为显示性偏好。 需求显示：x  y 原因：x,y(p,r) yD(p,r) x (p,r)

8. 2. 显示性偏好的特点 由显示性偏好可引出显示性严格偏好和无差异关系~： • 严格偏好：对任何x, yX ，x  y是指x  y且 ； • 无差异关系~：对任何x, yX ， x ~ y 是指x  y且 y x。 从显示性偏好的定义，可以看出显示性偏好的如下一些特点： (1) 对任何x,yX, 关系式xy、x~y和xy中至多只能成立一个。 (2) 对任何(p,r), 需求集合D(p,r)中的任何两种方案都无差异。 (3) 对任何x,yX, 如果xy, 则存在(p,r)使得x(p,r)D(p,r) 且yD(p,r)。 (3)的证明：x y 即 x  y且 。 不存在(q,s)使得x, y(q,s) 且 xD(q,s)。 x  y 存在(p,r)使得x, y(p,r) 且 yD(p,r)。于是， 意味着 xD(p,r)，故 x(p,r)D(p,r)。(3)得证。

9. 3. 显示性偏好存在的问题 尽管从观察消费者的选择已经看出，需求集合D(p,r)中的方案是预算集合(p,r)中最好的方案，然而却不能保证预算集合中最好的方案全都在D(p,r)中，这就是显示性偏好存在的问题： • 还不能从“x,y(p,r) & yD(p,r) & x~y”断定xD(p,r)。 这与常规不符，说明对消费者选择的观察还不够仔细。解决这个问题的出路在于要对消费者的选择进行更加详尽的观察。 • 解决办法：详尽观察 第一次观察发现：x,y(p,r)且yD(p,r)，故 y x； 第二次观察发现：x,y(q,s)且xD(q,s)，故x y； 那么，D(p,r)就不但应包含y，而且也要把x包含进来； 同样，D(q, s)不但应包含着x，而且也要把y包含进来。 • 选择法则公理化：基于以上考虑，消费者的选择法则应该服从一定的公理。需求弱公理正是出于这样的考虑才提出来的。

10. 4. 需求弱公理 • 需求弱公理(选择法则弱公理)代表消费者选择法则的需求集映D:X满足如下条件：对任何x,yX及任何(p,r),(q,s)，如果 • D(p,r)显示出x y，即x,y(p,r)且yD(p,r)， • D(q,s)显示出yx，即x,y(q,s)且xD(q,s)， • 则 xD(p,r)且yD(q,s)。 {x,y}(p,r)(q,s) yD(p,r) & xD(q,s) 需求弱公理保证了需求集合D(p,r)是预算集合(p,r)中最好的方案的全体，这就解决了前面存在的问题，使得通过观察得到的需求符合了消费选择的逻辑与常规。  (p,r) {x,y}D(p,r)D(q,s) x D(p,r) y D(q,s) (q,s)

11. 5. 弱公理的保证 在需求弱公理下，我们有下述事实成立： • 对任何(p,r)及x,y(p,r), 若xD(p,r)且x~y, 则yD(p,r)。 • 对任何(p,r)及x,y(p,r), 若xD(p,r)且yD(p,r), 则xy。 • 对任何x,yX, xy当且仅当存在(p,r)使得x(p,r)D(p,r) 且yD(p,r)。 • 以上这些事实表明，需求弱公理保证了需求显示的偏好符合最普通的逻辑。因此，人们也把该公理叫做显示性偏好弱公理。 • 弱公理“弱”在何处？ • 就目前的情况与条件而言，我们还不能期望需求显示的偏好关系具有自反性、完全性和传递性，即不能期盼显示性偏好完全符合消费者选择与评价行为的理性条件。这正是需求弱公理的“弱性”表现所在。

12. (三) 可积性问题及其意义 基于偏好的需求映射具有零阶齐次性，满足瓦尔拉定律，连续可微，并且具有对称的半负定替代矩阵。 反过来，当基于选择的需求映射也满足这些条件时，该需求映射能否看成基于偏好的需求映射呢？这就是所谓的可积性问题。 集值映射D:X  D为基于偏好的需求映射。 零阶齐次性 瓦尔拉定律 连续可微性 对称半负定 可微性问题  可积性问题 将会看到，可积性问题的答案是肯定的。无论从理论角度，还是从实践角度看，可积性问题及其答案都是相当重要的。

13. 1. 理论意义 从理论上讲，可积性问题的答案说明了两件重要事情。 • 零阶齐次性、瓦尔拉定律、连续可微性、以及具有对称半负定的替代矩阵，这些都是需求映射的特征性质。 所谓特征性质，就是说只要一个映射具有这些性质，那么该映射便一定是从某个理性消费者的偏好出发推导出来的需求映射。 • 基于选择的需求映射与基于偏好的需求映射能够一致，关键在于商品之间的替代效应程度具有对称性。 将会看到，一个满足零阶齐次性、瓦尔拉定律和需求弱公理的连续可微需求映射，必然具有半负定的替代矩阵，但需求弱公理还不能保证替代矩阵的对称性。可积性问题的肯定性答案则说明，如此的需求映射可由理性偏好导出的充分必要条件是该映射具有对称的替代矩阵。这就展示了替代矩阵的对称性在揭示基于选择的需求和基于偏好的需求之间的关系时的重要性。

14. 2. 实践意义 从实践角度看，可积性问题答案的重要意义表现在两个方面。 • 可从观察到的需求信息构造效用函数，对消费者进行福利分析。 可积性问题的肯定性答案表明基于选择的需求显示着消费者偏好，这就让我们可以对消费者进行福利分析，尤其是可以从观察到的需求信息出发，构造出消费者的效用函数(支出函数)。 • 使得需求理论具备了可操作性，使得经验研究变得容易起来。 可积性问题的肯定性答案让我们在对需求做经验研究时，可直接使用一些形式简单的需求函数，只要验证该函数是否满足零阶齐次性、瓦尔拉定律、连续可微、替代矩阵对称就行了。而这在基于偏好的需求理论中是困难的：在那里，需要首先确定效用函数，然后写出边际方程，最后导出需求函数。所以，可积性问题的肯定性答案使得对需求进行经验研究容易起来，使需求理论具备了较强的可操作性。

15. 二、基于选择的需求映射 从现在开始，我们只讨论需求映射，即处处取值为单点集的集值映射。其实，这样做也符合通过观察得出需求这种做法的特点。 • 观察式需求的特点：任给定价格体系p和消费者收入r之后，能够观察得到的消费者需求向量只有一个，即D(p,r)是单点集。 从理论上讲，D(p,r)可能包含有多种消费方案，但这要求对需求的观察可以在相同条件下重复进行。只有在相同条件下进行多次重复观察，才能把那些应该包含在D(p,r)中的所有消费向量全部观察出来。然而，现实情况并不能提供这种重复观察所要求的相同条件。因此，在相同条件下进行重复观察根本做不到。这样一来，通过观察得到的需求集合必然是单点集：D(p,r)={(p,r)}。 既然D(p,r)是单点集，便可用需求映射:X来表示基于选择的需求，它的每一个分量函数h(p,r)都叫做基于选择的需求函数。

16. (一) 需求弱公理的等价形式 需求弱公理表现在需求映射:X上，就具有了如下几种相互等价的形式，让我们使用起来会更加方便。 • 需求弱公理的等价形式设:X 是基于选择的需求映射，则下列表述相互等价： 需求映射:X服从需求弱公理； 对任何x,yX及任何(p,r),(q,s)，如果“x=(p,r) & pyr”且“y=(q,s) & qxs”，则x=y； 对任何(p,r),(q,s)，如果p(q,s)r且q(p,r)s，那么必然有(p,r)= (q,s)； 对任何(p,r),(q,s)，如果q(p,r)s且(q,s)(p,r)，则必然有p(q,s)>r。 需求弱公理不能保证显示性偏好的完全理性，因此还需对基于选择的需求映射提出另外的合理条件。

17. 1. 等价形式(2)与(3)的意义 在需求集映成为单值映射的情况下，本图所示的这种情况不可能发生，除非x=y。 pz=r y y=(q,s) qys,qxs x=(p,r) pxr,pyr qz=s x

18. 2. 等价形式(4)的意义 pz=r (qx  s)  (py > r) qys y=(q,s) pxr x=(p,r) y x qz=s (qxs)(py>r)

19. (二) 瓦尔拉需求 既然“零阶齐次性、瓦尔拉定律、连续可微、对称半负定”是基于偏好的需求映射具有的基本性质，我们就把这些性质作为基于选择的需求映射应该服从的公理予以承认。  齐次性公理基于选择的需求映射: X 是零阶齐次的，即对任何(p,r)及任何实数t>0，都有(tp,tr)=(p,r)。  瓦尔拉公理 基于选择的需求映射: X 服从瓦尔拉定律，即对任何(p,r)，都有p(p,r)=r。  可微性公理 基于选择的需求映射: X 在价格-收入集合的内部是连续可微的。 • 定义(瓦尔拉需求映射)当基于选择的需求映射: X 服从齐次性公理、瓦尔拉公理、可微性公理时，就把: X 叫做瓦尔拉需求映射。

20. 1. 弱公理的瓦尔拉表现 需求弱公理表现在服从瓦尔拉公理的需求映射:X上，又具有进一步的几种等价形式，使得弱公理的意义更加清楚。 • 弱公理的瓦尔拉表现设基于选择的需求映射: X满足瓦尔拉公理，则下列表述相互等价： • 需求映射 满足需求弱公理； • 需求映射 服从补偿替代定律，即对任何(p,r), (q,s)，如果s=q(p,r)且(q,s)(p,r)，则有(q–p)((q,s)–(p,r))<0； • 对任何(p,r), (q,s)，如果q(p,r)=s且(q,s)(p,r)，那么必有p(q,s)>r。 x=(p,r) y=(q,s) x=(p,r) y=(q,s) 补偿替代定律 表述(3)的图示 qp q q p p q q yx x x qy=s px=r y y qx=s py>r

21. 2. 替代效应系数 可以直接通过瓦尔拉需求映射: X ，给出替代效应系数shk的定义。对任何(p,r)，令 • shk 的意义：shk 表示在保证消费者实际收入不变的情况下，商品k的价格上升一单位所引起的商品h的需求增加量。因此，shk 是商品h对k的替代效应系数。矩阵S便是需求映射:X的替代效应系数矩阵，简称替代矩阵。 商品k的价格上升一单位，商品h的需求增加hpk单位，消费者收入水平下降k个单位。给消费者补偿k个单位收入，则可保证实际收入不变，这又引起商品h的需求增加khr个单位。两项之和正是shk，这就解释了shk 作为替代效应系数的意义。

22. 3. 替代矩阵的特点 • 定理 设:X为瓦尔拉需求映射，(p,r)。我们有： (1)的证明：在 两边对 t 求导，然后令t = 1即可得到所要的结果。 (2)的证明：在 两边对 r求导，即可得到所要的结果。 (3)的证明：在 两边对pk求导，即可得到所要的结果。

23. 4. 替代矩阵的半负定性 • 定理 设x=(p,r)是满足需求弱公理的瓦尔拉需求映射，则对任何(p,r)，(p,r)的替代矩阵S=S(p,r)都是半负定的。 该定理表明，瓦尔拉需求映射服从通常的需求法则。 • 需求法则 任何一种商品的价格变动对该商品自己的替代效应都非正，即shh 0(h=1,2, ,)，从而正常商品的瓦尔拉需求必然服从需求法则，即正常商品的需求量与该商品的价格反向变动，用公式表达，即h(p,r)ph=shh h(p,r)h(p,r)r<0，其中h为正常商品(即h(p,r)/r>0)。 需求量与价格反向变动，这是一个在正常商品之中普遍出现的实际现象。替代矩阵的半负定性说明了这一现象，可见我们提出的齐次性公理、瓦尔拉公理、可微性公理、需求弱公理共同描述了一个符合实际的需求现象，可以作为基于选择的需求的特点。

24. (三) 对称性公理 我们没有把斯勒茨基性质作为公理，原因就是因为斯勒茨基性质并不完全独立： 需求弱公理+齐次性公理+瓦尔拉公理+可微性公理替代矩阵的半负定性。然而，我们不能期望替代矩阵的对称性也蕴含在这四条公理之中，只能将其作为公理加以提出。  对称性公理需求映射: X具有对称的替代矩阵S，即对于任何(p,r)，shk(p,r) = skh(p,r) (h,k=1,2,,)。 • 显示性偏好定理1设: X是满足需求弱公理的瓦尔拉需求映射。则满足对称性公理当且仅当存在X上的偏好关系使得是基于这个偏好关系的需求映射。 本定理对可积性问题作出了肯定的回答。可见，不论是基于偏好，还是基于选择，都可把需求映射看成是满足需求弱公理、齐次性公理、瓦尔拉公理、可微性公理和对称性公理的任何映射。

25. (四) 需求强公理 我们知道，需求弱公理不能保证显示性偏好的自反性、完全性和传递性。那么能否直接从需求出发，提出一种类似于弱公理那样的公理，来保证显示性偏好的基本理性？答案也是肯定的。 • 需求强公理(传递性公理)基于选择的需求映射:X满足如下条件：对任何n2及任何(p1,r1),(p2,r2),,(pn,rn) ，若pi(pi+1,ri+1) ri且(pi,ri)(pi+1,ri+1)(i=1,2,,n-1)，则有pn(p1,r1)>rn 。 x1=(p1,r1) x2=(p2,r2) x3=(p3,r3) • 显示性偏好定理2如果基于选择的需求映射:X满足需求强公理，则必存在 X 上自反、完全、传递的二元关系使得对任何(p,r)及任何x,y(p,r)，只要x=(p,r)且x y，就有xy。 可见，需求弱公理基本上等同于替代矩阵半负定；需求强公理基本上等同于替代矩阵对称。

26. 三、总需求理论 • 总需求是诸消费者个人需求之总和。对于总需求，人们总是期望能够像处理个人需求那样来对待，于是有三个问题必须回答： • 总需求是否是价格和总收入的函数？ • 总需求能否揭示一种消费者偏好？ • 总需求的社会福利意义是什么？ • 实证经济学家关心的是个人需求理论在多大程度上适用于总需求。他们利用市场均衡模型进行预测时，总需求起着关键作用。 • 计量经济学家关心在什么条件下总需求函数具有简单结构以便于估计。比如，在什么条件下总需求仅仅是总财富之类的总量的函数？考虑此问题，原因在于可得数据仅仅是关于总量的数据。 • 福利经济学家则关心总需求的规范意义，他们想对经济环境变化引起的社会福利变化进行估计和评价，因而希望总需求能够成为消费者代表的需求，然后研究这个消费者代表的福利变化情况。

27. (一) 总需求函数 先研究第一个问题：总需求是否是价格和总收入的函数？ 假定经济中共有种商品和m个消费者。消费者i的消费集合为Xi，需求映射为 。 总需求映射： h的总需求函数： • 总需求是价格体系p=(p1,p2,,p)和收入分配(r1,r2,,rm)的函数，而不是价格体系p和总收入r=r1+r2++rm的函数。 这一结论告诉我们，在影响总需求的因素中，除了价格体系之外，收入分配格局至关重要，它直接影响总需求，而总收入对总需求的影响是间接的。宏观经济学把总需求看成总收入的函数，这种做法值得怀疑。事实上，总需求的确很难成为总收入的函数。

28. 1. 总需求与总收入的一般关系 总需求要想成为总收入的函数，必须满足这样的条件：对任何(dr1,dr2,, drm)，只要dr1+dr2++drm=0，就有dx=0(总需求不变)。 计算： • 总需求成为总收入的函数的充分必要条件是，对任何一种商品消费来说，其收入效应系数在各个消费者之间都是一样的，即 • 总需求成为总收入的函数当且仅当每个消费者i都具有Gorman形式的需求映射： ，其中Ai(p)和B(p)是与p有关的向量，并且B(p)对每个消费者都一样。 • 总需求成为总收入的函数当且仅当每个消费者i都具有Gorman形式的间接效用函数：û(p,ri)=ai(p)+b(p)ri（b(p)不因人而异）。 i i i i i i • 总需求成为总收入的函数，多么苛刻的要求！

29. 2. 总需求与总收入的特殊关系 尽管一般情况下很难把总需求写成价格和总收入的函数，但是在某些特殊情况下还是可以做到的。 • 当消费者收入是通过提供生产要素得到的时候，总需求就仅仅是价格的函数，与收入无关。 • 当个人收入是通过一定的分配程序而得到的时候，就有可能把总需求写成价格和总收入的函数。这种确定个人收入的收入分配程序，叫做收入分配法则，可以表述为： ，其中ri 为消费者i得到的收入，r为全社会的总收入。 • 当个人收入是按照收入分配法则 得到时，就可把总需求写成价格和总收入的函数，并且此时，总需求 x 仅仅是价格 p 和总收入 r的函数：

30. (二) 总需求与弱公理 现在讨论第二个问题：总需求能否显示偏好？也就是个人需求的性质能够在多大程度上传递给总需求的问题。可以看出： • 零阶齐次性、连续可微性、瓦尔拉定律能够从个人需求函数传递给总需求函数。 • 需求弱公理也能够从个人需求传递给总需求吗？ 我们在收入分配法则 下讨论此问题，其中i为非负常数，1+2++m=1。在这种收入分配法则下，总需求仅仅是价格和总收入的函数： 将会看到，即使在如此简单、具体的收入分配法则下，总需求也不一定满足需求弱公理。

31. 两种商品：X和Y；两个消费者：A和B；收入平均分配：r1= r2 = r/2。A的需求映射：x=(p,r)；B的需求映射为y=(p,r)。 1. 不服从弱公理的总需求事例 A和B的个人需求都服从弱公理。如右图所示：价格从 pº变到p，总收入r未变。 A的需求从xº=(pº,r/2)变到x=(p,r/2)： x xº，pºx < r/2，pxº > r/2 B的需求从yº=(pº,r/2)变到y=(p,r/2)： y yº，pyº < r/2，pºy > r/2 总需求从zº=z(pº,r)变到z=z(p,r)： zº=xº+yº，z=x+y (pº,r/2) p xº pº x w y wº (p,r/2) yº 令wº=0.5(xº+yº)=0.5zº，w=0.5(x+y) =0.5z。如上图所示，w wº，pºw < r/2，pwº < r/2。可见，z zº，pºz < r， pzº < r。这就表明，虽然个人需求服从弱公理，但总需求不满足需求弱公理。

32. 2. 总需求不服从弱公理的原因 原因在于收入效应。根据瓦尔拉需求的性质，总需求满足弱公理当且仅当总需求满足补偿替代定律：对任何(p,r), (q,s)，如果 s=qx(p,r)且x(p,r)x(q,s)，则(p–q)(x(p,r)–x(q,s))<0。 既然个人需求满足弱公理，因此当价格从 p 变到 q时，只要每个消费者都能得到收入补偿以使实际收入水平不变，即只要is=si=qxi(p,ir)，就有(p–q)(xi(p, r)–xi(q,is))0，且该严格不等式在 xi(p,ir)xi(q,is)时成立(i=1,2,,m)，从而(p–q)(x(p,r)–x(q,s))0且该严格不等式在x(p,r)x(q,s)时成立。 问题出在收入补偿上。价格变化后，虽然总收入得到了补偿从而保证了实际总收入不变，即s=qx(p,r)，但按照分配法则，补贴后消费者的收入变为si=is，而这个收入水平并不能保证消费者i的个人实际收入水平不变， 即不能保证 si =qxi(p,ir)成立。因此，不等式(p–q)(x(p,r)–x(q,s))0未必成立。这就是不服从弱公理的原因。 i

33. 3. 需求无补偿法则 现在可对症下药——修改补偿替代定律，使需求弱公理能够从个人需求传递到总需求。为此，我们提出需求无补偿法则。 • 需求无补偿法则需求映射:X满足如下条件：对任何价格体系p,q及收入r，(p,r)(q,r)  (p–q)((p,r)–(q,r))<0。 • 定理设需求映射 x=(p,r)可微，x/p = (xh/pk) 。 k • 如果:X满足需求无补偿法则, 则对任何价格体系p及收入r, 矩阵 x/p 半负定。 • 如果对任何(p,r)º，矩阵x/p都负定，则:X服从需求无补偿法则，并且只要pq，就有(p,r)(q,r)。 • 定理设需求映射:X满足齐次性公理和瓦尔拉公理。如果满足需求无补偿法则，则 满足需求弱公理。 此命题阐明了需求无补偿法则与需求弱公理之间的关系。把此命题应用于总需求映射，则可得到总需求与弱公理之间的关系。

34. 4. 总需求服从弱公理的条件 • 定理在收入分配法则ri = ir (i=1,2,,m)下，我们有： • 如果每个消费者的需求映射都满足需求无补偿法则，那么总需求映射也满足需求无补偿法则。 • 如果每个消费者的需求映射都满足需求无补偿法则，并具有零阶齐次性和瓦尔拉性质，则总需求映射满足需求弱公理。 需求无补偿法则的要求有多强？显然，效用最大化不能保证个人需求服从这个法则，从而不能保证总需求满足需求弱公理。 经研究发现，当偏好具有比拟性质时，需求就能满足无补偿法则。所谓偏好具有比拟性(homothetic property)，是指对任何x, yX及任何实数0，若x~y，则x~y。什么样的偏好才能具有比拟性呢？答案是：能够用(k阶)齐次效用函数表示的偏好关系具有比拟性。可见，让消费者需求服从需求法则，进而保证总需求满足弱公理的偏好比拟性要求，对消费者个人来说不算太过分。

35. (三) 消费者代表 现在讨论第三个问题：总需求的社会福利意义。这个问题的实质是：作为价格和总收入的函数的总需求，能否看成是某个虚构的消费者的需求？如果答案是肯定的，这个虚构的消费者就叫做消费者代表，然后可利用消费者代表的偏好来分析社会福利。 消费者代表是从对整体经济活动的分析出发，从实证经济学的意义上构造出来的。但构造消费者代表的目的，主要是分析社会福利问题，而社会福利属于规范经济学的范畴。这样，从实证意义上构造的消费者代表，其规范经济学意义如何，便是一个重要问题。 把消费者代表从实证意义和规范意义上加以区分，这对于正确理解消费者代表的概念是有益的。 我们还是从收入分配法则 ri = f (p, r) (i=1,2,,m)出发。在这个法则下，总需求是价格和总收入的函数： i

36. 1. 实证意义上的消费者代表 设Xi是消费者i的消费集合(i=1,2,,m)。则整个经济的总消费集合 X为： 。对任何 价格p，令Ii(p)=min{px: xXi}(i=1,2,,m)，I(p)=min{px: xX}。可以证明： 。 • 定理如果各个消费者的消费集合Xi 都是商品空间 的下有界非空闭凸子集，则总消费集合 也是下有界非空闭凸集。 总需求x=(p,r)也是从到X的映射，即:X。如果这个映射能看成是某个消费者的需求映射，那么意义就非同一般了。 • 定义如果存在总消费集合X上的偏好关系，使得总需求映射成为基于偏好  的需求映射，则称(X, )为实证意义上的消费者代表，或称为总需求的消费者实证代表，也简称消费者代表。 注意，消费者代表是一种理论构造，是虚构的消费者。

37. 2. 规范意义上的消费者代表 为了讨论消费者代表的社会福利意义，需要引入社会福利函数概念。直观上讲，社会福利函数是一个把所有消费者个人获得的效用水平综合成为社会福利指标的函数。严格地讲，即下面的定义： • 定义社会福利函数是这样的一个函数 ，它给全部m个消费者的每一种可能的效用水平向量(u1,u2,,um)都指定了相应的一个效用值(社会福利指标)W(u1,u2,,um)。 假定社会福利函数是可微的、递增的凹函数。意义在于： 首先，只要有一部分人的效用水平提高，同时其他人的效用水平不会下降，那么社会福利水平就得到了提高。 其次，一味提高个别人的效用水平，那么社会福利的增加量将越来越少，这就是社会福利函数为凹函数的意义所在。 最后，要求社会福利函数可微，就是说能够计算个人福利增加所带来的边际社会福利的多少。

38. (1) 社会福利最大化 政府实施收入再分配政策的目的，是要提高社会福利。既定总收入下的社会福利最大化，就是要确定一种收入分配，使得社会福利指标W(u1,u2,,um)达到最大。 准确地讲，设ûi(p,ri)为消费者i的间接效用函数(i=1,2,,m)， W:RR为社会福利函数，r为既定总收入，p为既定价格体系。则社会福利最大化问题可表述为：选择一种收入分配(r1,r2,,rm)使得W(û1(p,r1),û2(p,r2),,ûm(p,rm))在约束条件r1 +r2 ++rmr下达到最大值。用数学公式表示社会福利最大化问题，即 m m 1 2 社会福利最大化问题的解定义了一个社会间接效用函数û(p,r)：

39. (2) 消费者规范代表 • 定理设收入分配法则 解决了社会福利最大化问题，即对任何价格体系p和任何总收入r，由该法则确定的收入分配(r1,r2,,rm)都是社会福利最大化问题的解。则由该解所确定的社会间接效用函数û(p,r)是总需求x=(p, r)的消费者代表的间接效用函数。 本定理表明，当一种收入分配法则解决了社会福利最大化问题时，总需求的消费者代表的效用就是社会的最大福利。这种代表社会福利最高水平的消费者代表，才真正具有社会福利意义，故称为规范意义上的消费者代表，简称为消费者规范代表。 消费者规范代表与社会福利函数关系密切。不同的社会福利函数，可能有着不同的规范代表。另外，消费者规范代表必是实证代表，但并非实证代表具有规范意义。有可能出现这种情况：实证代表存在，但没有规范意义上的消费者代表。

40. (3) 规范代表事例 • 例1. 比拟偏好与规范代表 • 设消费者偏好是用一阶齐次效用函数表示的比拟偏好，社会福利函数为 ，其中 。可以证明，收入分配法ri=ir(i=1,2,,m)解决了社会福利最大化问题。因此，总需求 可看成是规范代表的需求。 • 例2. 戈尔曼形式与规范代表 • 假定每个消费者i都具有戈尔曼形式的间接效用函数：ûi(p,ri)=ai(p)+b(p)ri(i=1,2,,m)，从而总需求是价格和总收入的函数：x= • (p, r)。假定社会福利函数为 ，即社会福利是各个消费者的效用之总和。则可证明，任何收入分配(r1,r2,,rm)都是社会福利最大化问题的解，并且社会间接效用函数为： 因此，总需求可以看成是消费者代表的需求，并且消费者代表始终是这个社会福利函数下的规范代表。

41. 作业 设D:X是基于选择的需求集映，且满足需求弱公理。证明：对任何(p, r), (q, s)及任何xD(p, r), yD(q, s)，如果 qx = s 且 yD(p, r)， 则(pq)(xy)<0。