Основи на динамиката на точка с променлива маса.

1. Основи на динамиката на точка с променлива маса. Учебни въпроси 1. Диференциално уравнение на движение на точка с променлива маса. 2. Задачи на Циолоковски.

2. 1.Диференциално уравнение на движение на точка с променлива маса.1.1.Движение на точка с променлива маса. Тяло с променлива маса се нарича всяко тяло, масата на което се изменя с течение на времето. Когато размерите на тялото с променлива маса са много малки в сравнение на разстоянията, които то изминава, или ако тялото извършва транслация, може да се счита, че то е точка с променлива маса. Ще приемем, че масата на точката е една непрекъсната и диференцируема функция само на времето, т.е. m = m(t). В повечето случаи се разглеждат точки, чиято маса намалява и се въвежда величината “секунден разход на маса” p = - dm/dtв момента t. Ако р>0 масата намалява и обратно.

3. 1.2 Диференциално уравнение на движение – уравнение на Мещерски. В момента t се разглежда движението на точка с маса m(t) със скорост v и друга точка с елементарна маса dm(t) и абсолютна скорост u. В един следващ момент t+dt двете разглеждани точки образуват една обща точка с маса m+dm (когато се отделя маса dm<0). Количеството на движение на системата в момента t е Q = m.v + dm.u, а в момента t+dt: Q1 = (m+dm).(v+dv) = = m.v + m.dv + dm.v + dm.dv . Пренебрегва се dm.dv≈ 0 като безкрайно малка от втори ред. Тогава разликата на количеството на движение в двата момента ще бъде: dQ = Q1 – Q = m.dv + (v – u).dm [1] Разделяме [1] на dt, и се получава:

4. Уравнение на Мещерски (продължение) dQ/dt = m.dv/dt + (v – u).dm/dt, но dQ/dt = Fra .Тогава: Fra = m.dv/dt + (v – u).dm/dt или: m.dv/dt= Fra + (v – u).dm/dt [2] Уравнението [2] се нарича уравнение на Мещерски (1897 г.) и представлява диференциално уравнение на движението на точка с променлива маса. Ако в [2] положим относителната скорост между двете точки v – u= vr = c, и означим с. dm/dt = Фrще получим: m.a = Fra + Фr[3] ВекторътФr= - c.p се нарича реактивна сила . Реактивната сила е равна на произведението от относителната скорост и секундния разход на маса. При отделяща се маса (р>0), Фre насочена обратно на с

5. Уравнение на Мещерски - продължение Уравнението [3] се нарича основно уравнение на динамиката на точка с променлива маса. Уравнението за движение на точка с постоянна маса е валидно и за движение на точка с променлива маса, ако към приложените външни сили се прибави и реактивната сила. Ако проектираме [3] върху осите на координатната система Охуz се получават диференциалните уравнения на движението на точка с променлива маса в проекционен вид: m.x = Fxa + Фrx ;m.y = Fya + Фry; m.z = Fza + Фrz [4] Уравнението на Мещерски се изведе при предпоставка, че отделящите се частици след отделянето не взаимодействат вече с основната точка, а влиянието на присъединяващите се частици започва вмомента t+dt.

6. 1.3 Частни случаи а) Масата е постоянна: m = const Тогава dm/dt = 0 ,Фr = 0и m.a = Fa .[5] б) Релативната скорост е равна на нула с = 0 и v = u Тогава реактивната сила също е равна на нула. Уравнението на движение ще има вида: m(t).a = Fa [6] Пример: движениe на айсберг. в) Абсолютната скорост на отделящата се или присъединяващата се маса u = 0 и c = -v. Реактивната сила ще бъде Фr = -v.dm/dt . Уравнението на движение приема вида: m.dv/dt + v.dm/dt = Fa или d/dt.(m.v) = Fa [7] Уравнението [7] е известно още като уравнение на Леви Чивита (Италия 1928 г.), въпреки че И.В.Мещерски го извежда като частен случай в 1897 г.

7. 2. Задачи на Циолоковски 2.1 Първа задача на Циолоковски. Точка с променлива маса се движи праволинейно в среда без съпротивление под действието само на реактивна сила. Да се определят закона на праволинейното движение и скоростта на точката, при положение, че относителната скорост на изтичащите частици е постоянна по големина и с посока – обратна на скоростта на движещата се точка. Проектира се уравнението на Мещерскивърху остта на посоката на движение (скоростта на точката): m.dv/dt = - c.dm/dt или ако се разделят променливите: 1/c∫dv=-∫dm/m. Интегрирането се извършва в интервалите v0 – v и m0 – m . Получава се:v = v0 + c.ln m0/m [8]. v0 – начална скорост на точката, m0 – началната й маса.

8. Първа задача на Циолоковски – продължение (движение на ракета) Ако с mk се означи постоянната маса на корпуса плюс апаратурата на ракета и с mг – променливата маса на горивото, то в произволен момент t масата на ракетата ще бъде:m = mk + mг , а в началния момент t0 : m0 = mk + mг0(mг0е началнат маса на горивото ). Уравнението [8] ще добие вида:[9] Зависимостта [9] се нарича формула на Циолоковски. Скоростта на ракетата в момента, когато се изразходва всичкото гориво (mг =0) ще бъде: [10] Ще въведем числото наречено Параметър на Циолоковски: Тогава от [10] се получава: v* = v0 + c.ln(1 + z) [11] При v0 = 0: v*/c = ln(1+z) = ln mг0/mk [12]

9. Първа задача на Циолоковски – продължение (тълкуване на формулата на Циолоковски) Формулата [11] показва, че скоростта, която получава ракетата след изгарянето на горивото може да се увеличи по два начина – чрез увеличаване на с (относителната скорост на изтичащите газове) или чрез увеличаване на z (масата на горивото спрямо масата на тялото на ракетата). От [12] може да се направи извода, че за да се получи по-голяма скорост на ракетата в края на процеса, е по-изгодно да се увеличава релативната скорост на излъчваните частици, отколкото да се увеличава относителния запас на гориво. Ако интегрираме [8] се получава закона за движение на точка с променлива маса: x = v0.t + c.∫ln m0/m dt [8a] (Приема се, че масата се променя или по линеен или по показателен закон)

10. Първа задача на Циолоковски – продължение (постигане на първа космическа скорост) Най-малката скорост, която трябва да се придаде на тяло, за да стане то изкуствен спътник на Земята, се нарича първа космическа скорост. Тази скорост имастойност≈ 8000 m/s, но тук ще яприемем vmax= 9000 m/s, за да се компесират 10 -15 % загуби от съпротивленията на средата и земното притегляне. Скорост на изтичане на газовете е с = 2400m/s. Тогава от зависимостта [12] ще се получи: Тези пресмятания показват, че горивото на ракетата в момента на старта трябва да бъде с 41.5 пъти по-голяма маса от масата на ракетата без гориво, т.е. теглото на горивото трябва да бъде 98% от стартовото тегло на ракетата. Следователно, постигане на І космическа скорост е почти невъзможно с едностепенна ракета.

11. полезен товар Трета субракета Втора субракета ІІІ-та степен Първа субракета ІІ-ра степен І-ва степен 2.2 Многостепенна ракета. Съвкупност от работещата степен, неработещите степени и полезния товар се нарича СУБРАКЕТА. Всички неработещи степени и полезният товар са полезен товар за работещата степен, т.е. една субракета се пресмята, като едностепенна ракета.Да приложим формулата на Циолоковски [11] за всяка субракета. За скоростта на ВТОРАТА субракета след изгаряне на горивото в първата степен се получава: v1* = c1.ln(1 + z1). След изгаряне на втората степен, скоростта на третата субракета ще бъде: v*2=v*1+c2.ln(1+z2). Или: v*2 = c1.ln(1 + z1) +c2.ln(1+z2).

12. Многостепенна ракета – продължение (формула на Циолоковски за многостепенна ракета) След изгаряне на горивото и в ІІІ-тата степен за скоростта на полезния товар (спътника) ще се получи: v*3 = c1.ln(1 + z1) +c2.ln(1+z2) +c3.ln(1+z3) [13] Ако за всички степени относителните скорости на изтичащите газове са еднакви (c1= c2 = c3= c) и за всички субракети параметрите на Циолоковски са също равни (z1 = z2 = z3 = z), за скоростта на полезния товар се намира: v*=3.c.ln(1+ z), a при n-степена ракета: v*=n.c.ln(1+z1). [14] Нека сега намерим колко е z за двустепенна и тристепенна ракета (за едностепенна беше z = 41.5). За n = 3 , z ≈ 2.49. Следователно І космическа скорост може да се достигне само чрез многостепенна ракета.

13. 2 2 2.3 Втора задача на Циолоковски Точка с променлива маса (ракета) се движи вертикално нагоре до повърхността на земята в хомогенно силово поле (g = const) като съпротивлението от въздуха се пренебрегва. Да се определи скоростта и закона за движение на ракетата под действието на реактивната сила и силата на теглото, акои с = const. Проектира се уравнението на Мещерски [3] върху оста на движение (вертикалата) : m.dv/dt = -mg – c.dm/dt [15]. След интегриране се получава: v = v0– gt + c.ln(m0/m) [16] и за закона на движение: x = v0t– gt/2 + c.∫ln(m0/m)dt [17] При изменение на масата по линеен закон [17] е във вида x = v0t– gt/2 + c/α[(1 - α t).ln(1 - α t) + α t] [18] При показателен закон: x = v0t– gt/2 + αct/2 [19] 2 2

14. Въпроси ?