第二章地球坐标系和地球椭球

第二章地球坐标系和地球椭球

§2.1 概述 大地测量采用的坐标系：天球坐标系、地球坐标系地球坐标系：固定在地球上与地球一起自转和公转的坐标系地球坐标系分类：参心坐标系、地心坐标系定义坐标系的要素：原点位置、尺度与坐标轴指向；还包括一些天文、物理、地球等参数，若采用大地坐标表述形式还需要椭球元素。

Z O Y X §2.2 地球椭球面的数学计算和有关计算 2.2.1 地球椭球的几何、物理元素椭球方程：扁率：第一偏心率：第二偏心率：

2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续1） 几个关系式： 1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：

2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续2） 1980年大地坐标系采用第16届 IAG—IUGG 椭球，其椭球元素为：

Z A S r L M0 M R O Y L M1 X 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质 1、经线和纬线的曲线方程在XOZ坐标面上的起始经线方程： M0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：经度为L的经线方程：

Z A S r L M0 M R O Y L M1 X 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续1）纬圈方程：

N P´ T R A M O Q P 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续2） 2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的Frenet标架如图为过M点的子午面。子午线的主法线MP´位于子午面内，且垂直于子午线切线T；R为过M点的平行圈切线，显然R垂直于M点的子午面，因此R垂直于MP´。所以， MP´垂直于椭球面在M点的切平面，因此它是椭球面的法线。 Frenet标架：曲线上任意一点处的三个相互正交的单位向量〔取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向〕构成的三维直角坐标系。

Z M´ M a u O X 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续3） 3、旋转椭球面及经纬线的参数方程 1). 以大地经度L及归化纬度u为参数的方程在XOZ子午面内，有在三维空间坐标系中：

Z M 0 90°+ B B O X T K0 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续4） (2). 以大地经纬度L、B为参数的方程切线M0T的斜率的导数式：由椭圆方程求导得：代入第一式得： 1

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续5）将代入椭圆方程，化简后得： 1 引入辅助符号：则有：

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续6）以大地经纬度两个参数表示的椭球面上一点的三维坐标为〔椭球面参数方程式〕：

以大地纬度为参数的经度为LC的子午线参数方程为:以大地纬度为参数的经度为LC的子午线参数方程为:

在一点〔BC ,LC 〕处的子午线切向量

子午线切线单位向量

以大地经度为参数的大地纬度为的BC纬线的参数方程为以大地经度为参数的大地纬度为的BC纬线的参数方程为

在一点〔BC ,LC 〕处的平行圈切向量

平行圈切线单位向量

椭球面单位法向量为其矢量积：

Z M 0   O X 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续7） (3). 以大地经度L及球心纬度为参数的方程球心纬度，向径，则对于 XOZ平面上的椭圆有：在椭圆上，向径由球心纬度唯一确定，将上式代入椭圆方程，得：

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续8）对于XOZ平面上的椭圆有：以经度、球心纬度两个参数表示的椭球面上一点的三维坐标为〔参数方程式〕为：

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续9）不难得出，u, B, 的关系为：因此有：由球心纬度公式，得：

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续10） 4、旋转椭球面的几何性质 a). 对称性 b). 有界性 c). 正则性：曲面上每点都对应于唯一确定的非零法向量。 d). 不可展性

2.2.3 法截线曲率及曲率半径 1、空间曲线的曲率几曲率半径若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。则曲线的曲率为：若以t参数，则曲线的曲率可表示为：

2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续1） 2、椭球面法截线的曲率 (1). 子午线曲率半径不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化纬度u为子午线方程的参数，则有：

2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续2） 则有：同理，若以大地纬度为参数，得：子午曲率半径M，就是曲率是倒数，即：

2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续3） (2). 卯酉线曲率半径定义：与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯酉线。根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率kn与平行圈曲率kr的关系为：平行圈半径为子午面XOZ 平面内的X坐标，即：则有，上述两式得卯酉曲率半径N为：

2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 4） (3). 任意方向法截线的曲率半径根据微分几何中的Euler公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：因此，任意方向的曲率半径为：当A为0，/2，， 3/2时，取得极值。

2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 5） (4). 平均曲率半径定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。代入上式，得：

2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 6） 不难得到：N  R  M 引入辅助量：存在下列关系：

2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算 1. 椭球面的第一基本形式椭球面上点的向量：椭球面上的微分弧长：其中：对于椭球面：

2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续1） 2、子午线弧长子午线微分弧长：积分得：用二项式展开，并逐项积分得：常数 A、B、C、D、E、F、G的计算公式见教材

2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续2）对于小于400km的弧长，可采用以下简化式。其中：根据：求出导数，代入上式并化简，得：对于小于40km的弧长，可进一步简化为：

2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续3）已知B1和弧长S1~2求B2称为反算，可采用叠代法计算。初值：叠代格式：要求：其中：

2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续4） 3、平行圈的半径与弧长相同经差的平行圈弧长在赤道最长，越靠近两极越小。

B+dB d MdB B NcosBdL L L+dL 2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续5） 4、利用经纬格网计算椭球面的面积

2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续6）上式利用二项式展开并积分，得：取 L2-L1 = 2，B2 = /2，B1 = 0 算得半球面积，乘2可以估算全球面积约为5.1亿平方公里

1、导出三种纬度 φ、u与B的关系。 2、导出子午曲率半径M与卯酉曲率半径N的计算公式。 3、M、N、R的关系如何？在什么条件下三者相同？ 4、某点到赤道的子午弧长 ,求该点的纬度。 a=6378245, =1/298.3 5、已知某点的纬度 ,求该点自赤道起的子午弧长。 a =6378245, =1/298.3 习题

2.2.5 大地线 1、大地线的定义与性质法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。相对法截弧：A到B的法截弧与B到A的法截弧。由相对法截弧构成的椭球面三角形不是闭合图形。

2.2.5 大地线（续1） 大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面； 2、曲面上连接任何两点的最短直线必为大地线。 3、大地线的测地曲率等于0 曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。大地线的曲率：大地线的挠率

2.2.5 大地线（续2） 2、大地坐标系中大地线的微分方程 (1). 大地线的二阶微分方程以u,v为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：下标为相应的偏导数。

2.2.5 大地线（续3） 对于椭球面，有：代入前面公式，得：则旋转椭球面上大地线的微分方程为：

2.2.5 大地线（续4） (2). 克莱劳定理直角坐标系中的椭球面方程：椭球面法向量为：以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：两者指向一致，即：

2.2.5 大地线（续5） 由上式的前两个方程得： 1 将三维空间坐标与大地坐标的关系式及微分式代入：代入式，整理得： 1 2

2.2.5 大地线（续6） 将关系式：即：大地线上各点的平行圈半径与该点的大地线方位角正弦的乘积是常数。代入上式，即得克莱劳定理：

2.2.5 大地线（续7） (3). 大地线的一阶微分关系式由克莱劳定理，微分得：

2.2.5 大地线（续8） 又如图所示：代入上式，得：三个微分关系式可整理为： 3

z´ x´ y´ 2.2.5 大地线（续9） 3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程大地线始点坐标P0(B0,L0)，大地线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式： 4 Frenet标架的坐标轴定义：x´指向大地线的切向t， y´指向大地线的主法向n，向内为正， z´指向大地线的副法向b，构成左手系。

2.2.5 大地线（续10） 显然有：根据曲线论中的Frenet公式：由以上两式可求出各阶导数：

2.2.5 大地线（续11） 4 将上式代入大地线展开式，得Frenet标架下的三维坐标： 5 顾及公式：

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