ความน่าจะเป็น โดย ผู้ช่วยศาสตราจารย์ระวีวรรณ วุฒิประสิทธิ์

1. ความน่าจะเป็น โดย ผู้ช่วยศาสตราจารย์ระวีวรรณ วุฒิประสิทธิ์

2. ชีวิตความเป็นอยู่ทุกวันนี้โดยทั่วไปเรามักจะพบกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นเช่นถ้าเราซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาลเราก็มีโอกาสจะถูกรางวัลหรือไม่ถูกรางวัลก็ได้หรือการโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้งมีโอกาสขึ้นหัวหรือก้อยได้เท่า ๆ กันหรือจากการหยิบไพ่ 1 ใบจากสำรับที่มี 52 ใบมีโอกาสที่จะได้ควีน โพดำหรือไม่ได้ควีนโพดำก็ได้หรือถ้ามีลูกแก้วสีดำสีแดงสีขาวอย่างละ 1 ลูกอยู่ในกล่องต้องการหยิบ 1 ครั้งให้ได้ลูกแก้วสีแดงก็มีโอกาสที่จะหยิบได้หรืออาจจะไม่ได้ก็ได้เหล่านี้เป็นต้นโอกาสหรือความน่าจะเป็นจึงเป็นคำตอบที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่สนใจที่เกิดขึ้นจากการกระทำที่เป็นการทดลองสุ่มดังนั้นก่อนที่จะหาค่าความน่าจะเป็นได้จึงจำเป็นต้องรู้จักคำที่เกี่ยวข้องอย่างน้อย 3 คำ คือ การทดลองสุ่มแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ 1

3. การทดลองสุ่ม นิยามการทดลองสุ่ม (random experiment) หมายถึงการทดลองใด ๆ ที่ทราบผลของการทดลอง ว่าจะเกิดอะไรขึ้นได้บ้างจากการทดลองนั้น ๆ แต่ไม่สามารถบอกหรือกำหนดได้แน่นอนว่าการทดลองครั้งนั้นได้ผลเป็นอะไรแน่ ตัวอย่างการทดลองสุ่ม 1. การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง 2. การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง 3. การโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง การหยิบไพ่จากสำรับ 1 ใบ 1 ครั้ง การจับสลาก 1 ใบ จากสลากที่ทำไว้ 10 ใบ 1 ครั้ง การหยิบครั้งที่ 1 ให้ได้ลูกแก้วสีแดงจากกล่องที่มีลูกแก้ว ดำแดงขาว อย่างละ 1 ลูก 2

4. แซมเปิลสเปซ นิยามแซมเปิลสเปซ (sample space) หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกหรือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่มนิยมเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ S 3

5. ตารางการทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซตารางการทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซ S1 = S2 = S3 = S4 = S7 = 4

6. สมาชิกแต่ละสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิลสเปซเรียกว่า จุดตัวอย่าง (sample point) ดังตัวอย่างข้างต้นแล้ว ในการทดลองครั้งหนึ่ง ๆ อาจมีแซมเปิลสเปซได้มากกว่า 1 แซมเปิลสเปซได้ เช่น จากการโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง ได้ผลลัพธ์เป็น S1 = n(S1) = 8 เมื่อต้องการรู้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น หรือ S2 = n(S2) = 4 เมื่อต้องการรู้จำนวนหัวที่เกิดขึ้นจากการโยนเหรียญ 3 อัน 5

7. การหาผลลัพธ์จากการทดลองบางอย่าง เช่น จากการโยนเหรียญ 3 อันอาจเขียนเป็นแผนภาพต้นไม้ (tree diagram) เพื่อทำให้สามารถหาสมาชิกหรือผลลัพธ์ได้ง่ายขึ้นดังนี้ ผลจากการ โยนเหรียญทั้ง 3 อัน ผลจากการ โยนเหรียญอันที่ 2 ผลจากการ โยนเหรียญอันที่ 3 ผลจากการ โยนเหรียญอันที่ 1 HHH H H HHT T H HTH H T T HTT H THH H T THT T H TTH T T TTT 6

8. ข้อสังเกต 1. การโยนเหรียญ 1 เหรียญ n ครั้งหรือโยนเหรียญ n เหรียญ 1 ครั้งจะได้จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซเท่ากับ 2nดังนั้นการหาจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซใด ๆ ที่ได้ผลลัพธ์จากการทดลองแต่ละครั้งที่เป็นไปได้ 2 อย่างจะได้ผลลัพธ์ของ n(s) = 2n 2. การทดลองทอดลูกเต๋า n ลูก 1 ครั้งถ้าสนใจผลลัพธ์ที่เป็นจำนวนแต้มที่หงายของลูกเต๋าแต่ละลูกจะได้จำนวนสมาชิกทั้งหมดของแซมเปิลสเปซเท่ากับ 6n 7

9. เหตุการณ์ นิยามเหตุการณ์ (event) คือเซตย่อยหรือสับเซตของแซมเปิลสเปซถ้าเหตุการณ์นั้นมีสมาชิก 1 ตัวเรียกว่าเหตุการณ์เชิงเดี่ยว (simple event) แต่ถ้าเหตุการณ์นั้นมีสมาชิกมากกว่า 1 ตัวเรียกว่าเหตุการณ์เชิงประกอบ (compound event) การหาเซตของเหตุการณ์ใด ๆ จำเป็นต้องรู้ว่าเกิดจากการทดลองสุ่มอะไรและรู้ว่าแซมเปิลสเปซประกอบด้วยอะไรบ้างจึงจะหาเหตุการณ์ที่สนใจได้ดังนี้ จากการทดลองสุ่มโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้งสนใจหน้าที่เกิด จาก S = ; n(S) = 8 A = เหตุการณ์ที่เกิดหัวอย่างน้อย 2 อัน A = ; n(A) = 4 B = เหตุการณ์ที่เกิดก้อยอย่างมาก 2 อัน B = ; n(B) = 7 C = เหตุการณ์ที่เกิดก้อยมากกว่า 1 อัน C = ; n(C) = 4 D = เหตุการณ์ที่เกิดหัว 2 อัน D = ; n(D) = 3 8

10. การหาค่าความน่าจะเป็น การหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ (probability) คือการหาค่าที่แสดงถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น ๆ ว่ามีได้มากน้อยเพียงใดซึ่งในที่นี้จะกล่าวถึงการหาค่าความน่าจะเป็น 2 วิธีคือการหาค่าความน่าจะเป็นวิธีตัวแบบคณิตศาสตร์หรือวิธีอมตะและการหาค่าความน่าจะเป็นโดยการใช้ความถี่สัมพัทธ์ 1. การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะ (classical method) นิยาม ถ้าการทดลองสุ่มมีผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น n(S)อย่างผลลัพธ์แต่ละอย่างมีโอกาสเกิดได้เท่า ๆ กันและจะเกิดได้อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้นถ้า n(A) คือจำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือ P (A) นั่นคือ P(A) = เมื่อ P(A) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A n(A) แทนจำนวนสมาชิกในเหตุการณ์ A n(S) แทนจำนวนสมาชิกทั้งหมดในแซมเปิลสเปซ ข้อสังเกตการหาความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะนี้ จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์จะต้องนับได้และมีจำนวนจำกัด 9

11. ตัวอย่างที่ 1 ถ้าสุ่มครอบครัวที่มีบุตร 3 คนมาครอบครัวหนึ่งจงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ของบุตรทั้ง 3 ต่อไปนี้ 1) มีบุตรชายอย่างน้อย 2 คน 2) มีบุตรหญิงอย่างมาก 2 คน 3) มีบุตรหญิง 2 คน 4) มีบุตรคนแรกเป็นหญิง 5) มีบุตรคนแรกเป็นชายคนที่สองเป็นหญิง 6) มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน 7) ไม่มีบุตรหญิงเลย 8) มีบุตรชาย 2 คนบุตรหญิง 2 คน 10

12. วิธีทำเขียนแผนภาพต้นไม้เพื่อหาสมาชิกของแซมเปิลสเปซโดยให้ช แทนชายและญ แทน หญิง ผลที่ได้ บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง บุตรคนที่สาม ชชช ช ช ชชญ ญ ช ช ชญช ญ ญ ชญญ ช ญชช ช ญ ญชญ ช ญญช ญ ญ ญญญ ญ รูปแสดงแซมเปิลสเปซของครอบครัวที่มีบุตร 3 คน 11

13. S = ชชช , ชชญ , ชญช , ชญญ , ญชช , ญชญ , ญญช , ญญญ ; n(S) = 8 1) ให้ E1แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรชายอย่างน้อย 2 คน E1 = ชชช , ชชญ , ชญช, ญชช n(E1) = 4 P(E1) = = = ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรชายอย่างน้อย 2 คนเท่ากับ 2) ให้ E2แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงอย่างมาก 2 คน E2 = ชชช , ชชญ , ชญช, ชญญ , ญชช , ญชญ , ญญช n(E2) = 7 P(E2) = = ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงอย่างมาก 2 คน เท่ากับ 12

14. 3) ให้ E3แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง 2 คน E3 = ชญญ , ญชญ , ญญช n(E3) = 3 P(E3) = = ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง 2 คนเท่ากับ 4) ให้ E4 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นหญิง E4 = ญชช , ญชญ , ญญช , ญญญ n(E4) = 4 P(E4) = = = ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นหญิงเท่ากับ 13

15. 5) ให้ E5 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นชายคนที่สองเป็นหญิง E5 = ชญช, ชญญ n(E5) = 2 P(E5) = = = ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นชายคนที่สองเป็นหญิงเท่ากับ • ให้ E6 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน E6 = ชญญ , ญชญ , ญญช , ญญญ n(E6) = 4 P(E6) = = = ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คนเท่ากับ 14

16. 7) ให้ E7 แทนเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตรหญิงเลย E7 = ชชช n(E7) = 1 P(E7) = = ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตรหญิงเลย เท่ากับ 8) ให้ E8 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย 2 คนบุตรหญิง 2 คน E8 = =  n(E8) = 0 P(E8) = = = 0 ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คนเท่ากับ 0 15

17. ตัวอย่างที่ 2ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้งจงหา 1) แซมเปิลสเปซ 2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มที่ขึ้นเท่ากับ 8 3) เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มที่ขึ้นหารด้วย 4 ลงตัว 4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน 5) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้มเป็น 4 6) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 2 และหารลูกที่สอง ได้ลงตัว 7) ความน่าจะเป็นของข้อ 2 และข้อ 3 วิธีทำ 1) S =  (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)  n(S) = 36 16

18. 2) ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 8 A = (2,6) , (6,2) , (3,5) , (5,3) , (4,4) n(A) = 5 3) ให้ B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มที่ขึ้นหารด้วย 4 ลงตัว B = (1,3) , (3,1) , (2,2) , (2,6) , (6,2) , (3,5) , (5,3) , (4,4) , (6,6) n(B) = 9 4 ) ให้ C แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน C = (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) ; n(C) = 6 = = = 17

19. 5) ให้ D แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 4 D = (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ; n(D) = 6 = = = 6) ให้ E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 2 และหารลูกที่สองได้ลงตัว E = (2,2) , (2,4) , (2,6) ; n(E) = 3 = = = 7) = = = = = 18

20. การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีการใช้ความถี่สัมพัทธ์ (relative frequency method) นิยามถ้ามีการทดลองซ้ำ ๆ กัน n ครั้งเกิดเหตุการณ์ A ขึ้น f ครั้ง ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ A คือหรือความน่าจะเป็นโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์เกิดจากอัตราส่วนระหว่างความถี่ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหรือที่สนใจกับความถี่ของเหตุการณ์ทั้งหมดนั่นคือ P(A) = ตัวอย่างที่ 3โยนเหรียญบาท 1 อัน 700 ครั้งปรากฏว่าขึ้นหัว 250 ครั้งจงหาความน่าจะเป็นของ การเกิดหัวจากการโยนเหรียญบาทนี้ วิธีทำให้ A เป็นเหตุการณ์ของการโยนที่เกิดหัว P(A) = = 0.3571 ดังนั้นความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญนี้ที่จะเกิดหัว เท่ากับ 0.3571 19

21. ตัวอย่างที่ 4 บริษัทรับทำประกันอัคคีภัยแห่งหนึ่งกำลังเปิดทำประกันอัคคีภัยที่อำเภอหนึ่งและเพื่อเป็นการหาข้อมูลสำหรับการกำหนดอัตราการประกันจึงได้ทำการสำรวจคนในอำเภอนี้มา 10,000 คนพบว่ามีจำนวนผู้สนใจทำประกันอัคคีภัยอยู่ 1,750 คนจงหาความน่าจะเป็นที่คนในอำเภอนี้จะทำประกันอัคคีภัย วิธีทำความน่าจะเป็นที่คนในอำเภอนี้จะทำประกันอัคคีภัย= = = 0.175 20

22. ตัวอย่างที่ 5ในภาคเรียนที่แล้วมีนักศึกษาลงทะเบียนเรียนวิชาการคิดและการตัดสินใจจำแนกตามเพศ อายุและคณะเป็นดังนี้ • ถ้าสุ่มนักศึกษา 1 คนจากตารางนี้จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ • เป็นนักศึกษาอายุ 20 – 23 ปี • เป็นนักศึกษาชายคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี • เป็นนักศึกษาหญิงที่อายุไม่เกิน 23 ปี • เป็นนักศึกษาชาย • เป็นนักศึกษาชายที่อายุตั้งแต่ 20 ปีขึ้นไป • เป็นนักศึกษาหญิงอายุน้อยกว่า 20 ปี • เป็นนักศึกษาคณะวิทยาการจัดการ 21

23. วิธีทำ จากตารางหาผลรวมในแนวตั้งและแนวนอนได้ดังนี้ วิธีทำ จำนวนนักศึกษาทั้งหมด = 45 + 75 + 58 + 92 = 270 คน 1) ให้ A แทนนักศึกษาอายุ 20 – 23 ปี จำนวน 24 + 38 + 31 + 53 = 146 คน P(A) = 2) ให้ B แทนนักศึกษาชายคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีจำนวน 45 คน P(B) = 22

24. 3) ให้ C แทนนักศึกษาหญิงที่อายุไม่เกิน 23 ปีจำนวน 19+38+29+53 = 139 คน P(C) = 4) ให้ D แทนนักศึกษาชายจำนวน 45 + 58 = 103 คน P(D) = 5) ให้ E แทนนักศึกษาชายที่มีอายุตั้งแต่ 20 ปีขึ้นไปจำนวน 24 + 10 + 31 + 12 = 77 คน P(E) = 6) ให้ F แทนนักศึกษาหญิงอายุน้อยกว่า 20 ปี จำนวน 19 + 29 = 48 คน P(F) = 7) ให้ G แทนนักศึกษาคณะวิทยาการจัดการจำนวน 58 + 92 = 150 คน P(G) = 23

25. คุณสมบัติความน่าจะเป็นคุณสมบัติความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ใด ๆ มีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1 เท่านั้น นั่นคือ 0 P(A) 1 หรือ 0% P(A) 100 % กล่าวได้ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่างจะมีค่าเท่ากับ 0 คือ P() = 0 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปซมีค่าเท่ากับ 1 คือ P(s) = 1 เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน P(A) = 0.5 หมายถึง เหตุการณ์ A มีโอกาสเกิดหรือไม่เกิดได้เท่ากัน 24

26. สรุป ความน่าจะเป็นเป็นค่าที่บอกถึงโอกาสหรือคำตอบที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจากการ ทดลองสุ่ม การทดลองสุ่มคือการทดลองใด ๆ ที่ไม่สามารถบอกผลลัพธ์ที่แน่นอนของการทดลองนั้นได้ ล่วงหน้าเพียงแต่รู้ว่าจะเกิดอะไรได้บ้างและสิ่งที่เกิดขึ้นหรือผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดลองนั้น ๆ เรียกว่าแซมเปิลสเปซแต่ถ้าเรานำผลลัพธ์หรือสิ่งที่เกิดขึ้นจากแซมเปิลสเปซ บางส่วนมาเราเรียกสิ่ง นั้นว่าเหตุการณ์เหตุการณ์จึงหมายถึงสับเซตหรือส่วนหนึ่งของแซมเปิลสเปซนั่นเอง การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะหาได้จากอัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของ เหตุการณ์ที่สนใจกับจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซคือ P(A) = แต่ถ้าเป็นการหาค่าความ น่าจะเป็นด้วยการใช้ความถี่สัมพัทธ์จะได้อัตราส่วนระหว่างจำนวนเหตุการณ์ที่สนใจกับจำนวน เหตุการณ์ทั้งหมดคือ P(A) = และค่าความน่าจะเป็นใด ๆ จะมีค่าอยู่ในช่วง 0  P(A)  1 หรือ 0%  P(A)  100%เท่านั้นโดยที่ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดมีค่าเท่ากับ 0 หมายความว่าเหตุการณ์นั้นจะไม่มีโอกาสเกิดขึ้นถ้า ค่าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 หมายความว่าเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นแน่นอนหรือถ้าค่าความน่าจะเป็นมีค่า เท่ากับ 0.5 หมายความว่าเหตุการณ์นั้นอาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน 25