第 7 章位移法

第7章位移法

主要内容 §7-1 位移法概述 §7-2 位移法未知量的确定 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程 §7-5 位移法举例 §7-6 基本体系和典型方程法 §7-7 对称性的利用 §7-8 其它各种情况的处理

内力变形在外因作用下内力与变形间存在关系产生结构 §7-1 位移法概述 ●位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种：以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。

B A C 45o 45o BD伸长：杆端位移分析 D D结点有一向下的位移 DA伸长： △ FP DC伸长：由材料力学可知：杆端力与杆端位移的关系 §7-1 位移法概述 ● 位移法是以力法作为基础的。 ●位移法是以结点的位移作为的未知量的。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。结点位移与杆端位移分析

由结点平衡： 建立力的平衡方程由方程解得：把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力： §7-1 位移法概述位移法方程

§7-1 位移法概述 总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。

C C B B 只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结点有一个转角和水平位移 A A 只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有 §7-2 位移法未知量的确定 ●结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点（初学时）。 ●位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ●杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 ●为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。例1：例2：

例3： 有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：例4：有两个刚结点E、F、D、C，由于忽略轴向变形， E、F、D、C点的竖向位移为零， E、F点及D、C点的水平位移相等，因此该结构的未知量为： §7-2 位移法未知量的确定

结论： 刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形及B、C点的约束，B、C点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为： A B D C A B 桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为： D C §7-2 位移法未知量的确定例5：例6：

排架结构，有两个铰结点A、B， 由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为： A B EA=∞ D C 两跨排架结构，有四个结点 A、B、C、D，同理A与B点、D与 C点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但D结点有一转角，因此该结构的未知量为： A B EA=∞ C D E F G §7-2 位移法未知量的确定例7：例8：

D D 该题的未知量为 C C E E B B A A 对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。 §7-2 位移法未知量的确定例9：

△ 结论：该题有两个未知量：其中BA杆的线位移为：△ BC杆的线位移为： C D B A 分析方法：该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平移至B’C’，然后它绕B’转至D点。 §7-2 位移法未知量的确定 C’ 例10： B’

q B EI C 刚结点B处：两杆杆端都发生了角位移； EI 杆长为：L 未知量为： A 对于BC杆：其变形及受力情况与：一根一端固定一端铰结的单跨超静定梁，在均布荷载 q 以及在固定端B处有一角位移作用下的情况相同，其杆端力可以用力法求解。 q EI B C §7-3 杆端力与杆端位移的关系刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。 BC杆

B A 结论：在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。 §7-3 杆端力与杆端位移的关系对于BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在B端发生了角位移的结果,其杆端力也可以用力法求解。 BA杆

正弯矩：对杆端是顺 时针转的，对结点是逆时针转的。 §7-3 杆端力与杆端位移的关系为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。

1、两端固定单元，在A端 发生一个顺时针的转角。由力法求得：由力法求得： EI,L B MBA MAB A 2、两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角。 EI,L MBA B MAB A §7-3 杆端力与杆端位移的关系

3、两端固定单元，在B端 发生一个向下的位移。 MBA B A EI,L 由力法求得：由力法求得： MAB △ 4、一端固定一端铰结单元，在A端发生一个顺时针的转角。 A B EI,L MAB MBA §7-3 杆端力与杆端位移的关系

△ 5、一端固定一端铰结单元，在B端发生一个向下的位移。由力法求得：由力法求得： MBA 6、一端固定一端滑动单元，在A端发生一个顺时针的转角。 A A B B EI,L EI,L MBA MAB MAB §7-3 杆端力与杆端位移的关系

7、两端铰结单元，在A端 发生一个轴向位移。 △ EA EA EA EA △ △ △ △ L L L L 由力法求得：由材力可知： B EA,L A △ A B EA,L §7-3 杆端力与杆端位移的关系 8、两端铰结单元，在B端发生一个轴向位移△。

两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式： §7-3 杆端力与杆端位移的关系 ●前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。 ●前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采用叠加原理进行。

一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式： §7-3 杆端力与杆端位移的关系

q BA杆：可看作两端固定的梁，但是在B端支座发生了转角，方向假设为顺时针，杆端弯矩表达式： EI B C EI 杆长为：L 未知量为： A BC杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，在B端发生了转角以及在均布荷载作用下，杆端弯矩表达式： §7-3 杆端力与杆端位移的关系利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。例：

BA杆： 可看作两端固定的梁，在B端支座发生了转角水平位移，还有均布荷载作用下，杆端弯矩表达式： FP B 2EI C q EI L A L/2 L/2 未知量2个： BC杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，在B端发生了转角、以及在集中力作用下，杆端弯矩表达式： §7-3 杆端力与杆端位移的关系例：

§7-4 利用平衡条件建立位移法方程 基本思路 ——先拆、后装，即： 1）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式； 2）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩应满足，对于任意的脱离体都应满足或。

BA杆：杆端弯矩表达式： q EI B C BC杆：杆端弯矩表达式： EI 杆长为：L 未知量为： A 建立位移法方程：取B结点，应该满足: §7-4 利用平衡条件建立位移法方程例: ——位移法方程

FP BA杆：杆端弯矩表达式： B 2EI C q EI L A BC杆：端弯矩表达式： L/2 L/2 未知量2个：建立位移法方程：取B结点由 : —位移法方程① §7-4 利用平衡条件建立位移法方程例：

建立位移法方程： 取BC截面由 : MBA ……② FQBA B q A FQAB MAB 把FQBA代入②式,得: ----位移法方程② §7-4 利用平衡条件建立位移法方程求FQBA,取BA杆,由

1. 确定未知量 BA杆未知量为: 取B结点，由 ,得: 3. 建立位移法方程 ……① BC杆 §7-5 位移法举例 q 例1: B EI C EI 杆长为：L A 2. 写出杆端力的表达式

4. 解方程，得: B qL2 qL2 qL2 C 8 14 28 A §7-5 位移法举例 6. 画弯矩图 5. 把结点位移回代，得杆端弯矩 M图

q FP 3. 建立位移方程 2EI EI B A C L L 取出B结点: 1. 位移法未知量未知量： 2. 杆端弯矩表达式 ……① ……② §7-5 位移法举例例2：

求FQBA 求FQBC 后面的工作就省略了。 ……② §7-5 位移法举例把FQBCFQBA代入方程②中得：

1. 位移法未知量 2. 杆端弯矩表达式未知量： 3. 建立位移方程 ……① §7-5 位移法举例例3：

取出BEG截面： 取出EG截面： §7-5 位移法举例 … …② … …②

… …③ … …③ … …① §7-5 位移法举例位移法方程： … …②

§7-5 位移法举例 小结：（1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移) 思路与方法基本相同；（2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，在具体作法上增加了一些新内容： ▲在基本未知量中，要含结点线位移； ▲在杆件计算中，要考虑线位移的影响； ▲在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。

§7-6 基本体系和典型方程法 1、位移法基本体系 1）基本体系——单跨超静定梁的组合体。（用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待）。 2）构造基本体系（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂 ——阻止刚结点转动（不能阻止移动）；（2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆 ——阻止结点线位移（移动）。

q q 在有线位移的结点处先加一链杆，阻止线位移，然后再让其发生线位移。 B EI C 未知量2个： EI L A L 在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。 ▲ §7-6 基本体系和典型方程法经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单跨超静定梁组成的组合体——即为位移法的基本体系。例：构造图示结构位移法的基本体系。基本体系原结构

§7-6 基本体系和典型方程法 2、利用基本体系建立位移法方程 1）基本原理 ——先锁、后松。锁住——将原结构转换成基本结构。把原结构“拆成”孤立的单个超静定杆件；放松——将基本结构还原成原结构。即强行使“锁住”的结点发生与原结构相同的转角或线位移。 2）位移法典型方程的建立与求解

q Z1=1 q B EI 4 i B EI C 3 i C EI EI L A M2图×Z2 M1图×Z1 A 2 i L Z2=1 在M1、M2、MP三个图中的附加刚臂和链杆中一定有力产生，而三个图中的力加起来应等于零。 6EI 6EI qL2 L2 L2 8 §7-6 基本体系和典型方程法 Z1 Z2 = = 基本体系原结构 + + MP图

F1P k12 k11 q Z1 k21 F2P Z2 Z1=1 B EI 4 i C 3 i EI 基本体系 A M2图×Z2 M1图×Z1 2 i Z2=1 6EI 6EI k22 qL2 L2 L2 8 MP图 §7-6 基本体系和典型方程法附加刚臂和链杆上产生的力 = + +

在M1、M2、MP三个图中附加刚臂和链杆中产生的附在M1、M2、MP三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：方程中的系数和自由项就是M1、M2、MP三个图中刚臂和链杆中产生的附加力。位移法典型方程由反力互等定理可知： §7-6 基本体系和典型方程法

由M1图： k11 k12 k21 k22 FQBA FQBA k11 3i 4i k12 6i/L §7-6 基本体系和典型方程法求系数和自由项——方法是：取各个弯矩图中的结点或截面利用平衡原理求得。由M2图：

F1P F2P F1P FQBA=0 qL2 8 把系数和自由项代入典型方程，有： §7-6 基本体系和典型方程法由MP图： ——位移法方程

3、解方程，得结点位移 4、画弯矩图计算步骤: 1、确定未知量，画出基本结构； 2、画出M1、…MP图； 3、求出系数和自由项，得到位移法方程； 4、解方程，得到结点位移； 5、按下式画弯矩图： §7-6 基本体系和典型方程法

是主系数，永远是正的。 其中：是副系数，有正有负。由反力互等定理可知： ——物理意义是：由第j个结点位移发生单位位移后，在第i个结点位移处产生的反力。 §7-6 基本体系和典型方程法如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：

M M Z1 B B C C A A L Z2 E E D D L L 解：1、未知量： Z3 §7-6 基本体系和典型方程法例1：用典型方程法计算图示结构，杆长均为L，EI为常数。原结构 2、基本结构如上图所示 3、位移法方程

Z1=1 4i B A 2i E D M1图 §7-6 基本体系和典型方程法 4、求系数和自由项取B结点： 3i i 取BE截面：取E结点：

2i Z2=1 4i 4i 2i M2图 §7-6 基本体系和典型方程法取B结点：取BE截面：取E结点：

6i/L 6i/L Z3=1 M3图 §7-6 基本体系和典型方程法取B结点： 3i/L 取BE截面：取E结点：

M §7-6 基本体系和典型方程法取B结点： MP图取BE截面：取E结点：

第 7 章 位移法