第四篇多元函数微分学

第四篇多元函数微分学

多元函数微分法 一.多元函数的概念在前面各章的学习中，我们讨论的函数都只限于一个自变量的函数，称为一元函数．在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数．

例如：矩形的面积s=xy，描述了面积s与长x、宽y这两个量之间的函数关系。又如，烧热的铁块中每一点的温度T与该点的位置之间有着密切的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标(x,y,x)表示时，温度T由x、y、z这三个变量确定，如果进一步考虑到冷却过程，那么T还和时间t有关，即T由x、y、x、t四个变量所决定。以上例子中两个、三个、四个变量，分别称为二元、三元、四元函数，一般称为多元函数。例如：矩形的面积s=xy，描述了面积s与长x、宽y这两个量之间的函数关系。又如，烧热的铁块中每一点的温度T与该点的位置之间有着密切的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标(x,y,x)表示时，温度T由x、y、z这三个变量确定，如果进一步考虑到冷却过程，那么T还和时间t有关，即T由x、y、x、t四个变量所决定。以上例子中两个、三个、四个变量，分别称为二元、三元、四元函数，一般称为多元函数。

定义1： 的非空子集D到R的映射f，称为D上的一个点函数或n元函数。D称为这个函数的定义域。由以上定义，任意p D，p为( ) y R, 记为y=f(p)，称为函数f的第i个变量。Y称为f的因变量或y的自变量的函数。又有：多元函数是一元函数的推广，因此它仍然保留了一元函数的许多性质。一元函数 y=f(x) 定义D： R x：D中的一个点p的坐标将P扩大到平面或几何空间或n维抽象n维空间的点，所以称n元有序实数组( )是n维空间的一个点。由此可有 f f

定义2：如果独立变量 在它们的变化范围内任取一组值时，变量y按照一定的法则，总有一个实数与之对应，则y叫做的n元函数，记为y=f( ). 叫做自变量，y叫做因变量，自变量的变化范围叫做这个函数的定义域。当n=1时，y=f(p)即为一元函数。n 2时，n元函数称为多元函数。若强调一组对应唯一的函数值时，函数称为单值函数。否则称为多元函数，今后一般的多元函数均为单值函数。

二：二元函数的几何表示 二元函数z=f(x,y)，定义域D为XOY面上的某一区域D。对 P(x,y) D,空间中有点M(x,y,z)与P(x,y)中的(x,y)对应，其中z=f(x,y)。这样，p在D中变动时，M也在空间中变动。M形成轨迹就是z=f(x,y)的图像，一般来说，它是一曲面。例如：z= 为半球面。

三：点函数的极限 将一元函数微分法推广到多元函数，首先要将一元函数的极限推广到多元函数。一元函数的极限：y=f(x), f(x)=A, 即对 >0, >0,当 0<|x- |< 时，|f(x)-A|< 成立。称 f(x)=A 或对 >0, 的一个去心邻域N( , )当 x N( , ) 时，f(x) N(A, )。因此有，定义3：设函数f(p)在点集D上有定义，为D的聚点，A是一个定常数，如果 >0, >0，当p N ( , )时，恒有 |f(p)-A|< 成立则称A是点函数f(p)当p 时的极限，记为 f(p)=A 或记为 f(p) A (p ) 多元函数的极限经常遇到的形式为n=2的情形。 n=2，p=(x,y). f(p)记为z=f(x,y), ( , ) N( , )={(x,y)|0< < } ，记p＝极限记为 f(x,y)=A或f(x,y) A(p )

多元函数的极限经常遇到的形式为n=2的情形。 n=2，p=(x,y). f(p)记为z=f(x,y), ( , ) N( , )={(x,y)|0< < } ，记p＝极限记为 f(x,y)=A或f(x,y) A(p ) 二元函数的极限也称为二重极限。

§例题分析： 1. 求证 : 证明：对 , 要证因为只须令即可对当时，有

对于二重极限，务必注意： 二重极限存在，是指以任何方式趋近于时，函数都无限接近于 ,故若是以某一特定方式趋近于；即使无限接近于A,也不能断定的极限存在。反过来，若当以不同方式趋近于时，的极限不同，则可断定的极限不存在。同理，当取某一特定路径时，的极限不存在，则可确定的极限不存在。这与一元函数的极限存在一定是左右极限存在且相等的道理相同。

例2：证明：，当 时极限不存在。证明：取时的路径。极限不存在。得证。例3：以知

求解：沿沿极限不存在。四。多元函数的连续性： 1。一元函数的连续性：在点连续多元函数的连续性：在点连续

二元函数在连续: 若在D上每一点均连续，称在D内连续. 2。间断点：在不连续，称为的间断点。以下情形的为间断点： 1）在处极限不存在 2）在处无定义 3）

3。连续函数的性质。 定理1（最值定理）：在有界闭区域D上有定义，且在D上连续，则 ,使得 , 称为在D上的最小值和最大值. 定理2（介值定理）在有界闭区域D上连续，且 m,M分别为在D上的最小值，最大值。若数u 满足，则使得 4.运算：多元连续函数的和，差，积均连续。分母不为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数的复合

函数也是连续的。 多元初等函数在其定义区域上连续。五：本节例题 1.已知，若当y=1，z=x时，求及z. 解： y=1，z=x 有{ 又

2.求极限. 1) 2) 3) 解:1) 2 ) 3)

§2. 全微分与偏导数 一。偏导数回忆y=f(x) 在x0的导数：f ‘(x0)= 对于多元函数来说，由于有n个变量，其偏导数即是对于某一个自变量的导数，其它的自变量看成是不变的量的导数，故有定义1：设z=f(x,y)在P0的某一领域上有定义，当自变量x 取增量，，y不变， z取得偏增量

若当时，极限存在，此极限值称为z=f(x,y)在P0处对x的偏导数,记为f’x(x0,y0)

若z=f(x,y)在D上任意一点P(x,y)均对 x存在偏导，则在P上形成对x的偏导函数，即

从定义看，求z=f(x,y)对x的偏导数的偏微分法，实际上与一元函数的微分法是一致的。从定义看，求z=f(x,y)对x的偏导数的偏微分法，实际上与一元函数的微分法是一致的。同理，可以得到其他的多元函数的偏导数，u=f(x1,x2,…xn)给x1以增量

例1。F(x,y)=x3+2x2y-y3在点（1，3）关于x与y的偏导。例1。F(x,y)=x3+2x2y-y3在点（1，3）关于x与y的偏导。解：

例2。

例3。u=ln(1+x+y2+z3).求（ux’+uy’+uz’)l(1,1,1)

二元函数偏导数的几何意义： 二元函数z=f(x,y)的图形是一曲面，将y固定为b，则f(x,b)就是z=f(x,y)与平面y=b的交线，故为交线在（a,b)处对x轴的斜率二。全微分 1。全微分的概念：一元函数y=f(x),给x以增量

类似的多元函数也有(以二元函数为例) • (1).全增量,z=f(x,y)在点P(x,y)的某领域上 • 有定义.对自变量x给增量增量 ,y给则称为z=f(x,y)在点P(x,y)对 (2)定义: 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全增量 △z=A △x+B △y+o(p) 其中A,B与△x, △y无关可表示为

dz,或df(x,y),即dz= • 同理可定义其他多元函数的全微分.

例:考察f(x,y)=xy在点( 处的可微性

处可微时，在 处一定连续。故有以下结论：f(x,y)在点（x,y）可微，则一定在(x,y)连续。若f(x,y)在D没一点处均可微，则说在D上可微。2。可微的条件：（以二元函数z=f(x,y)为例）由y=f(x)可微大家知道，　　　，即那么z=f(x,y)的微分中的A=?,B=?定理1：(可微的必要条件)若z=f(x,y)在p(x,y)处可微，那么，z=f(x,y)在点（x,y）处的偏导数一定存在，且证明：z在p(x,y)处可微

故 ①当①中，所以所以类似多元函数可微，则由以上定理知，可微则偏导数存在，若偏导数存在，是否一定可微呢？答案是否定的。

举例： 在原点（0，0）显然同理若f(x,y)在（0，0）可微，则应是的高阶无穷子。而不存在所以，虽然f(x,y)在（0，0）处的偏导数存在，但f(x,y)在（0，0）处不可微。故有:

定理2：(可微的充分条件) z=f(x,y)的偏导 在点p(x,y)的某一领域内存在，且在点p处连续，则z=f(x,y)在p(x,y)处可微证明：应用一元函数的拉格朗日中值定理有：又由在p(x,y)连续，所以有同理：

而所以z=f(x,y)在p(x,y)可微。经常地，记 的微分同样可记为：

例题分析：1。解：2。解：3解：

ξ3. 复合函数微分法一。连锁法则：定理1：设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)的偏导数存在，函数z=f(u,v) 在相应于（x,y）的点(u,v)可微，则有：证明：

f(u,v)在（u,v）可微，故 均存在，故上式当时的极限为

例1：z= ,x=rcos ,y=rsin . 求， . 解： = =2xcos +2ysin =2rcos +2rsin =2r. = =2x(-rsin )+2yrcos =-2r cos sin +2r sin cos =0.

以上规则称为连锁规则。如下图所示： 对于复合函数的微分法，注意以下几点： 1. z=f(u.v),u=u(x).v=v(x).则：，这时z实际上是x的一元函数。 2.z=f(u,v,w).u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y).则： 3.z=f(u,v,x).u=u(x,y),v=v(x,y).则：（令w=x）

= . 这里的是z=f(u,v,x)=f(u(x,y),v(x,y),x)中将y看成是常量，对x的偏导。而是z=f(u,v,x)中将u,v看成常量对x的偏导。这二者意义不一样。所以： 4.实际上,也可以将u=u(x,y),v=v(x,y)代入到z=f(u,v)中，变成z是x,y的函数，再对求偏导，效果应是一致的，只是用连锁规则会更简洁一些．例题解析：１．Z=arcsin ,y=x .求　，　，　．　解：　＝

　　　　＝　　　　　　　　＝　　　　＝　　　　＋　　　　２x= 2.z=uv+sinx,u=e ，v=cosxy.求　．解：＝　　＋cosx =v +u[-sin(xy)] y+cosy

=cosxy +e (-ysinxy)+cosx 3.y=x .求　．解：令y=u ,u=x,v=x,则：　　＝＝vu　１＋u lnu1 =xx+x lnx =x (1+lnx) 4.z= ,f为可微函数,验证: 解:令v=x –y ,z= =F(y.v)

所以 = = 2x, = = 故 + =2 - + = 而 =上式. 得证. 二.一阶微分形式不变性: 在一元函数中,y=f(x), dy=f ’(x)dx, y=f(u), u是自变量时, dy=f ’(u)du. u是中间变量时, u=u(x),dy=f ’(u)du

即不论u是中间变量还是自变量,dy=f ’(u)du,这就是一元函数二阶微分形式具有不变性. 对于多元函数(以二元函数为例).z=f(u,v).u,v为自变量时, dz= du+ dv 而当z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)时,因 dz= dx+ dy = ( )dx+( )dy = [ dx+ dy]+ [ dx+ dy] = du+ dv. 所以不论u,v是自变量,还是中间变量,z=f(u,v),均有dz= du+ dv 多元函数一阶全微分形式只有不变性.

§4 隐函数微分法 一. 一元函数隐函数微分法设y=f(x)是由方程F(x,y)=0确定的隐函数,求 =f’(x). 对F(x,y)=0两边对x求导,将y看成是中间变量, =0. 例: e -xy=0,确定y是x的函数.求 . 解: e -y-x =0 = . 二. 由方程确定的隐函数 Th1.(隐函数存在定理) 设(n+1)元函数F(x ,x ,……,x ,u)在点p ( )的某一邻域上具有偏导数,且F( )=0,F ’( ) 0, 则在P 的某个邻域上,由方程F(x ,x ,……,x ,u)=0确定的唯一单值连续函数且具有连续偏导的n元函数. u=f(x ,x ,……,x ),它满足条件:

u =f( ) F[ , f( )]=0 而且有: =- 事实上:将F(x ,x ,……,x ,u)看成是复合函数,则两边对x 求偏导: + =0 =- = 这就是隐函数的求导公式. 例1: 设 ,决定z=z(x,y),求 , . 解: = , F(x,y,z)= , =2x, =2z-4. 故 =- = .

例2: 2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny=0决定u=u(x,y,z).求 . 解:令F(x,y,z,u)=2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny 所以 = =4cos(x+2y-3z-u )+cosy =2cos(x+2y-3z-u ) 2u 所以 =- 例3: siny+e –xy =0,决定y=f(x).求 . 解: =- =e –y , =cosy-2xy 所以 =

同时对上述各题,也可直接对方程两边求偏导,但必须注意到其中一个变量是中间变量.同时对上述各题,也可直接对方程两边求偏导,但必须注意到其中一个变量是中间变量. 例如: = ln ,决定z=z(x,y),求 . 解:两边对求x偏导.有: = 故 = 三.由方程组确定的隐函数一般情况下: 当只有量x,y独立变化时,这方程组就可以确定两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y). 定理2: (隐函数存在定理) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v),在 p (x ,y ,u ,v )的某一邻域上是有连续的偏导

并且F(p )=0,G(p )=0,若由偏导组成的方程雅可比行列式 J= = ,当J 时,则在p 的N(p , )上唯一确定单值连续且只有连续的偏导的函数u=u(x,y),v=v(x,y),且 u =u(x ,y ),v =v(x ,y ) =- =- =- =-

2. 确定了 解:两边对x求导四;反函数微分法则: 若在区间I上严格单调,可导且　则　　　　的反函数　　　　　也可导,且　　　　　对于二元函数来说有定理３：（反函数微分法）设

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