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第五讲微积分学中的应用

第五讲微积分学中的应用. 一、求极限. 1. 极限命令格式 :. limit(expression,var ， a,’left’ 或‘ right’). syms x y a. f=sin(x+2*y). limit(f). ans = sin(2*y). 说明：默认的变量为 x, 且极限为 x→0,. limit(f,y). ans = sin(3*y). 说明：默认的变量为 x, 且极限为 x→y. limit(f,y,0). ans = sin(x). 求二元函数的二次极限 《 数学分析 》 （复旦大学） P140. 求两个二次极限.

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第五讲微积分学中的应用

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Presentation Transcript

  1. 第五讲微积分学中的应用 一、求极限 1.极限命令格式: limit(expression,var，a,’left’或‘right’) syms x y a f=sin(x+2*y) limit(f)

  2. ans = sin(2*y) 说明：默认的变量为x,且极限为x→0, limit(f,y) ans = sin(3*y) 说明：默认的变量为x,且极限为x→y.

  3. limit(f,y,0) ans = sin(x) 求二元函数的二次极限《数学分析》（复旦大学）P140 求两个二次极限

  4. syms x y f=(x^2-y^2+x^3+y^3)/(x^2+y^2) limit(f) %默认的极限x→0 ans =-1+y limit(limit(f)) %默认的极限y → 0

  5. limit(f,y,0) ans =1+x limit(limit(f,y,0)) ans =1 2.更多练习 （1）求极限 f=sin(5*x)/(4*x) limit(f)

  6. （2）求极限 limit((1+2/x)^(3*x),x,inf) （3）求极限 limit((exp(-x)-1)/x) （4）求极限 limit((x^2+2)/log(x+1),x,-1,’right’)

  7. 二、求导数 应用Matlab求抽象函数的导数操作十分简单，操作步骤如下： 1）说明函数的自变量， 2）说明函数的形式或定义抽象函数 3）用diff求导，有多种形式。 （1）求一元函数一阶导数

  8. diff(f) diff(sin(x^2)) （2）求一元函数高阶(n阶）导数diff(f,n) 求四阶导数 diff(2*t^4+exp(-3*t),4) 练习求基本初等函数的高阶导数

  9. （3）求含参变量的函数的导数，其实质是求多元函数的偏导数。（3）求含参变量的函数的导数，其实质是求多元函数的偏导数。 形式diff(f,’变量‘，阶数） diff((1/(2*a))*(log((x-1)-log(x+1))),’x’) diff((1/(2*a))*(log((x-1)-log(x+1))),’a’)

  10. 复旦大学《数学分析》P154求二元函数的高阶导数复旦大学《数学分析》P154求二元函数的高阶导数 u=xsin(x+y)+ycos(x+y) syms u u=x*sin(x+y)+y*cos(x+y) %定义函数U diff(u,‘x’,2) %求U关于x的二阶偏导数 diff(u,'y',2) %求U关于y的二阶偏导数 diff(diff(u,‘x’),‘y’) %求u关于x,y的混合偏导数

  11. （3）求隐函数的导数（偏导数）。其实质是利用隐函数求导法求导数（偏导数）（3）求隐函数的导数（偏导数）。其实质是利用隐函数求导法求导数（偏导数） 例求由方程x+y+z=e-(x+y+z)确定的隐函数z=z(x,y)关于x的导数和z关于x,y的二阶偏导数 syms x y z F='x+y+z-exp(-x-y-z)' diff(F,x) diff(F,y) diffzy=-diff(F,y)/diff(F,z) diffzx=-diff(F,x)/diff(F,z)

  12. 二阶混合偏导数 diffzxy=diff(diffzx,y) diffzxz=diff(diffzx,z) diffzxy=-diffzxy/diffzxz （4）求一元复合函数的导数

  13. 例：已知：y=sin(u3);u=x2tanx。求y对x导数 syms x u u=x^2*tan(x) diffyx=diff(y,x)

  14. diffyx = cos(x^6*tan(x)^3)*(6*x^5*tan(x)^3+3*x^6*tan(x)^2*(1+tan(x)^2)) 如果命令变为： syms x u y=sin(u^3) u=x^2*tan(x) diffyx=diff(y,x) 在matlab中只要按已知顺序给出函数表达式，则diff命令将自动按照链式法则进行求导。

  15. 三、求积分 1.不定积分形式一 int(f) 求不定积分 syms x; int(((x+2)/x)^2) 求不定积分 int((sin(x))^2*cos(x))

  16. 2.不定积分形式二int(f,v) u='sin(x+2*y+3*z)' int(u) int(u,y) int(u,z) 注：此命令适合于带参变量的不定积分。

  17. 3.求定积分形式int(f,v,a,b) 1）求定积分 int(x*log(1+x),0,1) 2）求广义积分

  18. f=1/x g=1/(1+x^2) int(g,1,inf) int(f,1,inf) i=1/(x^2+2*x-3) h=1/(x^2+2*x+3) int(i,-inf,inf) int(h,-inf,inf) 关于后二广义积分的说明

  19. ??? Error using ==> sym/maple Error, (in int/definite) wrong number (or type) of parameters in function has Error in ==> D:\MATLABR12\toolbox\symbolic\@sym\int.m On line 51 ==> r = maple('map','int',f,[x.s '=' a.s '..' b.s]); 结果说明h(x)在整个数轴上可积，而g(x)在整个数轴上不可积。原因从两个函数和图象上可以看出

  20. ezplot(h,-10,10)

  21. ezplot(i,-10,10)

  22. 3）求含参变量的定积分 int(sin(x*y),0,y) 联想到二重积分不过就是先指定某个变量积分如x，积分上下限可能含有另一个变量y，结果是关于y的函数，如果这时再对y积分，即就是进行二次积分，这一个过程事实上就是二重积分化为二次积分的过程。

  23. 求下列二重积分和三重积分 其中，D为由直线y=2x,y=x/2,y=12-x围成的平面区域。 解：1）确定平面区域 f=2*x g=x/2 h=12-x

  24. ezplot(f),hold on,gtext('y=2x'), ezplot(g,[-2,10]),gtext('y=x/2'), ezplot(h,[-2,15]),gtext('y=12-x'),grid gtext('A'),gtext('B'),gtext('C') xa=solve('2*x-x/2=0') xb=solve('2*x-(12-x)=0' xc=solve('x/2-(12-x)=0') xa =0，xb=4,xc=8

  25. 2）确定积分限 根据图形求解方程得积分限和积分顺序 3）积分 F='x^2/y^2' a1=int(F,y,x/2,2*x) a2=int(F,y,x/2,12-x) b1=int(a1,x,0,4) b2=int(a2,4,8) answer=b1+b2

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