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计算机组成原理

计算机组成原理. 第三章 运算方法与运算部件. 计算机中完成运算的主要部件就是 CPU 中的算术逻辑运算单元 ALU 计算机的运算可以分为： 数值运算和非数值运算 数值运算的基础是定点与浮点，其中以加法为核心. 1. 定点加减运算. 一、补码加减运算 计算机中，常用补码进行加减运算。 补码可将减法变加法进行运算。 补码运算特点：符号位与数值位一同运算。 运算的基本规则： [X] 补 +[Y] 补 = [X+Y] 补 [X-Y] 补 = [X] 补 -[Y] 补 = [X] 补 +[-Y] 补

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  1. 计算机组成原理 第三章 运算方法与运算部件

  2. 计算机中完成运算的主要部件就是CPU中的算术逻辑运算单元ALU计算机中完成运算的主要部件就是CPU中的算术逻辑运算单元ALU 计算机的运算可以分为： 数值运算和非数值运算 数值运算的基础是定点与浮点，其中以加法为核心

  3. 1. 定点加减运算 一、补码加减运算 计算机中，常用补码进行加减运算。 补码可将减法变加法进行运算。 补码运算特点：符号位与数值位一同运算。 运算的基本规则： [X]补+[Y]补= [X+Y]补 [X-Y]补= [X]补-[Y]补= [X]补+[-Y]补 由[Y]补求得[-Y]补的方法：对[Y]补（包含符号位）求反且末位加1。

  4. 证明： 在模2下，设[X]补= X0X1X2… Xn， [Y]补= Y0Y1Y2… Yn 则[X]补=2· X0+X ，[Y]补=2· Y0+Y 1.[X]补+[Y]补= 2· X0+X + 2· Y0+Y=2(X0+Y0)+(X+Y) （1）若X0Y0 =00，则 [X]补+[Y]补= X+Y= [X+Y]补； （2）若X0Y0 =01或10，则 [X]补+[Y]补=2+（X+Y） 当X+Y>0时， 2+（X+Y）>2，进位丢失，得： [X]补+[Y]补=X+Y= [X+Y]补； 当X+Y<0时， [X]补+[Y]补=2+（X+Y） = [X+Y]补； （3）若X0Y0 =11，则 [X]补+[Y]补= 4+（X+Y） =2+[2+（X+Y）] ∵0 > X+Y ≥ -1 ,∴2 > 2+(X+Y) ≥ 1 此时，[X]补+[Y]补= 2+(X+Y) = [X+Y]补（2自然丢失）

  5. 2、∵[X]补+[Y]补= [X+Y]补 ∴ [Y]补= [X+Y]补-[X]补 ……① 又∵[X-Y]补=[X+(-Y)]补= [X]补+[-Y]补 ∴ [-Y]补= [X-Y]补-[X]补 ……② ①+②得： [Y]补+[-Y]补= [X+Y]补-[X]补 +[X-Y]补-[X]补 = [X+Y+ X-Y]补-[X]补-[X]补= [X+X]补-[X]补-[X]补=0 ∴[-Y]补=-[Y]补 即[X-Y]补= [X]补+[-Y]补= [X]补-[Y]补

  6. 例1：已知机器字长n=8，X=44， Y=53，求X+Y=？ 解：[X]原=00101100，[Y]原=00110101 [X]补=00101100，[Y]补=00110101 [X]补= 0 0 1 0 1 1 0 0 + [Y]补= 0 0 1 1 0 1 0 1 [X+Y]补= 0 1 1 0 0 0 0 1 真值：X+Y= (+1100001)2 = +97

  7. 例2：已知机器字长n=8，X=-44， Y=-53，求X+Y=？ 解：[44]补=00101100,[53]补=00110101 [X]补=[-44]补=11010011+1=11010100， [Y]补=[-53]补=11001010+1=11001011 [X]补=1 1 0 1 0 1 0 0 + [Y]补=1 1 0 0 1 0 1 1 [X+Y]补= 1 1 0 0 1 1 1 1 1 超出8位，舍弃模值 X+Y=(-1100001)2=-97

  8. 例3：已知机器字长n=8，X=0.1101， Y=0.0110，求X-Y=？ 解：[X]补= 0.1101000，[Y]补=0.0110000， [-Y]补=1.1010000 [X]补=0. 1 1 0 1 0 0 0 + [-Y]补=1. 1 0 1 0 0 0 0 1 0 .0 1 1 1 0 0 0 自然丢失 [X-Y]补= （0 .0111000）2，X-Y= （0 .0111）2

  9. 例4：已知机器字长n=8， X=- 0.1101， Y=- 0.0110求X-Y=？ 解：[X]补=1.0011000，[Y]补=1.1010000 [-Y]补=0.0110000 [X]补=1. 0 0 1 1 0 0 0 + [-Y]补=0. 0 1 1 0 0 0 0 1. 1 0 0 1 0 0 0 [X-Y]补= (1. 1 0 0 1 0 0 0)2， X-Y= (-0. 0 1 1 1 )2

  10. 2. 溢出的检测 溢出：运算结果超出了计算机所能表示的数据范围。 正溢（上溢）：运算结果为正而绝对值超出了表示的范围。 负溢（下溢）：运算结果为负而绝对值超出了表示的范围。 定点数的溢出——根据数值本身判断。

  11. 例：已知机器字长n=8，X= 120， Y=10， 求X+Y=？ 解：[X]补=01111000，[Y]补=00001010， [X]补=0 1 1 1 1 0 0 0 + [Y]补=0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 [X+Y]补=10000010，X+Y=11111110 X+Y的真值= -1111110=( -126)10 运算结果超出机器数值范围发生溢出错误。 8位计算机数值表达范围：(-128~+127)

  12. 溢出判断规则与判断方法 • 两个相同符号数相加，其运算结果符号与被加数相反则产生溢出； • 两个相异符号数相减，其运算结果符号与被减数相反则产生溢出。 • 相同符号数相减，相异符号数相加不会产生溢出。 • 溢出判断方法：进位判断法，双符号位法。

  13. (1) 进位溢出判断法S⊕C 两单符号位的补码进行加减运算时，若最高数值位向符号位的进位值C与符号位产生的进位输出值S相同时则无溢出，否则溢出。 例： [X]补= 1.101 [X]补= 1.110 + [Y]补= 1.001 + [Y]补= 0.100 [X+Y]补= 10.110 [X+Y]补= 10.010 C=0，S=1 有溢出 C=1，S=1 无溢出 X+Y=+0.010 即：溢出 OVR = S⊕C= 1 有溢出 S C=01 正溢； S C=10 负溢 OVR = S⊕C= 0 无溢出

  14. (2) 双符号位（变形补码）溢出判断法 设第一符号位Sf1，第二符号位Sf2， Sf1Sf2 双符号含义： 0 0 表示运算结果为正数； 0 1 表示运算结果正向溢出； 1 0 表示运算结果负向溢出； 1 1 表示运算结果为负数。 即：溢出 OVR = Sf1⊕Sf2= 1 有溢出 OVR = Sf1⊕Sf2= 0 无溢出 左边第一位的Sf1为运算结果的真正符号位。

  15. 例1：X=0.1001,Y=0.0101,求[X+Y] 解: [X]补= 00.1001 +[Y]补= 00.0101 [X+Y]补= 00.1110 两个符号位相同，运算结果无溢出。 X+Y=+0.1110

  16. 例2：X= - 0.1001，Y= - 0.0101， 求 [X+Y]=？ 解: [X]补= 11.0111 + [Y]补= 11.1011 [X+Y]补 =1 11 .0010 丢掉 两个符号位相同，运算结果无溢出。 X+Y= - 0.1110

  17. 例3：X= 0.1011，Y= 0.0111， 求 [X+Y]补=？ 解: [X]补= 00.1011 + [Y]补= 00.0111 [X+Y]补= 01.0010 两个符号位为01，运算结果正向溢出。

  18. 例4：X= - 0.1011，Y= 0.0111， 求 [X-Y]补=？ 解: [X]补= 11.0100+1=11.0101 [Y]补=00.0111 [-Y]补=11.1001 [X]补 = 11.0101 + [-Y]补 = 11.1001 [X+Y]补 =1 10.1110 两个符号位10不同，运算结果负向溢出。

  19. 补码加减法运算规则如下： • 参加运算的操作数用补码表示。 • 符号位与数值位一样参加运算。 • 如果是加法运算，则直接相加如果是减法，那么减数连同符号位一起取反，然后末位加1。 • 运算的结果仍然是补码形式。

  20. 移位运算 • 逻辑移位 • 循环移位 • 算术移位

  21. 逻辑移位 • 特点 • 移位操作对象不存在符号和量值的差别，非数值或无符号数 • 仅限于数码位置的变化 • 规则 • 左移或右移时高位或低位补0 • 移出位被丢弃 • 举例： • 逻辑右移：0101 -> 0010

  22. 循环移位 • 特点 • 移位操作对象不存在符号和量值的差别，非数值或无符号数 • 仅限于数码位置的变化 • 规则 • 左移或右移时高位或低位补0 • 移出位被置于低位或高位 • 举例： • 循环右移：0101 -> 1010

  23. 算术移位 • 移位时，数的符号位不变 • 算术运算数的移位操作会引起数值变化 • 右移一位，相当于带符号的数除以2(乘以1/2) • 左移一位，相当于带符号的数乘以2 • 对于正数 • 原码、反码和补码均相同，移位时只需要在末端补“0”。 • 对于负数的移位，不同码制的处理不同

  24. 算术移位 • 特点 • 移位操作对象存在符号和量值的差别，即：有符号数 • 不仅限于数码位置的变化，内涵是数值扩大或缩小两倍 • 规则 • 决定于编码方式

  25. 原码算术移位 • 规则 1. 符号位不变 2. 左移：仅移动量值位，低位补0 3. 右移：仅移动量值位，高位补0

  26. Ａ1 Ａ2Ａ3Ａ4Ａ5 Ａ6Ａ7 Ａ8 １１０１０１１１ Ａ的始值 补0…… 丢失 结果 １０１０１０１１ 原码算术移位 • 原码 • 符号位不参与移位，只是绝对值移位，其末端补入0 例：算术右移运算

  27. Ａ1Ａ2Ａ3Ａ4Ａ5 Ａ6Ａ7 Ａ8 １００１０１０１ Ａ的始值  丢失 …… 补0 １０１０１０１０ 结果 原码算术移位 • 原码 例：算术左移运算

  28. 补码算术移位 • 规则 1. 符号位参与移位 2. 左移：低位补0 3. 右移：高位补原有符号位 • 溢出 • 左移、符号位发生改变 • 问题： 算术移位怎样才能保持正确的符号和正确的移位值？

  29. 补码算术移位 • 补码右移 例：设x= -1011000，则[x]补=10101000，第一位为符号位。现将其真值x右移，再求出其对应补码，列式如下： 不移位x = -1011000 [x]补= 10101000 右移一位½x = -0101100 [½x]补= 11010100 右移二位¼x = -0010110 [¼x]补= 11101010

  30. Ａ1 Ａ2Ａ3Ａ4Ａ5 Ａ6Ａ7 Ａ8 Ａ的始值 1 0 1 0 1 0 0 0 …… 丢失 1 1 0 1 0 1 0 0 结果 符号位不变 补码算术移位 • 补码右移：符号位也随之右移且符号位不变 例：

  31. 补码算术移位 • 补码左移 例：设x= -0010110，则[x]补=11101010 ，第一位为符号位。现将其真值x左移，再求出其对应补码，列式如下： 不移位x = -0010110 [x]补= 11101010 左移一位2x = -0101100 [2x]补= 11010100 左移二位4x = -1011000 [4x]补= 10101000

  32. Ａ1 Ａ2Ａ3Ａ4Ａ5 Ａ6Ａ7 Ａ8 １０１０１０００ Ａ的始值 丢失…… 补0 结果产生错误 ０１０１００００ 补码算术移位 • 补码左移 • 左移时其末端补入0，若符号位与后一位相同，则数值高位移入符号仍会得到正确的符号；若符号位与后一位不同，在左移时会溢出，会破坏正确的符号位，表示超出数的表示范围 • 为了保持正确符号，往往采用补码变形码，使其有两位或多位符号位

  33. Ａ1 Ａ2Ａ3Ａ4Ａ5 Ａ6Ａ7 Ａ8 Ａ的始值 1 0 1 0 1 0 0 0 …… 丢失 1 1 0 1 0 1 0 0 结果 符号位不变 反码算术移位 • 反码右移：符号位也随之右移且符号位不变

  34. Ａ1 Ａ2Ａ3Ａ4Ａ5 Ａ6Ａ7 Ａ8 １０１０１００0 Ａ的始值 丢失…… 补1 结果产生错误 ０１０１０００1 反码算术移位 • 反码左移 • 左移时其末端补入1，若符号位与后一位相同，则数值高位移入符号仍会得到正确的符号；若符号位与后一位不同，在左移时会溢出，会破坏正确的符号位，表示超出数的表示范围 • 为了保持正确符号，往往采用具有两位或多位符号位的变形码

  35. 已知[x]补=0.1011，[y]补=1.1011，求算术左移，逻辑左移、算术右移、逻辑右移后的值。已知[x]补=0.1011，[y]补=1.1011，求算术左移，逻辑左移、算术右移、逻辑右移后的值。 补码移位举例 x算术左移后的值=1.0110（溢出） y算术左移后的值=1.0110 x逻辑左移后的值=1.0110 y逻辑左移后的值=1.0110 x算术右移后的值=0.0101 y算术右移后的值=1.1101 x逻辑右移后的值=0.0101 y逻辑右移后的值=0.1101

  36. 逻辑运算 • 1/0表示真或假，位运算 • 与运算：&，有0即0 • 或运算：|，有1即1 • 非运算：~，0-1，1-0 • 异或运算：^，同0异1

  37. 算术逻辑单元（简称ALU） • ALU是一种功能较强的组合逻辑电路。它能进行多种算术运算和逻辑运算。ALU的基本逻辑结构是超前进位加法器，它通过改变加法器的进位产生函数G和进位传递函数P来获得多种运算能力。下面通过介绍SN74181型四位ALU中规模集成电路了介绍ALU的原理。 • 在图中功能表中，“加”表示算术加，“+”表示逻辑加。它能执行16种算术运算和16种逻辑运算，M是状态控制端，M=H,执行逻辑运算；M=L执行算术运算。S0 ~S3是运算选择端，它决定电路执行哪种算术运算或逻辑运算。

  38. 常用组合逻辑

  39. 常用组合逻辑 • 三态门 • “三态”是指电路可以输出正常的 0/1逻辑电平，也可以处于高阻态，取决于输入和控制信号。为高阻态时， “0” 和 “1”的输出极都截止，相当于与所连接的线路断开，便于实现从多个数据输入中选择其一 • 当三态控制端/G=0，实现非运算逻辑 • Y=/A • 当/G=1，电路输出呈高阻 Y=Z

  40. 常用组合逻辑 • 三态门构建的总线 总线 例如，当控制信号 /G1为低电平， /G2 和 /G3为高电平时，三态门的输入 A 被送到总线上，另外两个三态门的输出处于高阻态。 /G1 /G2 /G3 0 1 1 A B C

  41. 半加器 • 不考虑进位输入时，两数码Xn，Yn相加称为半加器。

  42. Xn Yn Cn-1 Fn Cn 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 全加器 • 若考虑低位进位输入Cn-1相加，则称为全加器。 一位全加器真值表如右，其中： • Xn为被加数， • Yn为加数， • Cn-1为低级进位信号， • Fn为和， • Cn为本级向上进位信号。 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1

  43. 全加器

  44. 全加器 • 化简可得： Fn =Xn⊕Yn⊕Cn-1 Cn = XnYn + （Xn＋Yn）Cn = XnYn+（Xn⊕Yn）Cn-1

  45. 半加器与全加器 • 半加器：Hn=Xn⊕Yn • 全加器： Fn = Xn⊕Yn⊕Cn-1 Cn= XnYn+（Xn⊕Yn）Cn-1 Xn Yn Cn-1 Cn Hn / Fn

  46. 串行加法器 • 步骤 • 加数最低位相加 • 保存求和结果和进位 • 加数右移一位，跳转到第一步 • 特点 • 仅需一位全加器 • 需要N个周期完成N位加法运算

  47. 并行加法器 • 全加器数目 = 操作数（加数）的位数 • N个全加器 • 特点 • 同时（同一周期）执行各位的加法运算

  48. 并行加法器 • 缺点 • 逐位完成的进位运算影响求和过程 • 最坏情况下接近串行加法器的性能 • 即1周期=N个加法/进位延迟 • 例如：1111 + 0001 • 结论 • 并行加法器的性能决定于进位机制的设计

  49. 并行加法器的进位链 • 进位函数 • 串行进位 • 并行进位 • 混合方式

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