Triángulos II

1. CLASE Nº 3 Triángulos II

2. Aprendizajes esperados: • Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras y Euclides. • Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios. • Calcular áreas y perímetros de triángulos.

3. Contenidos • Teoremas válidos para triángulos rectángulos 1.1Teorema de Pitágoras 1.2Teorema de Euclides 2. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 2.1Triángulo de ángulos interiores iguales a: 30°, 60° y 90° 2.2Triángulo rectángulo isósceles 2.3Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

4. 3. Triángulo equilátero 3.1Definición 3.2Propiedades 4. Triángulos isósceles 4.1Definición 4.2Propiedades

5. El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”. 1. Teoremas válidos para Triángulos rectángulos Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces: hipotenusa cateto cateto

6. 1.1 Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. (cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2 a2 + b2 = c2 ó

7. Ejemplo: De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide 152 + (QR)2 = 252 (Aplicando teorema de Pitágoras) 225 + (QR)2 = 625 (Desarrollando) (Despejando (QR)2 ) (QR)2 = 625 - 225 (QR)2 = 400 (Restando) QR = 20 (Aplicando raíz)

8. Números pitagóricos: Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras. Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13 Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos proporcionales a ellos. Por ejemplo: 5, 12 y 13 3, 4 y 5 6, 8 y 10 10, 24 y 26 15, 36 y 39 9, 12 y 15 20, 48 y 52 12, 16 y 20 . . . . . . . .

9. Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras. 32 + 42 = 52 62 + 82 = (10)2 92 + 122 = (15)2

10. Consideremos los siguientes casos: 1. Cuando un cateto es el doble del otro Ejemplo: 2. Cuando un cateto es el triple del otro Ejemplo:

11. ∙ hc2 = p q a2 = c q ∙ b2 = c p ∙ hc = a·b c • 1.2 Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces: Además, se cumple que:

12. CD2 = AD DB ∙ CD2 = 4 3 ∙ CD = 4 3 ∙ CD = 2 3 Ejemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Aplicando Teorema de Euclides: (Reemplazando) (Aplicando raíz)

13. AC2 = 7 4 ∙ AC = 2 7 2 7 2 3 AC2 = AB AD ∙ Además, por Euclides se cumple que: (Reemplazando) (Aplicando raíz)

14. 2. Relaciones Métricas en eltriángulo rectángulo • 2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90° En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30° y 60° se cumple que:

15. 5 3 y AB = 5 3 ∙ Área = 5 5 3 3 = 25 2 2 Ejemplo: Determinar el área del triángulo ABC de la figura. 5 30°  BAC = 30°  CB = 5 El área del triángulo ABC es:

16. Los triángulos con ángulos interiores de 30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un triángulo equilátero.

17. C A B C  BC = 4 2 A B 4 2 • 2.2 Triángulo rectángulo isósceles En el triángulo rectángulo isósceles de lado “a” de la figura, se cumple que: Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa). Solución: 4  AC = 4 y  CBA = 45° 45°

18. Si M es punto medio de AB, entonces: • 2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad AM = MB = CM tc : transversal

19. Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el  DCB. 40° 40° Solución: Completando los ángulos,  CBA = 40° Si CD es transversal de gravedad,  D es punto medio  AD = DB = CD  El triángulo CDB es isósceles de base BC  CBA =  DCB Por lo tanto,  DCB = 40°

20. 3. Triángulo Equilátero • 3.1 Definición Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y ángulos iguales. AB = BC = CA

21. 3.2 Propiedades • Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales. ha = hb= hc ta = tb= tc ba = bb= bc Sa = Sb= Sc Además: ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.

22. h = a 3 A = a2 3 2 4 Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3. • Área y altura de un triángulo equilátero: Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces su área y altura se expresan como: Ejemplo: Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.

23. h = x 3 A = 62 3 2 2 3 3 = x 3 4 3 = x 2 A = 36 3 A = 9 3 cm2   4 A partir de la altura determinaremos el lado. Sea x la medida del lado, entonces: 6 = x Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:

24. h = r + r  h = 3r 2 2 • Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita:

25. h = 3r • Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita:

26. 4. Triángulo Isósceles • 4.1 Definición Es aquel que tiene dos lados iguales y una “base”. Los ángulos basales son iguales. • 4.2 Propiedades La altura, transversal, bisectriz y simetral que caen en la base, coinciden.

27. En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x. Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC. Si D: punto medio, entonces BD es transversal.  BD es altura, bisectriz y simetral. Ejemplo: 90° = 50° 40°  DBA = 40° y ADB = 90°  x= 50°

28. Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 220 a la 229.