第九章 力学量本征值问题的代数解法

1. 第九章 力学量本征值问题的代数解法 分析解法 本征值问题的解法 代数解法 §9.1 一维谐振子的Schrödinger因式分解法 升、降算符 一、Hamilton量的代数表示 一维谐振子的Hamilton量可表为

2. 采用自然单位 则 而基本对易式是 令 其逆为 利用上述对易式，容易证明(请课后证明)

3. 此时能量以 为单位 长度以 为单位 动量以 为单位

4. 由于 , 而且在任何量子态 下 所以 为正定厄米算符 将两类算符的关系式 代入一维谐振子的Hamilton量 有 上式就是Hamilton量的因式分解法，其中

5. 下面证明，若 的本征值为 , 则 的本征值 为(自然单位， ) 设|n>为 的本征态( n为正实数)，即 但上式 二、Hamilton量的本征值 证明: 及 利用 容易算出 因此

6. 这说明， 也是 的本征态，相应本 征值为 。 如此类推，从 的本征态 出发，逐次 用 运算，可得出 的一系列本征态 因为 为正定厄米算子，其本征值为非负 实数。 由此可得 相应的本征值为

7. 若设最小本征值为 ，相应的本征态为 即 是 的本征值为0的本征态,或 . 此态记为 ，又称为真空态，亦即谐振子 的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加 上自然单位)为 . 则 此时

8. 这说明 也是 的本征态，本征值为 。 从 出发，逐次用 运算，可得出 的全 部本征态： 利用 同样可以证明 利用上式及

9. 已知 是 的本征态，本征值是0 可知 由 即 也是 的本征态，本征值是1 下面看 是否也是 的本征态，本征值 是多少？ 利用 有

10. 故 也是 的本征态，本征值是2 显然 这样

11. 本征值为 本征值为 所以， 可以成为上升算符， 可以称为 下降算符。 对本征态 证毕。 这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。

12. （即 ）的归一化本征态可表为 利用归纳法可以证明（课下证）： 为什么？ 且满足

13. 由 得 所以 从而有

14. 上式作用任一左矢 ，有 利用 有 而由 得 所以 或 代入上式 即

15. 或 利用 上式变为 移项，得 上式对任意m都成立，所以 或 连同 这就是下降和上升算符的定义,很有用处。

16. 三、升降算符的应用 1. 坐标和动量算符的矩阵元计算 利用 以及 容易证明： 拿第一式的证明为例。

17. 因为 所以

18. 考虑基态 ，它满足 2. 能量本征态在坐标表象中的表示 即 在坐标表象中，上式可以写为 插入完备性关系 得

19. 令 ，代入前式可以得出 已经知道 利用积分中δ函数的性质可得

20. 由于 解出得 添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一 化基态波函数为 而坐标表象中激发态的波函数为 添上长度的自然单位

21. 可得 所以

22. 上次课复习 升降算符的应用

23. 另外还可以证明，对于r幂函数形式的中心 势 ，只当 （Coulomb势）或 (各 (各向同性谐振子势)时，径向S-方 程才能因式分解. 可以证明，对于存在束缚态的一维势阱V(x)， 只要基态能量 有限, 存在,则可定义相应 的升降算符，并对Hamilton量进行因式分解。 四、S-方程因式分解的条件 上述的因式分解法是Schrödinger提出来的。 总之，S -方程的因式分解与经典粒子束缚 运动轨道的闭合性有某种关系。

24. 如果算符j，其三个分量 满足下列 对易关系 §9.2 角动量算符的本征值和本征态 前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量 的性质（本征值和本征态）以及它们之间 的耦合问题。 下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。 一、一般角动量算符的对易关系

25. 则以 作为三个分量的矢量算符j 称为角动量算符。 且式 称为角动量的基本对易式。 轨道角动量l,自旋角动量s以及总角动量 l+s=j 的各分量都满足此基本对易式。 以下根据此基本对易式及角动量算符的 厄米性来求出角动量的本征值和本征态。

26. 定义 利用角动量分量间的一般对易式容易证明： 定义 其逆表示为

27. 同样可以证明： 利用角动量的定义及分量的对易关系，上 述几个式子是很容易证明的。

28. 利用 有 所以

29. 二、角动量本征值和本征态的代数解法 1. 声子的概念 前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式 是针对玻色子体系而言的。 我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成 “光子”的概念。 同样，晶体里的格波（其实就是一种声波） 的能量也是量子化的。人们把量子化了的格 波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子。

30. 考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子 产生和湮灭算符用 和 表示,并满足 其本征值分别为 和 ， 2. 角动量本征值和本征态的代数解法 定义正定厄米算符 它们分别表示两类声子的数目。

31. 的归一化共同本征态可表为 定义算符

32. 这正是角动量的基本对易式 。 由此定义角动量升降算符 利用对易式 容易证明

33. 因为 所以

34. 同理可证其它几个分量对易式。

35. 这样， 的本征值可表为 ，且 同样可证明关系式 其中 其本征值为 即角动量量子数j只能取非负整数或半整数。

36. 的共同本征态 由前述可知， 是 的共同本征态，且 故 也是 考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将 该写为 ，并定义 但

37. 即m可以取 这 个值。 现在的问题是，对于给定的 m可以取那些值？ 下面予以分析： 而

38. 式 的逆可表示为 因而 可改写为

39. 相应地，利用 式 可改写为 其中

40. 首先证明 是 的属于本征值 • 的本征函数； 2. 利用 本征值的非简并性，即 得出 的值。 另外，请同学们课下证明一个非常重要的关 系式 提示： 请参阅陈鄂生《量子力学习题与解答》 p55 作业：p260 2, 3

41. 设 与 分别表示第一和第二粒子的角动 量，即（取 ） §9.3 两个角动量的耦合与CG系数 前面我们讨论过两个具体角动量的耦合 自旋与轨道角动量的耦合 自旋与自旋角动量的耦合 下面讨论两个一般角动量的耦合 一、两个角动量的耦合

42. 这两个角动量分别对不同粒子的态矢运算， 属于不同的自由度，因而是彼此对易的： 定义两个角动量之和 这就是两个角动量耦合的一般定义。 利用两个角动量各分量满足的基本对易式， 同上节介绍的方法可以证明 或表成

43. 设 的共同本征态记为 ，即 类似地， 的共同本征态记为 对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量 所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用 来展开。 即 可作为体系力学量完全集, 而 是它们的共同本征态。

44. 以共同本征态 为基矢的表象称 为非耦合表象。 在给定 的情况下， 所以 有 个，即它 们张开 维子空间。 1. 非耦合表象

45. 也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为 ，即 2. 耦合表象 考虑到

46. 以共同本征态 为基矢的表象称为 耦合表象，基矢简记为 。 当给定 ， 可取哪些值？基矢 与 之间的关系如何？ 问题： 二、两种耦合表象基矢之间的关系 —CG系数 1. Clebsch-Gordan系数 令 上式的物理意义是明显的。

47. 我们将展开系数 称之为Clebsch -Gordan系数，简称CG系数。 显然CG系数是 维子空间中耦合 表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换 矩阵元。 考虑到 将上式两边分别作用到下式两边

48. 有

49. 由于 是正交归一完备基矢，上式要 成立，展开系数必然要满足下列条件 对 因为 所以 将 代入上式左边，并移项得

50. 而 是不能为0的 ？ 所以只有 即 故在式 的两个求和指标中，只有一个是独立的，从 而上式可以写成如下的形式