19.5.1 梯形的性质

1. 19.5.1　梯形的性质

2. 温故知新 矩 形 正方形 四边形 平行四边形 菱 形

3. 生活中处处有数学 下列图形中有你熟悉的图形吗？它们有什么共同特点？

4. 引入新知 矩 形 正方形 四边形 平行四边形 菱 形 梯形 一组对边平行 另一组对边不平行

5. 一. 梯形 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 定义 D A B C (1)梯形的表示方法： 如图，在梯形中，AD ∥BC.

6. 梯形有哪些元素呢 相关概念 上底 A D 腰 腰 高 B C E 下底 （2）平行的两边叫做底; 下底 （3）不平行的两边叫做腰; （4）夹在两底间的垂线段的 距离叫做高; 注意：上、下底是以梯形的两边长短区分 的，不是指这两边的位置。较短的边叫 上底，较长的边叫下底 上底

7. 小练习 在下列图形中，AD∥BC，判断各图是不是梯形，如果是，请说出梯形的上底、下底、腰，并作出梯形的高.

8. D A C B A D 直角梯形 B C 一般梯形 A D B C E F 等腰梯形 梯形分类 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 两腰相等的梯形叫做等腰梯形

9. E 小练习 • 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB， • BC=BD，∠A=120°，则∠C＝. 60° 2.在梯形ABCD中，AD∥BC， DE∥AB交BC于点E，AD=4cm， △DEC的周长是12cm， 则这个梯形的周长为. 20cm 3.直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和． 6cm 12cm 6 30°

10. 观察与思考 二.等腰 梯形的性质 A D 对称性： 边： 角： 对角线： 对称性： 边： 角： 对角线： C B 等腰梯形 等腰梯形 1、你能说明等腰梯形是轴对称图形吗？ 它的对称轴在哪里？ 等腰梯形是轴对称图形，连接两底中点的直线是它的对称轴 2、图中有哪些角相等？ ∠B=∠C ∠A=∠D， 你能证明吗？ 3、AC、BD是梯形ABCD的对角线，对角线相等吗？ AC=BD 得出结论：1、等腰梯形同一底上的两个角相等。 2、等腰梯形的两条对角线相等。

11. E 快验证你的发现吧！ 等腰梯形同一底边上的两个角相等. 已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC， 求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D D A 证明：过点D作DE∥AB交BC于点E ∵DE∥AB ∴∠1＝∠B. 又 ∵ AD∥BC ∴四边形ABED为平行四边形. 1 ∴ AB＝DE B C ∴ DC＝DE ∴∠1＝∠C ∴∠B＝∠C 过点D作DE∥AB交BC于点E 又∵∠B+∠A=180° ∠C+∠ADC=180° ∴∠A＝∠ADC.

12. D E A E B C 继续努力！ 等腰梯形同一底边上的两个角相等. 已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC，求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D D A 1 1 B C 平移一腰是梯形常用的辅助线。 方法点拨1

13. A D E F C B 继续努力！ 等腰梯形同一底边上的两个角相等. 已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC，求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D 证明：分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F ∵ AD∥BC ∴ AE=DF 又∵ AB=DC ∴Rt△ABE ≌ Rt△DCF ∴ ∠ B=∠C 又∵ ∠BAD与∠B、∠C与∠CDA互补 ∴ ∠BAD=∠CDA 过点A作AE⊥BC于点E 过点D作DF⊥BC于点F 方法点拨2 过上底两端点作高也是梯形常用的辅助线。

14. 两底平行,两腰相等 AD∥BC, AB=CD A D 同一底上的两角相等 ∠A= ∠D, ∠B= ∠C C B 二.等腰 梯形的性质 轴对称图形 对称性： 连接两底中点的直线是它的对称轴 边： 等腰梯形 角： 对角线： 对角线相等 AC=BD

15. A D B C 三. 性质应用 例题 例1、如图，延长等腰梯形ABCD的两腰BA和CD， 相交于点E. 求证:△EBC和△EAD都是等腰三角形. E 证明:∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠B＝∠C, ∴△EBC是等腰三角形. 1 2 ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B ∠2=∠C ∴∠1＝∠2. ∴△EAD是等腰三角形. 延长两腰是等腰梯形常用的辅助线。 方法点拨3

16. A D E E B C 1 1 2 2 例题 性质应用　 例1、如图，延长等腰梯形ABCD的两腰BA和CD，相交于点E.求证:△EBC和△EAD都是等腰三角形. 变式:等腰梯形ABCD中 若∠B=60°,AD=10,BC=18, 求:梯形ABCD的周长. 10 600 18

17. 知识总结 两腰相等 等腰梯形 一组对边平行而 另一组对边不平行 梯形 有一个角是直角 四边形 直角梯形 对称性： A D 边： C B 角： 对角线： 1.梯形的定义及类型： 2.等腰梯形的性质 轴对称图形 连接两底中点的直线是它的对称轴 两底平行,两腰相等 AD∥BC, AB=CD 同一底上的两角相等 ∠A= ∠D, ∠B= ∠C 对角线相等 AC=BD 3.数学思想： 转化思想

18. 方法一:平移一腰 方法二: 作高 E F D A A D E B C B 解题分析思路图 梯形的问题 梯形的问题 平移一腰 转化 转化 作高 矩形与直角三角形的问题 平行四边形与等腰三角形的问题

19. 巩固练习 见练习卷

20. 110 110° 70° A层： A 1.选择题:下列图形中，不是轴对称 图形的是 。 A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、等腰梯形 2、等腰梯形的一个内角等于70°，则其他三个 内角的度数分别为 、 、 . × 3.判断：等腰梯形的对称轴是连结上、下底中点的线段。（ ） 4.下列说法中正确的是( ) A、等腰梯形两底角相等 B、等腰梯形的一组对边相等且平行 C、等腰梯形同一底上的两个角都等于90度 D、等腰梯形的四个内角中不可能有直角 D

21. 5.如图，等腰梯形ABCD中，AD//CD，AB=CD，若E是AD的中点。5.如图，等腰梯形ABCD中，AD//CD，AB=CD，若E是AD的中点。 求证：EB=EC. E A D C B

22. E E 60° D A C B E F B层： 3cm A D 1、等腰梯形的锐角为 60°， 两底长分别为3cm和8cm， 则它的腰长为 . 5cm B C 2、等腰梯形的锐角为60，上底长为3， 腰长为5，则下底长为. 8cm 8cm 3.如图在等腰梯形ABCD中，AD=2, BC=4, 高DF=2，求腰的长. 2 D D A A 2 C B B E C 4 1 F 平移梯形一腰是梯形常用的辅助线。

23. 4．如图3所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD， ∠B=∠C=90°，AD=20，BC=10，则∠A和∠D分别是（ ） A．30°，150° B．45°，135° C．120°，60° D．150°，30° E 5．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=72°，∠C=36°， AD=6cm，BC=15cm，求CD的长．

24. C层： 3 A D 1.已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC, AD=3,AB=4,BC=7,则∠B=____. 4 7 B C E F G 2.等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，∠DAB=60°， 若梯形周长为8cm，则AD=． 3.如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形镶嵌而成的地砖，则这块地砖中的等腰梯形的底角（指锐角）是度 C

25. D A B C 4.已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC求∠C的度数。 A B 5.在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=13cm，DC=16cm,AD=10cm，另一腰BC的取值范围是多少？ D C

26. 6.在某次洪灾中，有一横断面为等腰梯形ABCD的防洪堤被洪水冲掉一角其形状如图所示：请同学们用所学过的方法将这个等腰梯形补充完整。6.在某次洪灾中，有一横断面为等腰梯形ABCD的防洪堤被洪水冲掉一角其形状如图所示：请同学们用所学过的方法将这个等腰梯形补充完整。 C B A D

27. 思考 如图:已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点E,F,G分别在边AB,BC,CD上,AE=GF=GC. (1)求证:四边形AEFG是平行四边形; (2)当∠FGC=2∠EFB时,求证四边形AEPG是矩形 A D E G B C F

28. 再 见

29. 辅助线总结 梯形问题中经常用到的辅助线 如图示: