参数估计

1. 参数估计

2. 统 计 推 断 点 估 计 参数估 计问题 区间估 计 假设检 验问题

3. 点估计 区间估计 什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面的概率特性的数量. 当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个 样本，用某种方法对这个未知参数进行估计 就是参数估计. 例如，X ~N ( , 2), 若,  2未知，通过构造样本的函数, 给出它 们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.

4. 参数估计的类型 点估计(point Estimation) —— 估计未知参数的值 区间估计(interval Estimation)—— 估计未知参数的 取值范围，使得这个范围包含未知参数真值的 概率为给定的值.

5. §7.1 点估计方法 点估计的思想方法 设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有一个或多个未知参数：1,2, ,k 设X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量： 随机变量

6. 为未知参数 为未知参数 当测得一组样本值(x1, x2,…, xn)时，代入上述 统计量，即可得到 k 个数： 数值 称数 的估计值 对应的统计量 的估计量 如何构造统计量？ Q : 如何评价估计量的好坏？

7. 利用事件A在 n次试验中发生频率 三种常用的点估计方法 • 频率替换法(Frequency substitution) 作为事件A发生的概率 p的估计量

8. 例1设总体X ~ N (  , 2), 在对其作28 次独立 观察中, 事件 “X < 4”出现了21 次, 试用频率替 换法求参数 的估计值. 查表得 于是 的估计值为 解由

9. 矩法( Method of moment) 用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的 估计量, 建立含有待估计参数的方程，从而可解出待估计参数 方法 一般地，不论总体服从什么分布，总体期望  与方差 2存在，则它们的矩估计量分别为

10. 事实上，按矩法原理，令

11. 设待估计的参数为 设总体的r阶矩存在，记为 设 X1, X2,…, Xn为一样本，样本的 r 阶矩为 令 —— 含未知参数 1,2, ,k 的方程组

12. 解方程组，得 k个统计量： ——未知参数1,2, ,k 的矩估计量 代入一组样本值得k个数: ——未知参数1,2, ,k 的矩估计值

13. 令 故 例2设总体 X ~ N (  , 2 ), X1, X2,…, Xn为总体的 样本, 求  , 2 的矩法估计量。 解 例3设总体 X ~ E(), X1, X2,…, Xn为总体的样本, 求的矩法估计量。 解

14. 例4设从某灯泡厂某天生产的一大批灯泡中 随机地抽取了10只灯泡，测得其寿命为 (单位：小时)： 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均 寿命及寿命分布的标准差. 解

15. 例5设总体 X ~ U (a, b), a, b 未知，求 a, b的 矩法估计量. 由于 解 令

16. 解得

17. 例如: 有两个外形相同的箱子,都装有100个球 一号箱 99个白球， 1个红球 二号箱 1个白球， 99个红球 现从两箱中任取一箱，并从箱中任取一球， 结果所取得的球是白球。 • 点估计的极大似然估计法(maximum likelihood) 思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 问所取的球来自哪一箱？ 答 ：极有可能是第一箱.

18. 例6设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用极大似然法求p的估计值. 解 总体 X 的概率分布为 设 x1, x2,…, xn为总体样本X1, X2,…, Xn 的样本值, 则

19. 事件 发生了， 则p的取值应使这个事件发生 的概率最大. 对于不同的 p , L (p)不同, 见下图 现经过一次试验，

20. 所以 为所求 p 的估计值. 在容许范围内选择p ，使L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若 某个p使ln L(p)最大, 则这个p 必使L(p)最大。

21. 或 称 L( ) 为样本的似然函数 一般, 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为 则样本 X1, X2,…, Xn的概率分布为

22. 选择适当的 = ,使 取最大值, 即 简记 简记 L( ) 极大似然法的思想 称这样得到的 为参数  的极大似然估计值 称统计量 为参数  的极大似然估计量

23. 似然函数为 若 X连续, 取 f (xi, )为Xi的密度函数 注1 未知参数可以不止一个, 如1,…, k 注2 设X的密度(或分布)为 则定义似然函数为

24. 若 关于1, …, k可微,则称 若对于某组给定的样本值 x1, x2,…, xn， 参数 使似然函数取得最大值, 即 则称 为1,…, k的极大似然估计值 为似然方程组

25. 显然， 称统计量 为1, 2,…, k的极大似然估计量

26. 解 例7设总体 X ~ N (, 2), x1, x2,…, xn 是X 的样本值, 求 ,  2 的极大似然估计.

27. 似然 方程 组为 ,  2 的极大似然估计量分别为

28. , 使得 2）求出 极大似然估计方法 1） 写出似然函数 L

29. L是 的可微函数,解似然方程组 L不是 的可微函数, 需用其它 方法求极大似然估计值. 请看下例： 若 可得未知参数的极大似然估计值 然后, 再求得极大似然估计量. 若

30. 解 X 的密度函数为 例8设 X ~ U (a,b), x1, x2,…, xn 是X的一个 样本值, 求a , b 的极大似然估计值与极大 似然估计量. 似然函数为

31. 则对满足 的一切 a < b , 似然函数只有当 a < xi < b, i = 1,2,…, n 时 才能获得最大值, 且 b - a 越小, L 越大. xmin = min {x1, x2,…, xn} xmax = max {x1, x2,…, xn} 令 取 都有

32. 故 是 a , b 的极大似然估计值. 分别是 a , b 的极大似然估计量. 问 题 1) 待估参数的极大似然估计是否一定存在? 2) 若存在, 是否惟一?

33. 例9 设 X ~ U ( a – ½, a + ½), x1, x2,…, xn 是X的一个样本, 求a 的极大似然估计值. 解 由上例可知, 当 时, L取最大值 1, 即 显然, a的极大似然估计值可能不存在, 也 可能不惟一.

34. 不仅如此, 任何一个统计量 若满足 都可以作为a的估计量.

35. 常见分布的极大似然估计

36. 设 是 的极大似然估计值, u( )  =  (u), uU 则 是 u( ) 的极大似然估计值. 极大似然估计的不变性 (   )是 的函数, 且有单值反函数

37. 是 2的单值函数, 且具有单值 反函数，故 的极大似然估计值为 如 在正态总体N (, 2)中,  2的极大 似然估计值为 lg 的极大似然估计值为

38. 作业 P164 习题七 2 3 5 7 8 10(1) 14