スポーツスケジューリング問題 ~1993 年 J リーグの再スケジューリング ~

1. スポーツスケジューリング問題~1993年Jリーグの再スケジューリング~スポーツスケジューリング問題~1993年Jリーグの再スケジューリング~ 文教大学 情報学部 経営情報学科 「シミュレーション」 2000年11月24日 東京大学 宮代 隆平

2. 発表の概要 • 1993年Jリーグのスケジュールを • 数理的手法を用いて改善 • スポーツスケジューリング問題とは？ • 1993年Jリーグのスケジュールと，その問題点 • 数理的手法によるスケジュールの改善過程＆結果

3. スポーツスケジューリング問題とは？ • スポーツ競技（サッカー，バスケ，相撲，…）の • “質の良い” スケジュールを作成する問題 • → “良い（悪い）” スケジュールとは？ • ・ 大相撲で，12日目に優勝力士が決まってしまう • → 残りは消化取組になり，観客動員数減少 • ・ ダイエー対巨人の日本シリーズ（7回戦） • ただし，1～3戦が福岡，4～7戦が東京 → 不公平

4. スケジュール改善の例Ⅰ • 5チームの総当りリーグ戦 • チームＡ，Ｂが優勝候補とすると…（＊は休み） • １ ２ ３ ４ ５ １ ２ ３ ４ ５ • Ａ：Ｂ ＊ Ｃ Ｄ Ｅ Ａ：Ｅ Ｄ ＊ Ｃ Ｂ • Ｂ：Ａ Ｃ Ｄ Ｅ ＊ Ｂ：Ｄ ＊ Ｃ Ｅ Ａ • Ｃ：Ｅ Ｂ Ａ ＊ Ｄ ⇒ Ｃ：＊ Ｅ ＢＡ Ｄ • Ｄ：＊ Ｅ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ：Ｂ Ａ Ｅ ＊ Ｃ • Ｅ：Ｃ Ｄ ＊ Ｂ Ａ Ｅ：Ａ Ｃ Ｄ Ｂ ＊

5. スケジュールに求められる要素 • スケジュールを決定する時考慮すべき条件 • 試合の日時，競技場が使用可能か， • 移動距離，本拠地 or 遠征，天気， • ＴＶ放映，観客の満足度，チーム間の公平性， • 各チームの強さ，… • 最終目的は？ • 費用削減，人気向上，興行収入増加，視聴率ｕｐ，…

6. スポーツスケジューリングの現状 • 現在，スポーツスケジューリングは • ほとんど手作業で行われているのが現状 • 10チームの総当りリーグ戦の場合， • 最低限の見積もりとして • 9！（≒36万）通り以上のスケジュールが存在する • → スケジューリングは適当でも良い？

7. スポーツスケジューリングの重要性 • ・ 移動距離減少をはかった問題では • 手作業によるスケジュールと比較して5～30％減少 • ・ ある種のスポーツではスケジュールが試合結果に • 大きな影響を与える • → 悪いスケジュールでは競技自体の人気も下落 • ・ 現在はＴＶ中継の時代（放映料，視聴率）

8. スケジュール改善の例Ⅱ • 5チームによる総当りリーグ戦 • ただし，コートが一つしかない • → 特定のチームが連続して試合することを避ける • １２３４５６７８９10１２３４５６７８９10 • ＡＡＥＣＥＥＢＥＤＤ ⇒ ＣＢＡＢＡＢＤＡＣＡ • ＢＣＤＤＡＣＣＢＢＡ ＤＥＣＤＥＣＥＢＥＤ • 連戦が消失！→ 実は簡単？？

9. スポーツスケジューリングの難しさ • １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ • Ａ：Ｊ Ｆ Ｇ Ｃ Ｈ Ｂ Ｅ • Ｂ：Ｉ Ｇ Ｄ Ｆ Ｅ Ａ Ｃ10チームのリーグ戦 • Ｃ：Ｈ Ｄ Ｅ Ａ Ｆ Ｇ Ｂ6日目まで作成済み • Ｄ：Ｇ Ｃ Ｂ Ｊ Ｉ Ｅ 7日目にＡ - Ｅ，Ｂ - Ｃの • Ｅ：Ｆ Ｊ Ｃ Ｈ Ｂ Ｄ Ａ 対戦を組みたい • Ｆ：Ｅ Ａ Ｉ Ｂ Ｃ Ｈ • Ｇ：Ｄ Ｂ Ａ Ｉ Ｊ Ｃ • Ｈ：Ｃ Ｉ Ｊ Ｅ Ａ Ｆ • Ｉ：Ｂ Ｈ Ｆ Ｇ Ｄ Ｊ • Ｊ：Ａ Ｅ Ｈ Ｄ Ｇ Ｉ

10. スポーツスケジューリングの難しさ • １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ • Ａ：Ｊ Ｆ Ｇ Ｃ Ｈ Ｂ Ｅ • Ｂ：Ｉ Ｇ Ｄ Ｆ Ｅ Ａ Ｃ10チームのリーグ戦 • Ｃ：Ｈ Ｄ Ｅ Ａ Ｆ Ｇ Ｂ6日目まで作成済み • Ｄ：Ｇ Ｃ Ｂ Ｊ Ｉ Ｅ Ｆ7日目にＡ - Ｅ，Ｂ - Ｃの • Ｅ：Ｆ Ｊ Ｃ Ｈ Ｂ Ｄ Ａ 対戦を組みたい • Ｆ：Ｅ Ａ Ｉ Ｂ Ｃ Ｈ Ｄ • Ｇ：Ｄ Ｂ Ａ Ｉ Ｊ Ｃ • Ｈ：Ｃ Ｉ Ｊ Ｅ Ａ Ｆ • Ｉ：Ｂ Ｈ Ｆ Ｇ Ｄ Ｊ • Ｊ：Ａ Ｅ Ｈ Ｄ Ｇ Ｉ

11. スポーツスケジューリングの難しさ • １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ • Ａ：Ｊ Ｆ Ｇ Ｃ Ｈ Ｂ Ｅ • Ｂ：Ｉ Ｇ Ｄ Ｆ Ｅ Ａ Ｃ10チームのリーグ戦 • Ｃ：Ｈ Ｄ Ｅ Ａ Ｆ Ｇ Ｂ6日目まで作成済み • Ｄ：Ｇ Ｃ Ｂ Ｊ Ｉ Ｅ Ｆ 7日目にＡ - Ｅ，Ｂ - Ｃの • Ｅ：Ｆ Ｊ Ｃ Ｈ Ｂ Ｄ Ａ 対戦を組みたい • Ｆ：Ｅ Ａ Ｉ Ｂ Ｃ Ｈ Ｄ • Ｇ：Ｄ Ｂ Ａ Ｉ Ｊ Ｃ Ｈ • Ｈ：Ｃ Ｉ Ｊ Ｅ Ａ Ｆ Ｇ • Ｉ：Ｂ Ｈ Ｆ Ｇ Ｄ Ｊ • Ｊ：Ａ Ｅ Ｈ Ｄ Ｇ Ｉ

12. スポーツスケジューリングの難しさ • １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ • Ａ：Ｊ Ｆ Ｇ Ｃ Ｈ Ｂ Ｅ • Ｂ：Ｉ Ｇ Ｄ Ｆ Ｅ Ａ Ｃ10チームのリーグ戦 • Ｃ：Ｈ Ｄ Ｅ Ａ Ｆ Ｇ Ｂ6日目まで作成済み • Ｄ：Ｇ Ｃ Ｂ Ｊ Ｉ Ｅ Ｆ 7日目にＡ - Ｅ，Ｂ - Ｃの • Ｅ：Ｆ Ｊ Ｃ Ｈ Ｂ Ｄ Ａ 対戦を組みたい • Ｆ：Ｅ Ａ Ｉ Ｂ Ｃ Ｈ Ｄ • Ｇ：Ｄ Ｂ Ａ Ｉ Ｊ Ｃ Ｈ • Ｈ：Ｃ Ｉ Ｊ Ｅ Ａ Ｆ Ｇ • Ｉ：Ｂ Ｈ Ｆ Ｇ Ｄ Ｊ Ｊ ← 既に対戦済！ • Ｊ：Ａ Ｅ Ｈ Ｄ Ｇ Ｉ Ｉ

13. スポーツスケジューリングの難しさ • １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ • Ａ：Ｊ Ｆ Ｇ Ｃ Ｈ Ｂ Ｅ • Ｂ：Ｉ Ｇ Ｄ Ｆ Ｅ Ａ ↓ 7日目にＡ - Ｅの対戦 • Ｃ：Ｈ Ｄ Ｅ Ａ Ｆ Ｇ Ｉ↓ • Ｄ：Ｇ Ｃ Ｂ Ｊ Ｉ Ｅ Ｃの相手は Ｉ のみ • Ｅ：Ｆ Ｊ Ｃ Ｈ Ｂ Ｄ （Ｂ ｰ Ｃは不可能） • Ｆ：Ｅ Ａ Ｉ Ｂ Ｃ Ｈ • Ｇ：Ｄ Ｂ Ａ Ｉ Ｊ Ｃ 人間の目で判断するのは • Ｈ：Ｃ Ｉ Ｊ Ｅ Ａ Ｆ 非常に難しい！ • Ｉ：Ｂ Ｈ Ｆ Ｇ Ｄ Ｊ • Ｊ：Ａ Ｅ Ｈ Ｄ Ｇ Ｉ

14. 手作業での問題点 • 手作業では… • ・ 全てのスケジュールを考慮するのは無理！ • ・ 本当に最適？公平？ • ・ この条件下でスケジュールが作成可能？ • ・ 作成時間，各方面との調整，…（Jリーグは半年程度） • ・ 予定していた日に競技場が使えなくなった！ • → 数理的手法の必要性

15. 数理的手法の必要性 • 数理的手法を用いれば… • ・ 制約を満たすスケジュールが短時間で作成可能 • ・ 公平性，最適性が明らか • ・ 最適化問題としてモデル化することにより， • 条件の変化にも容易に対応可能 • → 1993年Jリーグのスケジュールへ

16. 1993年Jリーグの概略 • Jリーグ開幕の年，サッカーブーム • 10チームによる二重総当りリーグ戦（後述） • 第1節は土曜日，以降水曜日，土曜日，…（全18節） • 5月15日（土）～7月14日（水） • チーム略号 Ｋ：鹿島アントラーズ，Ｖ：ヴェルディ川崎， • Ｍ：横浜マリノス，Ｅ：清水エスパルス，Ｊ：ジェフ市原， • Ｓ：サンフレッチェ広島，Ｆ：横浜フリューゲルス，Ｇ：ガンバ大阪， • Ｎ：名古屋グランパス， Ｒ：浦和レッズ

17. 1993年Jリーグのスケジュール

18. 二重総当りリーグ戦

19. ミラーリング

20. 1993年スケジュールのミラーリング • １９９３年Jリーグのスケジュールにおいて， • ミラーリングの対応関係は • （1，11），（2，10），（3，18），（4，12），（5，13）， • （6，14），（7，15），（8，16），（9，17） • → 理由は不明だが，最小対戦間隔は • 十分に開いている（中7節）

21. 1993年Jリーグのスケジュール

22. 1993年スケジュールの分析 • 本拠地での試合をｈ（ホーム） • 遠征先での試合をａ（アウェイ）と表記 • 10チームの二重総当りリーグ戦ではｈ，ａが9回ずつ • ・ 各チームとも土曜日に4または5個のｈ • （土曜日は観客動員数が水曜日の1.3倍） • ・ 各チームとも前半（第1～9節）までに4または5個のｈ • → この二点に関しては公平

23. 1993年スケジュールの問題点 • 一般にａの連続は嫌われる • → スケジュール中，チームＫの第9，10，11節のみ • ａが3連続！（他チームにはない） • 公平性？ • また，土曜日のスケジュールのみを抜き出すと… • → 観客にとって親切でない！

24. 1993年Jリーグのスケジュール

25. 土曜日だけ着目すると…

26. 1993年スケジュールの問題点 • ・ チームＫのみ，3連続ａがある • ・ 土曜日（水曜日）のみを考えると， • いくつかのチームに関して • 本拠地での試合間隔が開きすぎ • ・ 他にも様々な問題点 • （本拠地が同一のＭとＦを考慮していない，…） • → 数理的手法を用いて改善を試みる！

27. 全列挙法 • 全列挙して，最適なスケジュールを選択？ • → 10チームの二重総当りリーグ戦 • 最低限のスケジュール総数は18！（≒6400兆） • 1秒間に1億個のスケジュールが作れる • 仮想計算機で 2年 • ただ計算機を用いてもダメ！ • → 当時論文で提案されていた方法を改良して使用

28. 数理的手法の参考文献 • 参考文献 • G. L. Nemhauser and M. A. Trick, • “Scheduling a Major College Basketball Conference,” • Operations Research, 46(1998), 1‐8. • 実際に，米の大学バスケ対抗戦（9チーム）の • スケジューリングを行った論文 • → 数理的手法の説明

29. スケジュール

30. パターンセット

31. パターン • パターンセットの横一行だけを取り出した文字列 • ａａａ，ａａｈ，ａｈａ，ａｈｈ，ｈａａ，ｈａｈ，ｈｈａ，ｈｈｈ • それぞれのチームはこの文字列通り移動する • パターン → パターンセット → スケジュール → 最適解 • ↑ ↑ ↑ • 制約条件 制約条件 制約条件

32. スケジュール作成までの流れ

33. パターンセット → スケジュール • 一般に，1つのパターンセットからは… • ・ 多数のスケジュールが生成される • ・ スケジュールが全く生成できない → 不可能な例 • １ ２ ３ ４ ５ （6チーム） • ａ ｈ ｈ ａ ｈ • ａ ｈ ａ ａ ｈ 与えられたパターンセットに， • ａ ｈ ａ ｈ ｈ各チームを割り当てることが可能？ • ｈ ａ ａ ｈ ａ （＝スケジュールを生成） • ｈ ａ ｈ ｈ ａ → 整数計画問題として定式化 • ｈ ａ ｈ ａ ａ

34. 整数計画問題としての定式化 • １ ２ ３ • α：ｈ ａ ｈ= 1： α→γが2日目に対戦する • β：ｈ ａ ａ = 0： α→γが2日目に対戦しない • γ：ａ ｈ ｈ 対戦可能な変数のみを定義 • δ：ａ ｈ ａ 全ての変数は0 - 1整数変数 • 基本的な制約条件 • （βとγが必ず1回対戦） • （αは3日目に必ず1試合行う）

35. 整数計画問題の例 • x121+x141+x321+x341+x212+x242+x312+x342+x213+x233+x413+x433=6, • x121+x212+x213=1, x312=1, x141+x413=1, • x321+x233=1, x242=1, x341+x342+x433=1, １ ２ ３ • x121+x141=1, x212+x312=1, x213+x413=1, １：ａ ｈ ｈ • x121+x321=1, x212+x242=1, x213+x233=1, ２：ｈ ａ ａ • x321+x341=1, x312+x342=1, x233+x433=1, ３：ａ ａ ｈ • x141+x341=1, x242+x342=1, x413+x433=1, ４：ｈ ｈ ａ • ∀x∈｛0, 1｝. （x の添え字はａ，ｈ，日の順）

36. 整数計画問題について • 定式化した整数計画問題（今回の場合，225変数）は • ソフトウェアに解かせる • 問題に解がある ＝ パターンセットにチーム割当可能 • 問題が不能 ＝ パターンセットにチーム割当不可能 • 制約条件が少ないと時間がかかり，また多数の解 • 制約条件が多すぎると矛盾することが多い

37. スケジュールの作成 • 元のスケジュールより良いものを作りたい！ • 問題点の復習 • ・ チームＫのみ，3連続ａがある • ・ 土曜日を考えると，いくつかのチームに関し • 本拠地での試合間隔が開きすぎ • ・ 他にも様々な問題点 • （本拠地が同一のＭとＦを考慮していない，…）

38. 前提条件 • ・ 元のスケジュールより劣ったものは作らない（目標） • ・ （変則的な）ミラーリングは同じとする • ・ 開幕戦（第1節）と最終戦（第18節，第3節に対応）は • 元のスケジュールと全く同じにする • → スケジュール作成の実験開始

39. パターン生成 • 1993年はチーム数が10→ パターンの長さは9 • ａａａａａａａａａ，ａａａａａａａａｈ，…，ｈｈｈｈｈｈｈｈｈ（512個） • ・ 3連続ａ，3連続ｈはだめ • ・ 土曜日には4または5個のｈ • ・ 前半戦に4または5個のｈ • ・ 土曜（水曜）だけ注目したとき，3連続ａ（ｈ）はだめ • → 24個のパターンが残った

40. 24個の許容パターン • ａａｈｈａａｈｈａ， ａａｈｈａｈｈａａ， ａｈａａｈａａｈｈ， • ａｈａａｈａｈｈａ， ａｈａａｈｈａａｈ， ａｈａａｈｈａｈａ， • ａｈａａｈａｈｈａ， ａｈａａｈｈａａｈ， ａｈａａｈｈａｈａ， • ａｈａｈｈａｈｈａ， ａｈａｈｈａａｈａ， ａｈａｈｈａａｈｈ， • ｈａａｈａａｈｈａ， ｈａａｈａｈｈａｈ， ｈａｈａａｈａａｈ， • ｈａｈａａｈｈａａ， ｈａｈａａｈｈａｈ， ｈａｈｈａａｈａａ， • ｈａｈｈａａｈａｈ， ｈａｈｈａａｈｈａ， ｈａｈｈａｈａａｈ， • ｈａｈｈａｈｈａａ， ｈｈａａｈａａｈｈ， ｈｈａａｈｈａａｈ

41. パターンからパターンセットへ • 24個のパターンを10個組み合わせて， • パターンセットを作る → 24Ｃ10≒200万 • その中で，任意の日についてａとｈが等しい必要有り • ａａｈ • ａｈｈ→ 200万個中，1382個が合格 • ｈａｈ（計算時間5分） • ｈｈａ • ↑対戦不可能！

42. 思考錯誤 • パターンセット1382個は候補が多すぎる！ • 「第1,2節，第17,18節にａａを禁止」 • （旧スケジュールは合計2チーム） • パターンセットがただ1個に！！ • しかし，スケジュール割当て不可能であった… • → （やり直し）

43. パターンセットを減らす • パターンセット1382個のうち， • 実際に（1つ以上の）スケジュールを生成できるもの？ • 整数計画問題に定式化して判定（1382問） • → 208個が合格（計算時間約30分） • 1つのパターンセットからは， • 多数のスケジュールが生成可能．（まだまだ多い）

44. 条件の適用 • 「第1,2節，第17,18節のａａをできるだけ避ける」 • （旧スケジュールは合計2チーム） • この条件を適用すると…，パターンセットが7個に！ • 参考文献ではこの段階で17個 → 24時間 • 計算時間の見積り 24＊10＊7／17 ＝ 100時間 • まだパターンセットが多い！（ここでしばらく挫折）

45. 新たな制約条件の導入 • チームＭとチームＦは本拠地が同一 • ☆同時にホームゲームは戦えない！ • 正反対のパターンが必要 • （例） • チームＭ：ａｈａａｈｈａａｈ • チームＦ：ｈａｈｈａａｈｈａ • → さらに，ＭとＦが対戦する日を考える

46. Ｍ－Ｆ条件の導入 • チームＭ：ａｈａａｈｈａａｈ • チームＦ：ｈａｈｈａａｈｈａ • チームＭ，Ｆが上のパターンである時， • ＭとＦが戦えるのは？（本拠地は同一） • → 本拠地が3連続しないことを考えると • チームＭ：ａｈａａｈｈａＦｈ 対戦可能なのは • チームＦ：ｈａｈｈａａｈＭａ ← ここだけ！

47. パターンセットの決定 • ・ Ｍ－Ｆ条件 • ・ 第1節と第18節を旧スケジュールと同一にする • 以上の条件を考慮した結果， • パターンセットは（運良く）1個に！ • さらに，いくつかの試合が固定された • → ここまでの状況

48. ここまで得られた条件

49. さらなる工夫 • 前頁のパターンセットを整数計画問題として， • 全ての解（＝スケジュール）を求めると… • → 時間がかかりすぎていつ終わるか不明 • チームＲ，Ｊ，Ｓ，Ｇの割り当ては4通り • → 割り当てたスケジュールを解く！ • （子問題に分割）

50. 子問題の一例