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第三章. 平面任意力系. 引 言. 平面任意力系 ： 各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫 ∼。. [ 例 ]. 中心内容：力系简化 + 平衡方程. 平面任意力系实例. 力的平移定理 ： 可以把作用在刚体上点 A 的力 平行移到任一 点 B ，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力 对新作用点 B 的矩。. 力. 力系. F’. F. F. F’. d. d. d. B. B. A. A.
E N D
第三章 平面任意力系
引 言 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。 [例] 中心内容：力系简化+平衡方程
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力 对新作用点B的矩。 力 力系 F’ F F F’ d d d B B A A B A m F” F=F’=F” §3-1 力线平移定理
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶 （例断丝锥） ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。 说明：
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 （未知力系）（已知力系） 汇交力系 力 ，R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO(主矩) ， (作用在该平面上) y F’2 y F’1 R’ F2 F1 Mo m1 m2 O O x O x m3 为任选点 F’3 F3 §3-2 平面任意力系向一点简化
大小： 主矢 方向： 简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和] （移动效应）
雨搭 大小： 主矩MO方向： 方向规定 + — 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） （转动效应） 固定端（插入端）约束 在工程中常见的
A Fi RA MA A YA MA A XA 说明 固定端（插入端）约束 ①认为Fi这群力在同一 平面内; ② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶; ③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。
① =0， MO=0，则力系平衡,下节专门讨论。 ②=0,MO≠0即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 ③≠0,MO=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） §3-3 平面任意力系的简化结果 合力矩定理 简化结果： 主矢，主矩 MO，下面分别讨论。
④ ≠0,MO≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 。 R’ R’ MO R R d d O O O’ O’ O O’ R” 合力 的大小等于原力系的主矢 合力 的作用线位置
平面任意力系的简化结果：①合力偶MO； ②合力 ;③平衡 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩 ———合力矩定理 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。 结论：
[例1]已知平面任意力系如图， ， ， 求①力系向O点简化结果， ②合力的大小和作用线方程 y F1 R 力系向O点简化的结果为 (1,2) (3, 1) F2 主矢 x (2,-1) 主矩 F3 合力大小为 [解] 设合力与 x轴交点为(x, 0),合力与 y轴交点为(0, y),则
由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即： §3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
②二矩式 ③三矩式 ①一矩式 条件：x 轴不 AB 连线 条件：A,B,C不在 同一直线上 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
YA NB P a 2a B A XA [例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究 ②画受力图
y x1 F1 F2 RO A1 A2 x2 MO x O xn An Fn 平衡的充要条件为 主矢 =0 主矩MO=0 §3-5 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。 设有F1, F2 … Fn各平行力系， 向O点简化得： 合力作用线的位置为：
一矩式 y x1 F1 F2 RO A1 A2 x2 MO 二矩式 x O xn An Fn 实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 条件：AB连线不能平行 于力的作用线 所以 平面平行力系的平衡方程为：
R xR y q(x) O a x b x dx R R 2l/3 l/2 q q O l l 分布载荷q(x)的合力大小及作用线
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁 解得：
[例]已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？
由 限制条件为： 解：⑴ ①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为： 限制条件： 解得 ②空载时，W=0 解得 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：
一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。 力偶系 平面 任意力系 §3-6 静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡 当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例] 静定（未知数三个） 静不定（未知数四个） 静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例] 外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少） 物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
解： 选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、Bxy,B点 列方程为: 解方程得 ① ② ③ ④ [例1]已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 再研究CD杆 受力如图 取E为矩心，列方程 解方程求未知数 ② ③ ④
A a F D F E a B C a a XB XC YB YC [例3]已知：F各杆重量不计。 求：A、B和D约束反力？ 解：以整体为研究对象 (求不出XB)
A F D E X’D a F F Y’D NE D F E a B C X’A XA A a a A YA Y’A XD XB D XC E YD YB YC XB N’E C XC B YB YC 我们已经求出YB，下一步应选取谁做为研究对象呢 (五个未知数) (四个未知数) (三个未知数)
A F D E X’D a F F Y’D NE D F E a B C a a XB XC YB YC B 以DEF为研究对象 (可以求出NE)
A a F D F E a B C XA a a A YA XD XB D XC YD YB YC XB B YB 以ADB为研究对象
[例4]已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开） 解：①研究起重机
② 再研究梁CD ③ 再研究整体
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架 §3-7 平面简单桁架的内力分析
节点 杆件 桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
(b) (a) 桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。 桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接； ③外力作用在节点上。 力学中的桁架模型 ( 基本三角形) 三角形有稳定性
一、节点法 [例] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？ 解：①研究整体，求支座反力 ②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。
节点D的另一个方程可用来校核计算结果 恰与 相等,计算准确无误。
I I ② 选截面 I-I ，取左半部研究 A' 二、截面法 [例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。 ① 解： 研究整体求支反力
