回顾： 第二 章 系统数学模型的建立

1. 回顾： 第二章 系统数学模型的建立 到底完成了一件什么事？ 已知输入和输出之间的物理关系，求传递函数 第三章 线性系统的时域分析法 常用什么输入 已知输入和传递函数，分析输出的动态特性 响应 常用什么系统

2. 第三章 线性系统的时域分析法 3.1 各种常用信号和系统 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 基于MATLAB的线性系统时域分析 小结 动态性能 稳态性能

3. 常用输入信号 图 3-1 典型输入信号

4. 常用输入信号

5. 常用输入信号

6. 常用系统 1. 一阶系统 什么是一阶系统？ 答：由一阶微分方程描述的系统 一阶系统就是惯性环节

7. 常用系统 什么是二阶系统？ 答：由二阶微分方程描述的系统 式中ζ为振荡环节的阻尼比,ωn为系统的自然振荡角频率 这两个参数是二阶系统的重要结构参数。 二阶系统就是震荡环节

8. 常用系统 典型的二阶系统的结构图如图3-6(a)所示, 它是由一个惯性环节和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。 二阶系统的特征方程为 所以, 系统的两个特征根(极点)为 随着阻尼比ζ的不同, 二阶系统特征根(极点)也不相同。

9. 3.2 系统的时域分析 已知输入和传递函数，分析输出的动态特性 思路： 从c(t)分析输出随时间递进的运动规律 常用单位阶跃函数作为典型输入

10. 3.2 一阶系统的时域分析 3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统就是惯性环节 输入为单位阶跃函数 输出的S域表达式 输出的时域表达式

11. cs(t)=1是稳态分量, 由输入信号决定。 ct(t)=-et/T是瞬态分量(暂态分量), 它的变化规律由传递函数的极点s=-1/T决定。 当t→∞时, 瞬态分量按指数规律衰减到零。 一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始，按指数规律上升并且最终趋于1的曲线。 曲线无震荡特性，故为非周期信号

12. 图 3-4 一阶系统单位阶跃响应曲线 一阶系统从零上升到1的时间为T T越小，响应过程越快 t=3T 5%误差带 t=4T 2%误差带

13. h(t) 1/T 0.368/T 0.135/T 0.05/T t 0 T 2T 3T 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 如果输入信号为理想单位脉冲函数 r(t)=δ(t), R(s)=1 输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即 这时的输出响应称为单位脉冲响应, 记作g(t)。因为g(t)=L-1［G(s)］, 其表达式为

14. 3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应 对于单位斜坡函数 可求得系统输出信号的拉氏变换为 取拉氏反变换可得系统的单位斜坡响应为 (t≥0) 式中, cs(t)=t-T是稳态分量, 它是一个与输入信号等斜率的斜坡函数, 但时间上滞后一个时间常数T; ct(t)=Te-t/T是瞬态分量, 当t→∞时, ct(t)按指数规律衰减到零, 衰减速度由极点s=-1/T决定。

15. 表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。 在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。

16. c(t) t 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡 一阶系统的特点 一阶系统响应具备两个重要的特点： ①用时间常数T去度量系统输出量的数值。 ②响应曲线的初始斜率等于1/T。 1.0 一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts 定义：︱c(ts) 1 ︱=  ( 取5%或2%) T反映了系统的惯性。 T越小惯性越小，响应快； T越大，惯性越大，响应慢。 0.982 0.95 0.865 0.632

17. 3.3 二阶系统的时域分析 3.3.1 二阶系统的标准形式 典型的二阶系统的结构图如图3-6(a)所示, 它是由一个惯性环节和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。系统的传递函数为 令ω2n=K1K2/τ, 1/τ=2ζωn, 则可将二阶系统化为如下标准形式: (3.15)

18. 二阶系统的动态特性, 可以用ζ（阻尼比）和ωn（无阻尼振荡频率）这两个参量的形式加以描述。 二阶系统的特征方程为 所以, 系统的两个特征根(极点)为 随着阻尼比ζ的不同, 二阶系统特征根(闭环极点)也不相同。 要针对阻尼比的不同区分对待

19. 1. 欠阻尼(0＜ζ＜1) 当0＜ζ＜1时, 两特征根为 这是一对共轭复数根, 如图3-7(a)所示。 2. 临界阻尼(ζ=1) 当ζ=1时, 特征方程有两个相同的负实根 s1,2=-ωn 此时, s1, s2如图3-7(b)所示。

20. 3. 过阻尼(ζ＞1) 当ζ＞1时, 两特征根为 这是两个不同的实根。 4. 无阻尼(ζ=0) 当ζ=0时, 特征方程有一对共轭纯虚数根 此时, s1, s2如图所示。

21. 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为 (3.19) 对上式求拉氏反变换, 可得二阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程为

22. 式中, 称为有阻尼自振角频率。 下一步：进行拉普拉斯反变换 (3.19) 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 式(3.19)可以展成如下部分分式形式: 阶跃 sin cos

23. 式中, 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 系统的单位阶跃响应表达式 阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s 平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。

24. 1. 欠阻尼情况(0＜ζ＜1) 在欠阻尼情况下, 二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线 衰减速度取决于特征根实部的绝对值 的大小 振荡角频率 是特征根虚部的绝对值 振荡周期为 输出波形与特征根的关系

25. c(t) t 0 1 衰减振荡

26. 2. 无阻尼情况(ζ=0) 当ζ=0时, 系统的单位阶跃响应为 无阻尼情况下系统的阶跃响应是 等幅正(余)弦振荡曲线 振荡角频率是ωn。

27. c(t) t 0 等幅振荡

28. 3. 临界阻尼情况(ζ=1) 当ζ=1时, 时域表达式分母出现零，无法有效表达 由传递函数式(3.19)可得 式(3.19) 对上式进行拉氏反变换得 (3.25) 所以, 二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线(如图3 - 8所示)。

29. c(t) t 0 1 此时响应是稳态值为1 的非周期上升过程，其变化率 t = 0，变化率为0； t > 0变化率为正，c(t) 单调上升； t →∞，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调， 稳态误差＝0。

30. 4. 过阻尼情况(ζ＞1) 这种情况下, 系统存在两个不等的实根, 即 由式(3.19)可得

31. 式中, 取上式的拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为 (t≥0)

32. c(t) 1.0 t 0 ts 显然, 这时系统的响应c(t)包含两个衰减的指数项, 其过渡过程曲线如图3-8所示。此时的二阶系统就是两个惯性环节的串联。 有关分析表明, 当ζ≥2时, 两极点s1和s2与虚轴的距离相差很大, 此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近, 可以用该惯性环节来代替原来的二阶系统。

33. 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ=0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, ζ=1时临界阻尼对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时, 过渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态。

34. 总结： 1）ξ<0时，响应发散，系统不稳定； 2）ξ>＝1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢； 3）ξ＝0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡； 4）0<ξ<1时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理ξ选择可使既快又平稳，工程上把ξ＝0.707的二阶系统称为二阶最优系统；

35. 回顾上节课内容 1.梅森公式 2.一阶系统的时域特性 t=3T 5%误差带 t=4T 2%误差带

36. 3.二阶系统的时域特性 特征根 自然震荡角频率 阻尼震荡角频率 阻尼系数 阻尼角

37. 3.二阶系统的时域特性 特征根 振荡周期为 特征根的实部，决定了衰减速度 特征根的虚部系数，决定了震荡频率

38. j jd p1 n  0 ξn p2 特征根 3.二阶系统的时域特性 越大，衰减越快， 也就是说特征根的实部越大，衰减越快 特征根的实部 ： 极点距离虚轴的远近 极点距离虚轴越远，越稳定，暂态衰减越快

39. 3.3.3 二阶系统的性能指标 在许多实际情况中, 评价控制系统动态性能的好坏是通过系统反映单位阶跃函数的过渡过程的特征量来表示的。 在一般情况下, 希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态下。 因此, 下面有关性能指标的定义和定量关系的推导主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。 另外, 系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程与初始条件有关, 为了便于比较各种系统的过渡过程性能, 通常假设系统的初始条件为零。 二阶系统单位阶跃响应

40. 图 3-2 动态性能指标

41. 动态性能指标通常有以下几种:  延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短, 响应速度越快。  峰值时间tp: 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。  调节时间ts: 输出与稳态值之间的偏差达到允许范围之内(通常取5%或2%), 响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需的时间。

42. 最大超调量σp: 设阶跃响应的最大值为c(tp), 则最大超调量σp可由下式确定: (3.8) 振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次数的一半称为振荡次数。  上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr评价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。

43. 上升时间tr 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间

44. 上升时间tr 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间 始终大于零 和 决定了上升时间， 一定时，阻尼比越大，上升时间越长；阻尼比一定时， 越大则上升时间越短

45. 2. 峰值时间tp 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。 

46. 2. 峰值时间tp 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。 

47. 2. 峰值时间tp 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。  即二阶系统过渡过程峰值时间为

48. 3. 最大超调量σp

49. 3. 最大超调量σp 即 超调量只与阻尼比有关

50. 4. 过渡过程时间ts 输出与稳态值之间的偏差达到允许范围之内(通常取5%或2%),