第八章 函 数

1. 第八章 函 数 8.1 函数的定义和性质——一种特殊的二元关系 定义8.1 设F为二元关系，若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立，则称F为函数。 对于函数F，如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x点的值。 例：设F1={<a,b>, <a,e>, <c,d>} F2={<a,b>, <w,d>, <c,d>} 判断它们是否为函数。 练习：1、A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10},则 f={<1,7>, <2,7>, <1,8>, <3,7>} x2+1 2、A=B=R+, f(x)= x 1

2. 第八章 函 数 定义8.2 设F,G为函数，则 F=G  F  G ∧G  F 即 1、domF=domG 2、 x∈domF= domG都有F(x)=G(x) 例如 函数 x2-1 F(x)= x+1 G(x)= x-1 是否相等？？？ 2

3. 第八章 函 数 定义8.3 设A，B为集合，如果f为函数，且domf=A,ranfB,则称f为从A到B的函数，记作f:A→B。 例：当x ∈ N时, f(x)=2x, G(x)=4 均为从N到N的函数。 定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”。符号化表示为： BA={f | f: A→B} 3

4. 第八章 函 数 例：设A={1,2,3},B={a,b},求BA 。 解：由排列组合的知识知，若|A|=m,|B|=n,则|BA|=nm。所以本题有23个函数。 BA ={f0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7,},其中 f0 ={<1,a>, <2,a>, <3,a>} f1 ={<1,a>, <2,a>, <3,b>} f2 ={<1,a>, <2,b>, <3,a>} f3 ={<1,a>, <2,b>, <3,b>} f4 ={<1,b>, <2,a>, <3,a>} f5 ={<1,b>, <2,a>, <3,b>} f6 ={<1,b>, <2,b>, <3,a>} f7 ={<1,b>, <2,b>, <3,b>} 4

5. 第八章 函 数 当A或B中至少有一个集合为φ时，有以下三种情况： 1、A= φ且B= φ,则BA = φφ ={φ} 2、A= φ且B≠φ,则BA = Bφ ={φ} 3、A≠φ且B= φ,则BA = φA =φ 定义8.5 设函数f:A→B,A1 A,B1 B， (1) 令f(A1)={f(x)| x ∈ A1 },称f(A1)为A1在f下的像。特别地，当A1 =A时称f(A)为函数的像。 (2) 令f-1(B1)={x| x∈A ∧ f(x)∈B1},称f-1(B1)为B1在f下的完全原像 5

6. 第八章 函 数 例1：f:N→N,f(x)=2x,则A1={1,2,3}和A2= N在f下的像分别为： f(A1)={2,4,6} f(A2)={x| x=2y∧y∈N} 例2：A={1,2,3} B={0,1} f:A→B且 f(1)=f(2)=0,f(3)=1 令A1={1},则f(A1)的完全原像与A1是什么关系？ ∵ f-1(f(A1))= f-1(f({1})) = f-1({0})={1，2} 可见 A1 f-1(f(A1)) 6

7. 第八章 函 数 定义8.6 设函数f:A→B (1) 若ranf=B,则称 f:A→B 是满射的。 (2) 若y∈ranF都存在唯一的 x∈A使得 f(x)=y,则称 f:A→B 是单射的。 (3) 若f:A→B 既是满射的又是单射的，则称 f:A→B 是双射的(或一一映射)。 例8.4：判断下列函数是否为满射、单射或双射的，为什么？ (1) f:R→R,f(x)=-x2+2x-1 (2) f:Z+→R,f(x)= ㏑x (3) f:R→Z, f(x)=∟x」,即不大于x的最大整数。 (4) f:R→R,f(x)=2x-1 x2+1 (5) f:R+→R+,f(x)= x 7

8. 第八章 函 数 练习：判断下列函数是否为满射、单射或双射的，为什么？ (1) f:R→R,f(x)=x (2) f:N→N×N,f(x)= <x,x+1> 1 (3) f:S→R, S=[0,+∞) , f(x)= x+1 1 (4) f:S→R+,S=(0,1), f(x)= x KEY : (1) 满射的，单射的，双射的 (2) 不是满射的，是单射的 (3) 不是满射的，是单射的 (4) 不是满射的，是单射的 8

9. 第八章 函 数 例题8.6 对于给定的集合A，B构造双射函数f:A→B。 (1) A=[0,1], B=[ 1/4, 1/2] (2) A=Z , B=N 解： (1) f(x)=(x+1)/4 或 f(x)=1/(4-2x) (2) 将Z中元素以下列顺序与N中元素对应： Z: 0 -1 1 -2 2 -3 3 …… N: 0 1 2 3 4 5 6 …… 可得函数 2x x≥0 f(x)= -2x-1 x<0 9

10. 第八章 函 数 练习：对于给定的集合A，B构造双射函数f:A→B。 (1) A=(0,1), B=(0,2) (2) A=R , B=R+ (3) A={x| x ∈Z ∧ x≤0}, B=N KEY : (1) f(x)=2x (2) f(x)=2x (3) f(x)=|x| 10

11. 第八章 函 数 定义8.7 了解即可 (1)设函数f:A→B，若y∈B使得x∈A都有f(x)=y,则称f:A →B 是常函数。 (2) 称 A 上的恒等关系 IA 为 A 上的恒等函数，对x∈ A 都 有IA(x)=x。 (3) 设<A, ≤ > <B, ≤ >为偏序集,f:A→B ，如果对任意x1,x2 ∈ A, x1 < x2，就有f(x1) ≤ f(x2),则称 f:A→B 是单调递增；如果对任意x1,x2 ∈ A, x1 < x2，就有f(x1) < f(x2),则称 f:A→B 是严格单调递增的。类似可定义单调递减和严格单调递减函数。 (4) 设A为集合，对于任意A` A，的特征函数f(A`):A →{0,1}定义为： 1 a ∈ A` f(a)= 0 a ∈ A-A` (5) 设R是A上的等价关系，令 g: A A/R g(a)=[a],  a ∈ A 称g是从A到商集A/R的自然映射。 11

12. 第八章 函 数 8.2 函数的复合与反函数 函数的复合也就是关系的右复合。 定理8.1 设F,G是函数，则F。G也是函数，且满足 (1) dom(F。G)={x| x∈domF ∧F(x) ∈domG} (2) x∈dom(F 。G) 有 F 。G(x)=G(F(x)) 12

13. 第八章 函 数 证明： ∵F，G是关系， ∴ F 。G也是关系。 若x∈dom(F 。G)有x F 。G y1和x F 。G y2,则 <x, y1 > ∈F 。G∧<x, y2 > ∈F 。G => t1(<x, t1 > ∈F∧< t1, y1 >∈G) ∧ t2(<x, t2 > ∈F∧< t2, y2 > ∈G) => t1(<x, t1 > ∈F∧< t1, y1 >∈G) ∧ t2(<x, t2 > ∈F∧< t2, y2 > ∈G) => t1 t2( t1 = t2∧< t1, y1 > ∈G∧< t2, y2 > ∈G) (∵ F为函数) => y1 =y2(∵ G为函数) ∴ F 。G为函数。 13

14. 第八章 函 数 对于x, x∈dom(F 。G) => t y(<x, t > ∈F∧< t, y > ∈G) => t (x ∈dom(F)∧t=F(x)∧t ∈ dom( G)) => x ∈ {x| x ∈dom(F)∧F(x)∈ dom( G)} 对于x, x ∈dom(F)∧F(x)∈ dom( G) => <x,F(x)>∈F∧<F(x),G(F(x))>∈G => <x, G(F(x))>∈ F。G => x ∈dom(F)∧F。G(x)=G(F(x)) 推论1 设F,G,H为函数，则(F。G) 。H和F。(G。H)都是函数，且 (F。G) 。H=F。(G。H) 推论2 设f:A → B, g:B → C, 则f。g: A → C,且x∈A都有f。g(x)=g(f(x))。 14

15. 第八章 函 数 练习1： 设 f，g，h ∈ RR 且f(x)=x+3, g(x)=2x+1, h(x)=x/2, 求 f。g ， g。h。f。 解: f。g (x)=g(f(x))=g(x+3)=2(x+3)+1=2x+7 g。h。f(x)=f(g。h (x))= f(h (g(x))) = f(h (2x+1))=f((2x+1)/2)= (2x+1)/2+3=x+7/2 练习2： 0 若x为偶数 设 f，g，h ∈ NN 且f(x)=x+1, g(x)=2x, h(x)= 1 若x为奇数 求g。h , f。h, h。g 。f. 15

16. 第八章 函 数 练习2： 0 若x为偶数 设 f，g，h ∈ NN 且f(x)=x+1, g(x)=2x, h(x)= 1 若x为奇数 求g。h , f。h, h。g 。f. 解:g 。h (x)=h( g(x))=0 1 若x为偶数 f 。h (x)=h( f (x))= 0 若x为奇数 1 若x为偶数 h 。 g 。f(x)=f(h 。g(x))= f(g(h(x)))= 3 若x为奇数 16

17. 第八章 函 数 定理8.2 设 f:A → B, g:B → C (1) 若f:A→B, g:B→C 都是满射的，则f。g: A → C也是满射的。 (2) 若f:A→B, g:B→C 都是单射的，则f。g: A → C也是单射的。 (3) 若f:A→B, g:B→C 都是双射的，则f。g: A → C也是双射的。 证明略，参见P143。 17

18. 第八章 函 数 定理8.3 设 f:A → B, 则有 f=f。IB=IA。F 证明: 由前定理知 f 。IB :A → B, IA。F :A → B 对于 <x,y>, <x,y>∈f => <x, y > ∈f∧ y ∈ B => <x, y > ∈f∧ <y,y> ∈IB => <x, y > ∈f 。IB <x,y>∈ f 。IB=> t (<x, t > ∈f∧< t, y > ∈IB) => <x, t > ∈f∧ t=y => <x, y > ∈f ∴ f=f。IB 同理可证明 f=f。IA 18

19. 第八章 函 数 考虑： • 任给函数F，那么它的逆F-1是函数吗？ 答:不一定。 如F={<1,2>,<3,2>}为一从{1，3}到{2}的函数，而 F-1 ={<2,1>,<2,3>}不再是函数，仅是一个关系。 • 任给单射函数f:A → B ，那么它的逆f-1是函数吗？ 答: f-1 是从ranf到A的函数，而且是双射函数。但不一定是从B到A的函数。 对于什么样的函数f:A → B的逆f-1才是从B到A的函数呢？ 19

20. 第八章 函 数 定理8.4 设 f:A → B是双射的,则f-1也是双射的。 证明: 先证明f-1是从B到A的函数f-1 ：B→ A。 ∵f是函数 ∴ f-1是关系，且 domf -1=ranf=B, ranf -1=domf=A 对于x ∈B= domf -1,若y1,y2 ∈A使得, <x, y1 >∈f -1∧<x, y2 >∈f -1成立,则 < y1,x > ∈f∧ < y2 ,x> ∈ f => y1= y2 (∵f是单射函数 ) ∴ f -1是函数，而且是满射函数。 20

21. 第八章 函 数 再证明f-1 ：B→ A的单射性。 若x1,x2 ∈B使得f-1(x1)= f-1(x2)=y,则 <x1, y >∈f -1∧<x2, y >∈f –1 =>< y,x1 > ∈f∧ < y ,x2> ∈f => x1= x2 (∵f是函数 ) ∴ f -1是单射函数。 综上所述 f-1是双射的。 对于双射函数f:A → B ，称f-1 ：B→ A是它的反函数。 21

22. 第八章 函 数 定理8.5 设 f:A → B是双射的,则 f-1。f =IB f。f-1 =IA。 证明参见P188。 推论 对于双射函数f:A→A,有f-1。f=f。f-1 =IA 例题8.7 设 f:R →R, g:R →R x2 x>=3 f(x)= g(x)=x+2 -2 x<3 求f。g, g。f. 若f和g存在反函数，求其反函数。 22

23. 第八章 函 数 例题8.7 设 f:R →R, g:R →R x2 x>=3 f(x)= g(x)=x+2 -2 x<3 求f。g, g。f. 若f和g存在反函数，求其反函数。 解：x2+2 x>=3 f。g (x)=g(f(x))= 0 x<3 (x+2)2 x>=1 g。f(x)= f(g(x))= -2 x<1 f: R →R不是双射函数，故不存在反函数。 g: R →R是双射函数，其反函数为： g-1:R →R , g-1(x)=x-2 23

24. 第八章 函 数 练习 设 f:R →R, f(x)=x2-2 g:R →R, g(x)=x+4 h:R →R, h(x)=x3-1 f, g, h 中哪些存在反函数？若存在求其反函数 解： f: R →R 不是满射函数，故不存在反函数。 g: R →R是双射函数，其反函数为： g-1:R →R , g-1(x)=x-4 h: R →R是双射函数，其反函数为： h-1:R →R , h-1(x)= 3 x+1 24

25. 结束语 END OF THIS PART! THANKS! 25