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點與圓的位置關係

如下圖 ( 一 ) 所示 ， 在平面上 ， 以 O 點為圓心， OP 長為半徑畫圓 ， 此圓稱為 圓 O 。. O. 點與圓的位置關係. C. P. O. A. B. 半徑. 圖一. 圖二. 如上圖 ( 二 ) 所示，在一個平面上，點與圓的位置關係有下列三種情形：. ；. ；. A 點在. 圓內. B 點在. 圓上. C 點在. 圓外. 隨. 堂. 練. 習. C. O. A. B. 1. 如右圖 ， 分別用線段將 A 、 B 、 C 三點與圓心 O 連接 ， 若圓 O 的半徑長為 r ， 試比較這些線段與半徑長的大小關係。. ＜.

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點與圓的位置關係

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Presentation Transcript

  1. 點、線、圓 如下圖(一)所示，在平面上，以O點為圓心，OP長為半徑畫圓，此圓稱為圓O。 O 點與圓的位置關係 C P O A B 半徑 圖一 圖二 如上圖(二)所示，在一個平面上，點與圓的位置關係有下列三種情形： ； ； A點在 圓內 B點在 圓上 C點在 圓外

  2. 點、線、圓 隨 堂 練 習 C O A B 1.如右圖，分別用線段將A、B、C三點與圓心O連接，若圓O的半徑長為r，試比較這些線段與半徑長的大小關係。 ＜ ＝ ＞ (1) OA ____ r (2) OB ____ r (3) OC ____ r 2.如果已知點D、E、F與圓心的距離分別是大於半徑長、等於半徑長、小於半徑長，試判斷點D、E、F與圓的位置關係： (請填入圓內，圓上或圓外) 圓內 圓上 圓外 (1) D在 _______ (2) E在 _______ (3) F在 _______

  3. 點、線、圓 由隨堂練習我們可以知道： 圓內 (1)到圓心的距離小於半徑的點會在 圓上 (2)到圓心的距離等於半徑的點會在 圓外 (3)到圓心的距離大於半徑的點會在 r

  4. 點、線、圓 例題1 如下圖，已知坐標平面上三點A(3,3) 、B(－4,0) 、C(1, －2) ，若以原點O為圓心，半徑長為4畫一圓，試判斷A、B、C三點與圓O的位置關係。 y A(3,3) B(－4,0) x O C(1, －2)

  5. 點、線、圓 y A(3,3) B(－4,0) x O C(1, －2) ∵OA＝ ＞4(半徑長) ，∴A點在 ∵OC＝ ＜4(半徑長) ，∴C點在 解題關鍵 分別求出A、B、C三點到O點的距離 (－3,4) 兩點間的距離公式 Sol O(0,0)為圓心 OA＝ OB＝ OC＝ 圓外 圓上 ∵OB＝4＝4(半徑長) ，∴B點在 圓內 ＃ 隨堂練習

  6. 點、線、圓 隨 堂 練 習 坐標平面上一圓O通過點(－3，4) ，且圓O的圓心在原點，試求圓O的半徑。 Sol 半徑＝ (－3－0)2＋(4－0)2 9＋16 ＝ ＝ 25 ＝ 5 ＃ 上一張

  7. 點、線、圓 A 直線與圓的位置關係 如右圖，直線L外的任一點A與直線L上各點的連線段，以哪一條線段最短？ L 以垂直於直線L的線段最短 我們稱此線段的長度為 點A到直線L的 距離 點到圓心的距離 在討論點與圓的位置關係時，我們可以比較 與圓半徑的大小關係來進行判別。 同樣地，在探討直線與圓的位置關係時，我們也可以比較 圓心到直線的距離 與圓半徑的大小關係來進行判別。

  8. 點、線、圓 O 如下圖，在圓O上畫出通過圓心O的一直線CD，其中C、D為直線與圓的兩交點。 在圓上放一條可移動的直線L，且直線L保持與直線CD垂直。 我們可以很明顯地看到： 直線L與圓O相交於兩點 當圓心O到直線L的距離小於半徑時， 割線 此時我們說：直線L為圓O的 L L 當圓心O到直線L的距離大於半徑時， 此時直線L與圓O不相交。 C D

  9. 點、線、圓 L O 直線與圓的位置關係除了上述「不相交」和「相交於兩點」這兩種情形之外，可不可能有「相交於一點」的情形呢？ 如下圖，將直線L逐漸平行移動至C點，那麼直線與圓的位置關係會產生怎樣的變化呢？ C D

  10. 點、線、圓 C D L O 當直線L平行移動到C點時，我們在直線L上另取一個B點。 此時O、C、B三點恰好形成一個直角三角形， 其中OB為斜邊， 所以 OB ＞ OC 圓外 但是，因為OC為半徑，故B點會在 也就是說， B 此時直線L與圓O不可能有第二個交點。 經由以上敘述， 「相交於一點」 我們知道直線與圓的位置關係也有 的情形。 如上圖當直線L與圓O恰相交於一點C時， 我們說： 相切 ，直線L與圓O的交點C叫做切點 ，直線L為圓O的切線 直線L與圓O 我們也可以說成直線L與圓O相切於C點。

  11. 點、線、圓 L 切線 半徑 O O 切點 C P 所以我們知道圓的切線具有下列性質： 必垂直 (1)圓心與切點的連線 過此切點的切線。 圓的半徑 (2)圓心到切線的距離等於 若我們要畫出過圓O上任一點P的切線，如上圖， 只要先連接OP，再作過P點且與OP垂直的直線即可。 (過直線上一點作垂直線的作法)

  12. 點、線、圓 隨 堂 練 習 O 如下圖，A、B為圓O上的兩點，請利用尺規作圖分別畫出過A、B兩點的切線。 A B 「直線與圓的位置關係」主要是以 圓心到直線的距離 與圓半徑的大小關係來判定。

  13. 點、線、圓 例題2 已知圓O的半徑為10公分，圓心到三條直線L1、L2、L3的距離分別為5公分、10公分、13公分，請問這三條直線與圓O分別有幾個交點？ Sol (1)因為圓心到直線L1的距離為5公分，小於圓O的半徑10公分，所以L1為圓心的割線，故L1與圓O相交於兩點 (相割) 。 (2)因為圓心到直線L2的距離為10公分，恰等於圓O的半徑10公分，所以L2為圓心的切線，故L2與圓O相交於一點 (相切) 。 (3)因為圓心到直線L3的距離為13公分，大於圓O的半徑10公分，所以L3與圓O沒有交點 (相離) 。

  14. 點、線、圓 隨 堂 練 習 1.已知圓O的直徑為10公分，圓心到三直線L1、L2、L3的距離分別為3公分、5公分、7公分，試指出這三條直線與圓O分別有幾個交點？L1、L2、L3三條直線中，哪一條是切線？哪一條是割線？ 因為圓O的直徑為10公分，所以半徑為5公分， ∴L1與圓O有2個交點，L2與圓O有一個交點，L3與圓O沒有交點 ∴L2是圓O的切線，L1是圓O的割線 2.承上題，已知直線M恰好與圓O相交於一點，則圓心O到直線M的距離為多少公分？ ∵直線M與圓O恰好相交於一點，即直線M與圓O相切， ∴圓心O到直線M的距離為半徑5公分。

  15. 點、線、圓 如果以 r表示圓的半徑，d 表示圓心到直線的距離，那麼我們可以將「直線與圓的位置關係」整理成下表： 直線是圓的切線 直線是圓的割線 ＞ ＜ ＝ GSP

  16. 點、線、圓 O 例題3 如右圖，直線L與圓O相切於A點，已知圓O的半徑長為5，OP＝10，試求AP的長度。 Sol P 10 連接OA ∵A為切點 ∴OA＝5 5 且 OA⊥L A L ∴△OAP為直角三角形 根據畢氏定理 OP2＝OA2＋AP2 ∴ AP＝ OP2－OA2 ＝ 102－52 ＝ 75 ＝ 5 3 ＃

  17. 點、線、圓 隨 堂 練 習 O 如右圖，圓O外一點P，通過P點的直線L與圓O相切於A點，已知OP＝13，AP＝12，試求圓O的半徑長。 Sol 連接OA 13 P ∵A為切點 ∴ OA⊥L 12 A ∴OA＝ L 132－122 169－144 ＝ ＝ 25 ＝ 5 ＃

  18. 點、線、圓 O O 弦 當直線與圓相交於兩點時，兩交點間的線段稱為圓的 圓心到此弦的垂直線段叫做此弦的 弦心距 弦心距 你知道嗎？ 此弦心距會恰好平分此弦喔！ 為什麼呢？ 弦 如右圖，AB為圓O上的一弦，且OP為AB的弦心距。 ∵OP⊥AB 連接OA和OB ∴ △OAP和△OBP為兩個直角三角形 根據畢氏定理可知： B A P PB＝ OB2－OP2 PA＝ OA2－OP2 ， ∵OA、OB均為半徑，∴OA＝OB， ∴PA＝PB 「圓心與弦的中點連線必垂直該弦，即為弦心距」。 ∴弦心距OP垂直平分弦AB

  19. 點、線、圓 如右圖，若弦AB的弦心距OP＝3公分，AB＝6 公分，試求圓O的半徑是多少公分？ ×6 O 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 ( )2 32 ＋ 由上面的討論我們得知： 一弦的弦心距垂直平分此弦 例題4 Sol 連接OB ∵OP為弦AB的弦心距， A B P ∴OP垂直平分弦AB AB ∴BP＝ ＝ ＝ 根據畢氏定理： 36 ＝6 ＝ OP2＋BP2 ＝ OB＝ ∴圓O半徑長為6公分 ＃

  20. 點、線、圓 隨 堂 練 習 O 已知AB為圓O上的一弦，若弦AB的弦心距長度為6公分，圓O的半徑長為10公分，則弦AB的長度是多少公分？ Sol ∵OP垂直平分AB 10 6 102－62 AP＝ A B P 100－36 ＝ ＝ 64 8 ＝ ∴ AB ＝ 2AP ＝ 2×8＝16 (公分) ＃

  21. 點、線、圓 O 半徑長為5公分的圓O，其圓上三弦AB、CD、EF的弦心距長度分別為2、3、4公分，則AB、CD、EF三弦的長度分別是多少？ 例題5 A F Sol 如右圖，OP、OQ、OR分別為弦AB、CD、EF的弦心距， R P E B ∴OP垂直平分弦AB， OQ垂直平分弦CD， OR垂直平分弦EF C D Q 根據畢氏定理： 試比較弦AB、弦CD、弦EF的大小？你有什麼發現呢？ 21 PA＝ OA2－OP2 52－22 ＝ ＝ 16 QC＝ QC2－OQ2 52－32 ＝ ＝ ＝4 RE＝ OE2－OR2 52－42 9 ＝3 ＝ ＝ ，EF＝2RE＝6 ∴ AB＝2PA＝2 ，CD＝2QC＝8 21 ＃

  22. 點、線、圓 A F R P E B C D Q O 由例題5我們可以知道： 在半徑相等的圓中，弦心距的長度越短，則其所對應的弦越長。 反過來說， 在半徑相等的圓中，弦若越長，則其所對應的弦心距的長度越 短

  23. 點、線、圓 隨 堂 練 習 半徑長6公分的圓O，其圓上兩弦AB、CD的弦心距長度分別為3、4公分，試問AB、CD哪一條弦比較長？ Sol 因為在同一圓或等圓中，若弦心距長度越短，則其所對應的弦較長，所以弦AB比較長。 O 3㎝ 4㎝ B A GSP C D

  24. 點、線、圓 O1 O2 兩圓的位置關係 GSP 我們已討論過「直線與圓的位置關係」，接下來讓我們來探討「兩個圓的位置關係」。 連心線 我們將連接兩圓圓心的直線稱為 如下圖，直線L為圓O1與圓O2的連心線， 線段O1O2的長度稱為 連心線長 假設兩圓的半徑長分別為r1和r2，且r1＞r2 下圖，兩圓並不相交， 這種不相交的兩圓，其位置關係我們稱為 外離 此時連心線長O1O2 r1＋r2 ＞ r1 r2 L 連心線長

  25. 點、線、圓 O1 r2 O2 如果我們將下圖中的圓O2往左移動，逐漸靠近圓O1，直到兩圓恰好相交一點時， 如下圖 這種位置關係我們稱為 外切 ＝ 此時連心線長O1O2r1＋r2 r1 L

  26. 點、線、圓 O1 O2 如果再將圓O2往左移動，使得圓O2與圓O1相交於兩點，如下圖， 兩圓的交點A和兩圓心O1、O2可形成一個三角形， 根據「三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊」的性質， ＜ 可以推得 連心線長O1O2 r1＋r2 且 連心線長O1O2 r1－r2 ＞ r1－r2＜連心線長O1O2＜r1＋r2 即 A r1 r2 L

  27. 點、線、圓 O1 O2 若再將兩圓繼續往左移動，使得圓O2又與圓O1只相交於一點，如下圖 內切 這種兩圓位置關係我們稱為 此時 連心線長O1O2 r1－r2 ＝ r1 L r2

  28. 點、線、圓 O1 O2 再繼續將圓O2往左移動，使得圓O2在圓O1的內部且兩圓不相交時，如下圖 內離 這種兩圓位置關係我們稱為 此時 連心線長O1O2 r1－r2 ＜ r1 L r2 同心圓 當圓O2與圓O1的圓心重疊時，我們稱這兩圓為 GSP

  29. 點、線、圓 O1 O2 由以上的說明我們可以知道，在判斷「兩圓的位置關係」時， ，再與兩圓半徑的和或差作比較 兩圓的連心線長 可以先計算 便可判斷兩圓的位置關係 設R、r各為圓O1、圓O2的半徑，且R＞r，O1O2的長為兩圓連心線的長 內切 外離 O1O2＝R－r O1O2＞R＋r O1O2＝R＋r O1O2＜R－r 內離 外切 同心圓 O1O2＝0 相交兩點 R－r＜O1O2＜R＋r

  30. 點、線、圓 O1 O2 動動腦 若圓O1與圓O2的半徑相等，我們就稱圓O1與圓O2為兩個等圓，請問上述的五種位置關係，哪些不可能發生在兩個等圓上呢？ 兩個等圓的位置關係不可能有「兩圓內切」和「兩圓內離」的情形

  31. 點、線、圓 34 在坐標平面上，圓O1和圓O2的半徑長分別為8和6，其圓心分別為O1(6,2)和O2(1,5) ，請問圓O1和圓O2的位置關係是外離、外切、相交於兩點、內切還是內離？ 例題6 Sol 連心線長O1O2＝ (6－1)2＋(2－5)2 ＝ 25＋9 ＝ 34 ＜ 8－6 ＜ 8＋6 ∵ 圓O1和圓O2相交於兩點 ∴ ＃

  32. 點、線、圓 在坐標平面上，圓O1和圓O2的半徑長分別為4 和 2 ，其圓心分別為O1(4,12)和O2(－2,6) ，請問圓O1和圓O2的位置關係是外離、外切、相交於兩點、內切還是內離？ 隨 堂 練 習 2 2 2 2 Sol 連心線長O1O2＝ [4－(－2)]2＋(12－6)2 ＝ 36＋36 ＝ 6 72 ＝ 2 ∵ ＋ ＝ 6 2 4 2 圓O1和圓O2外切 ∴ ＃

  33. 點、線、圓 O2 O1 O1 O2 CD為公切線長 AB為公切線長 公切線 同時與兩圓相切的直線稱為此兩圓的 直線L、M都是圓O1和圓O2的公切線 公切線長 其中，連接兩切點的線段長度稱為 M A C B L D

  34. 點、線、圓 O2 O1 在日常生活中，我們可以看到哪一些公切線的例子呢？ 縫紉機的皮帶等等 例如： 腳踏車的鏈條、 汽車風扇的皮帶、 如下圖，若直線L與兩圓分別相切於A、B兩點，已知O1A＝8，O2B＝3，連心線長O1O2＝13，試求公切線長AB＝？ 例題7 L 13 3 B 8 A

  35. 點、線、圓 L 13 3 B 8 A O2 O1 ∴ 公切線長AB＝12 Sol 作O2H⊥O1A於H， 在四邊形HO2BA中， ∵∠HAB＝∠O2BA＝900 H ∴四邊形HO2BA為長方形 ∴O2H＝AB，HA＝O2B 5 O1H＝ O1A－HA＝ O1A－O2B＝ 8－3＝ 在直角三角形O1O2H中， O1O22－O1H2 O2H＝ 132－52 ＝ ＝ 12 ∴ AB＝O2H＝12 ＃

  36. 點、線、圓 隨 堂 練 習 O1 O2 如下圖，若直線L與兩圓分別相切於A、B兩點，O1H//AB且O1H交O2B的延長線於H點，已知O1A＝10，O2B＝5，連心線長O1O2＝25，試求公切線長AB＝？ A 10 25 5 B L H

  37. 點、線、圓 A 10 25 5 B L H O1 O2 Sol ∵O1H//AB 且∠O1AB＝∠ABH＝900 ∴ABHO1為長方形 ∴O1A＝BH，O1H＝AB ∴O2H＝O2B＋BH O1A ＝15 ＝O2B＋ ＝5＋10 在直角三角形O1O2H中， O1H＝ O1O22－O2H2 ＝ 252－152 ＝20 ∴公切線長AB＝20 ＃

  38. 點、線、圓 隨 堂 練 習 O1 O2 請畫出下圖圓O1和圓O2的所有公切線。

  39. 點、線、圓 O1 O2 6.連接AB、CD，則AB、CD即為所求之外公切線 A 兩圓之外公切線 P B Q D C 作法： 1.設圓O1與圓O2的半徑分別為R、r且R＞r 2.連接連心線O1O2，並以O1O2為直徑畫圓 3.以O1為圓心，R－r為半徑畫圓，分別交前圓於P、Q兩點 4.連接O1P、O1Q，並延長分別交圓O1於A、C 5.作O2B//O1A，O2D//O1C，且分別交圓O2於B、D ＃

  40. 點、線、圓 O1 O2 6.連接AB、CD，則AB、CD即為所求之內公切線 兩圓之內公切線 P D A C B 作法： Q 1.設圓O1與圓O2的半徑分別為R、r且R＞r 2.連接連心線O1O2，並以O1O2為直徑畫圓 3.以O2為圓心，R＋r為半徑畫圓，分別交前圓於P、Q兩點 4.連接O2P、O2Q，分別交圓O2於A、C 5.作O1B//O2A，O1D//O2C，且分別交圓O1於B、D ＃

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