Induktionsbevis

1. Induktionsbevis AM 2010

2. INDUKTION – generalisering ud fra specialtilfælde Eks. I Fremskrivningsformlen ved en fast vækstrate r pr. trin. Startværdi = b Værdi efter n fremskrivninger = Kn K1 = b + r  b = (1 + r)  b Man fremskriver ved at gange med (1 + r) K2 = (1 + r)  K1 = (1 + r)  (1 + r)  b = (1 + r) 2  b K3 = (1 + r)  K2 = (1 + r)  (1 + r) 2  b = (1 + r) 3 b Generalisering: Kn = (1 + r) n b ...... tror vi da Eks. II 2  2 = 2 + 2 = 22 Generalisering: addition, multiplikation og potensopløftning er samme operation. .... nej, vel

3. Sætning Lad Pn, nN være et udsagn, så gælder: P1er sand  (Pn  Pn+1,  nN)  Pn er sand  nN ”Oversat”: HVIS en påstand gælder på 1. trin OG HVIS påstanden gælder på trin n, så kan man vise, at det også gælder på næste trin (n+1) SÅ gælder påstanden for alle naturlige tal n

4. Trin n+1 Trin n Trin 1

5. Trin n+2 Trin n+1 Trin n Trin 2 Trin 1

6. Bevismetoden INDUKTION • Vis, at sætningen gælder for n = 1 • Antag, at sætningen gælder for n og vis, så, at den dermed også gælder for n+1

7. Sætning: Kn= K0 (1+r)n K1= K0+rK0 = K0  (1 + r) = K0  (1 + r)1  • n=1: Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 • Antagat Kn= K0(1+r)ner sandt for et trin n Kn+1= Kn (1 + r) = K0(1+r)n  (1 + r) Potensregel P1  = K0(1+r)n+1 dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle nN

8. Sætning: (xn)’ = n  xn-1 (x1)’ = 1  x1-1  (x)’ = 1 x0  (x)’ = 1  • n=1: Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 • Antagat (xn)’ = n  xn-1er sandt for et trin n (x  xn)’  Produktreglen (xn+1)’ = = 1 xn + x  n  xn-1   (1+ n)xn = = 1xn + nxn=  (n + 1)xn dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle nN for aR Man kan med en anden metode vise, at(xa)’ = axa-1