Ⅱ. 식의 계산

1. Ⅱ. 식의 계산 1. 다항식의 곱셈 1. 다항식의 곱셈 2. 곱셈 공식 3. 곱셈 공식의 활용

2. 곱셈 공식의 활용 3. 곱셈 공식의 활용 (53∼57쪽) 학습목표 ★ 곱셈 공식을 이용하여 식을 전개 할 수 있다. ★ 곱셈 공식을 활용하여 수 계산을 간편하게 할 수 있다. ★ 곱셈 공식을 활용하여 분모의 유리화를 할 수 있다.

3. 2 2 = a + 2ab +b 2 2 = a - 2ab +b 곱셈 공식의 활용 ♣ 곱셈 공식 1. 곱셈 공식[1] (합의 제곱) (a＋b)² (차의 제곱) 2. 곱셈 공식[2] (a-b)² [참고] (a＋b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

4. = a -b = x +(a+b)x+ab 2 2 2 = acx +(ad+bc)x+bd 2 곱셈 공식의 활용 3. 곱셈 공식[3] (합과 차의 곱) (a＋b)(a-b) 4. 곱셈 공식[4] (x＋a)(x+b) 5. 곱셈 공식[5] (ax＋b)(cx+d)

5. 2 2 = a + 2ab +b 곱셈 공식의 활용 3. 곱셈 공식의 활용 ※ 곱셈 공식을 이용하여 여러 가지 문제를 해결 1. 수의 계산에 활용 1) 곱셈 공식[1]의 활용 (a＋b)²

6. 2 2 101 = (100+1) 2 2 = 100 +2×100×1+1 2 2 ( 2+1) 2 2 2 2 = ( 2) +2× ×1+1 = 2+2 +1 = 3+2 곱셈 공식의 활용 [예] = 10000 +200+1 = 10201

7. 2 ( - ) 2 98 2 = (100-2) 2 2 = 100 -2×100×2+2 3 6 2 3 2 6 2 2 + ( 2) 2 2 = a - 2ab +b = ( 3) -2× × =5-2 =3-2 +2 곱셈 공식의 활용 2) 곱셈 공식[2]의 활용 (a-b)² [예] = 10000 -400+4 = 9604

8. = a -b 2 2 (2+ )(2- ) 2 2 = 2 -( ) 2 2 = 100 -2 3 3 3 곱셈 공식의 활용 3) 곱셈 공식[3]의 활용 (a＋b)(a-b) [예] 102×98 = (100+2)(100-2) = 4 -3 = 10000 -4 = 1 = 9996

9. 곱셈 공식의 활용 [예제 1] 곱셈 공식을 이용하여 다음을 계산하여라.(1) 103² (2) 54×46 [풀이](1) 103² = (100+3)² = 100²+2×100×3＋3² = 10609 = 10000+600＋9 [풀이](2) 54×46 = 50²－4² = (50＋4)(50-4) = 2500－16 = 2484

10. [예제 2] 곱셈 공식을 이용하여 다음을계산하여라.(1) ( -5)² (2) (5 + )(5 - ) [풀이](1) ( -5)² = ( )²-2× ×5+5² = 3-10 +25 = 28-10 2 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 = (5 )²-( )² [풀이](2) (5 + )(5 - ) 곱셈 공식의 활용 = 50-3 = 47

11. 곱셈 공식의 활용 2. 분모의 유리화 분수의 분모에 무리수가 있을 때,분모와 분자에 같은 수를 곱하여분모를 유리수로 고치는 것 ♡ 곱셈 공식 (a＋b)(a－b) = a²－b² 을 이용하여 분모의 무리수를 유리수 로 만든다.

12. [예] 다음 분수의 분모를 유리화하여라. (1) (2) 1 1 3＋ 2 3＋ 2 3－ 2 3－ 2 2＋ 3 2＋ 3 1 = = (2＋ 3) (2- 3) (2- 3) (2- 3) 2 2 -3 = 2- 3 ( 3＋ 2) ( 3＋ 2) ( 3＋ 2) ( 3＋ 2) = ( 3－ 2) 2 = = 5＋2 6 곱셈 공식의 활용 3-2

13. [예제 3] 의 분모를 유리화하여라. 4 8 +8 4 4 (2+ 2) (2+ 2) 2- 2 2- 2 = = (2- 2) 2 2 2 2 2 = 4 +4 곱셈 공식의 활용 [풀이] 2²-2

14. 곱셈 공식의 활용 [예제 4] 연속하는 두 자연수의 제곱의 차는 그 두 자연수의 합과 같음을증명하여라. 연속하는 두 자연수를 각각n,n+1로 놓으면 [풀이] 두 자연수의 제곱의 차 : (n+1)²-n² = n²+2n+1-n² = 2n+1 두 자연수의 합 : (n+1)+n = 2n+1 따라서, 연속하는 두 자연수의 제곱의 차는 그 두 자연수의 합과 같다.

15. 곱셈 공식의 활용 ♧ 다음 식을 계산하여 ( )안에 알맞은 수를 써 넣어라. 2²-1² = ( ) 3 연속하는 두자연수의 제곱의 차는 그 두자연수의 합과같다. 3²-2² = ( ) 5 4²-3² = ( ) 7 5²-4² = ( ) 9 … 99²-98² = ( ) 197 … (n+1)²-n² = ( ) 2n+1

16. 곱셈 공식의 활용 ※ 식의 일부를 치환하여 다항식의 곱셈을 할 수 있다. 3. 복잡한 식의 전개 1) 공통 부분이 있는 꼴 (1) 공통 부분을 하나의 문자로 치환 한다. (2) 곱셈 공식을 이용하여 전개한다. (3) 원래의 식에 대입하여 정리한다.

17. 곱셈 공식의 활용 [예] (x＋y＋3)(x＋y－3)를 전개하여라. [풀이] (x＋y＋3)(x＋y－3) x＋y=A로 놓으면 = (A＋3)(A－3) = A²－3² A=x＋y로 대입 = (x＋y)²－ 3² = x²＋2xy＋y²－9

18. [예] 을 전개하여라. ( + -1) ( + +1) ( + -1) ( + +1) 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 6 6 3 2 3 2 = A로 놓으면 + + + A = 를 대입하면 = ( )²-1 = 3+2 +2-1 = 4+2 곱셈 공식의 활용 [풀이] = (A+1)(A-1) = A²-1²

19. [예제 5] 다음 식을 전개하여라.(1) (x＋y-2)(x＋y+2)(2) ( - -5) ( + +5) 3 2 3 2 곱셈 공식의 활용 [풀이](1) (x＋y-2)(x＋y+2) x＋y=A로 놓으면 = (A＋2)(A－2) = A²－2² A=x＋y로 대입 = (x＋y)²－ 2² = x²＋2xy＋y²－4

20. [예제 5] 다음 식을 전개하여라.(1) (x＋y-2)(x＋y+2)(2) ( - -5) ( - -5) ( + +5) ( + +5) 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 = A로 놓으면 +5 +5 = ( +A)( -A) A = 를 대입하면 +5 = 3-(2+10 +25) = -24-10 2 2 곱셈 공식의 활용 [풀이](2) = 3-A² = 3-( )²

21. 곱셈 공식의 활용 2) 4개의 일차식 곱의 꼴 (1) 공통 부분이 생기도록 두 개씩 조를 정한다. (2) 공통 부분을 치환하여 전개 한다.

22. 곱셈 공식의 활용 [예] (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)를 전개하여라. [풀이] (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) 두 개씩 묶어서 조를 정한다. (x+2)(x+3) (x-1)(x+6), x²＋5x=A로 놓으면 = (x²＋5x-6)(x²+5x+6) = (A-6)(A+6) = A²－6² A= x²＋5x로 대입 = (x²+5x)²－ 6² = x⁴＋10x³＋25x²－36

23. 1 1 1 = (x+ )²－2 = (x- )²+2 4) x²＋ x² x x 곱셈 공식의 활용 4. 식의 변형 1) a²＋b² = (a＋b)²－2ab = (a－b)²＋2ab 2) (a＋b)² = (a－b)²＋4ab = (a＋b)²－4ab 3) (a－b)²

24. ♧ x+y=2 , xy=-9일 때,x²-xy+y²값을 구하여라. 3 3 = (2 )²-3(-9) 곱셈 공식의 활용 [예] [풀이] x²-xy+y² = (x+y)²-3xy = 12+27 = 39

25. 곱셈 공식의 활용 [예] ♧ x+y=7, xy=12일 때,x-y값을 구하여라. [풀이] (x-y)² = (x+y)² -4xy = 7² -4(12) = 49 -48 = 1 ∴ (x-y) = ±1

26. ♧ x+ = 4일 때, x²+ 의 값 을 구하여라. (x+ )² x²＋ +2 = 16 1 1 1 x²＋ 1 1 x² x² x² x x 곱셈 공식의 활용 [예] [풀이] = 16 = 14