親の仕送り問題

親の仕送り問題 ＜マルコフ決定過程＞

問題設定 • 春から下宿生活をすることになったK君。 • ４月から親の仕送りを受ける。 • 収入・支出のデータをもとに、できるだけ親の負担の少ない仕送り計画を設定する。

収入例　：　仕送り、バイト代、奨学金　etc • 支出例　：　生活費、家賃、授業料　etc 授業料の支払い以外を確率的に変動するものとみなす。 • 学生ローン：　金利　１００ｒL％/週　　　　　　　　　上限　１０万円 c(x,y) : 学生ローンの金利負担分

第ｔ月の月初めの預金残高（Xt）に応じて　その月の仕送り額（Yt）を決定し、第ｔ月の月初めの預金残高（Xt）に応じて　その月の仕送り額（Yt）を決定し、　第１週末までに送ってもらう。 →Xt所与のもとで、Ytの確率分布が示される（マルコフ決定過程）。

授業料をふくめた家計負担の期待値（５．１２）授業料をふくめた家計負担の期待値（５．１２） Σ［ E { Yt} / （１＋ｒ）4t-3 + E { ｃ（Xt、Yt）} / （１＋ｒ）4t-3］＋２００，０００ / （１＋ｒ）　＋…

線形計画問題　　（５．１３） • 最小化　 Σ［ E {Yt}/ （１＋ｒ）4t-3 ＋　E { ｃ（Xt、Yt）} / （１＋ｒ）4t-3　］ • 条件 Yt　；　Xt　所与のもとである確率分布　　　　　　　として与えられる

β＝（１＋ｒ）-4 • cij = yj+ c( xi, yj) • zij =Σ(1+ r )³・βｔ・P { Xt= xi, Yt= yj} • Pijk = P { Xt+1= xk| Xt= xi, Yt= yj} 1ij{ Xt,Yt} = 1, Xt= xi, Yt= yjのとき 0, それ以外　　　 ∞ ｔ＝１

(目的関数の変形) = ΣΣΣ（１＋ｒ）³・βt・cij ・ P { Xt= xi,Yt = yj } =ΣΣcij・　zij (5.15)

Σzkj = Σ Σ(1+r) ³・βt・P { X t= xk, Y t= yj } ＝Σ Σ・β・Pijk・ z ij+ (1+r) ・ P{ X 1= xk} 　よって　　 Σz kjー ΣΣβ・P ijk・ zij（５．１７） = (1+r) ,xk= 0 のとき　（ｋI） 0 　　　　それ以外

線形計画問題（５．１８） • 最小化 Σ Σ cij・ zij • 条件 Σ zkjー Σ Σ β・ Pijk・ zij = (1+r) ,xk= 0 のとき ( k  I) 0 　　　　それ以外 zij0, jJi, II 　⇒最適解｛zij*|jJi, iI｝

定理 • 実行可能基底解の中から最適解が選ばれる  問題（５．１８）の最適解は、定常かつ純粋な仕送り計画　Yt=F*(Xt)　に対応。

Yt=F*(Xt)のもとでの　{Xt｜ｔ１}の ①推移確率 Piｋ*=P{Xt+1=ｘk|Xt=xi,Yt=F*(xi)} 　②状態確率 πi*(t)=P{Xt=ｘi} 　 →πk*(t+I)=Σπi*(t)・Pik*（５．２０）

t→∞ πk*=Σπi*・Pik*,kI Σπi*=1　　　　　　　　　　　　　　　（５．２１） iI

Yt=F*(Xt)のもとでの　{Yt｜ｔ１}の 状態確率 ρj*(t)=P{F*(Xt)=yj}=P{XtF*-1(yj)}　（５．１９）仕送り額の定常分布｛ ρj*｝は（５．２１）より ρｊ*=Σπi*（５．２２） ( Aj*={iI|xiF*-1(yj) ) iAj*

問題の最適解

親の仕送り問題

親の仕送り問題

Presentation Transcript