Логика

1. Логика Известная старинная задача: Крестьянину нужно перевести через реку волка, козла и капусту . Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться только один. Но, если оставить волка с козлом, то волк его съест, если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину? 

2. Переправу нужно начать с перевозки козла . Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла . Здесь он его оставляет и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла. 

3. А́лгебра - раздел математики, который развивает общую теорию алгебраических операций и является обобщением и расширением арифметики. • Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр» — • восполнение, воссоединение, связь, завершение; • часть названия трактата аль-Хорезми «аль-Китаб аль-Джебр валь-Мукабала» (араб. كتاب الجبر والمقابلة‎‎, • англ. Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala) • перев. «Книга о восполнении и противопоставлении») • В этом трактате содержатся общие приёмы для решения задач, сводящихся к алгебраическим уравнениям I и II степеней. • При этом, для приведения квадратного уравнения общего вида к каноническому виду аль-Хорезми вводит два действия: • аль-джебр - перенесение отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов; • валь-мукабала — приведение подобных членов в обеих частях уравнения. • Предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями.

4. Алгебра - изучение алгебраических операций числа логические величины Обычная алгебра Булева алгебра Джорж Буль 1854г алгебра логики Простое высказывание Логические значения: истина - И - 1 - T (true) ложь - Л - 0 - F (false) – nil(пусто)

5. George Boole (1815-1864) 1854 г.: Булева алгебра - раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание

6. Отрицание НЕ Конъюнкция (логическое умножение) И • Дизъюнкция (логическое сложение) ИЛИ + Импликация Если x, то y Эквиваленция: (x тогда и только тогда, когда y) x y x (x) xy (xy) xy (x y) xy xy 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 сложное (составное) высказывание:НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ … ТО

7. ПРИМЕНЕНИЕ Переключательная схема Электронные схемы ИЛИ И Диаграммы Венна (алгебра множеств) A B

8. Логические операции XOR – сложение по модулю 2 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 1 1=0 (исключающее ИЛИ, неэквивалентность)

9. Варианты обозначения основных логических операций: Варианты обозначения логических значений:

10. законы алгебры логики: Коммутативность xy = yx Конъюнкции xy = yx Дизъюнкции Ассоциативность x( yz) = ( xy) z Конъюнкции x(yz)= (xy)zДизъюнкции Дистрибутивность x( yz) = ( xy)  ( xz) Конъюн. от-но дизъюнк. x ( yz) = ( xy)  ( xz) Дизъюн. от-но конъюнк.

11. Аксиомы алгебры логики • Идемпотентность • x  x…xx = x Конъюнкции • x  x…xx = x Дизъюнкции • Инволютивность • x = x Снятие двойного отрицания • Дополнительность • xx= F Закон противоречия • xx= Т Закон исключенного третьего • Свойства констант x  T = T xF = x xF = FxT = x

12. Законы де-Моргана • ( xy) = xy • (xy) = x y • Законы Блейка-Порецкого • x  ( xy) = x y x  ( xy) = x y • Законы поглощения x ( yx) = x Конъюнкции дизъюнкцией x(yx) = xДизъюнкции конъюнкцией Законы склеивания ( xy) (xy) = y ( xy) (xy) = y x=>y = xyИмпликация через дизъюнкцию x<=>y = (x=>y)  (y=>x) Эквиваленция через импликацию

13. Часть законов проверяется через таблицы истинности, например, закон де-Моргана для дизъюнкции:( AB) = AB Другие проверяются прямым вычиcлением, при этом удобно перейти к “арифметическому” набору обозначения логических операций: + * ~ Проверим закон склеивания для дизъюнкции: ( xy) (xy) = (x+y)(~x+y)=x~x+y~x+xy+yy= =0+y(~x+x)+y=y*1+y=y

14. Диаграммы Венна (алгебра множеств) ( AB) = AB A B A B

15. Обобщенные унарные и бинарные логические операции (функции)

18. Алгебра логики послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. • Она легко преобразуется в битовую логику: • истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция • приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; <=> — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); | — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).

19. x y xy 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Штрих Шеффера: xy = (x y) x = xx xy = (xy)  (xy) Аналогично можно рассматривать стрелку Пирса (x,y)= (xy)