1 / 16

Harjoitustehtävät

Harjoitustehtävät. Mereologia ja sen soveltaminen Laskuharjoitus 1 M. Keinänen. Tehtävät. HT1: P3. ¬(x « x) (irrefleksiivisyys) seuraa alla olevista PA1. x « y → ¬ ( y « x) (asymmetrisyys) PA2. ((x « y) Λ (y « z)) → ( x « z) (transitiivisuus)

oistin
Download Presentation

Harjoitustehtävät

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Harjoitustehtävät Mereologia ja sen soveltaminen Laskuharjoitus 1 M. Keinänen

  2. Tehtävät • HT1: P3. ¬(x « x) (irrefleksiivisyys) seuraa alla olevista PA1. x « y → ¬ (y « x) (asymmetrisyys) PA2. ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z) (transitiivisuus) • HT2: olla osa-relaatio toteuttaa seuraavat ehdot (x < x) (refleksiivisyys) ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z) (transitiivisuus) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) (antisymmetrisyys) • HT3: heikko täydennysperiaate seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta, jos oletetaan perusmereologia. • HT4: P13 seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta.

  3. HT1 • x « y → ¬ (y « x) • ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z) x(x « x) Oletus 2. (a « a) ES 1 a/x 3. x y((x « y) → ¬ (y « x)) AKS. 4. (a « a) → ¬ (a « a) US 3 a/x, a/y 5. ¬ (a « a) MP 2,4, RR 6. x ¬(x « x) ¬oletus

  4. HT2 • HT2: olla osa-relaatio ”<” toteuttaa seuraavat ehdot: A) (x < x) (refleksiivisyys) B) ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z) (transitiivisuus) C) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) (antisymmetrisyys) • Osoitetaan että ((x « y) ν (x = y)) toteuttaa nämä ehdot. • A) 1. x(x = x) Id aks. 2. (x = x) US 1 x/x 3. ((x « x) ν (x = x)) taut, MP 2 4. (x < x) MÄÄR. 5. x(x < x) UG. 4

  5. HT2 • B) transitiivisuus • ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z)) AKS. US x/x y/y z/z • ((x < y) Λ (y < z)) Premissi 3 . ((x « y) ν (x = y)) Λ ((y « z) ν (y = z)) 2, MÄÄR. 4. ((x « y)Λ(y « z))ν((x « y)Λ(y = z))ν((x = y) Λ(y « z)) ν ((x = y)Λ (y = z)) Taut. MP 5. (x « z) ν (x « z) ν (x « z) ν (x = z) 4, AKS, ID, Lausel 6. (x < z) 5, lausel. MÄÄR 7. ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z)) CP 5,6, MÄÄR. 8. xy ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z)) UG 7.

  6. HT2 C) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) • ((x < y) Λ (y < x)) prem. • ((x « y) → ¬(y « x)) AKS. US x/x, y/y • 2A. ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z) AKS. US x/x, y/y 3. ((x « y) ν (x = y)) Λ ((y « x) ν (y = x)) 1, MÄÄR 4. ((x « y) Λ (y « x)) ν ((x « y) Λ (y = x)) ν ((x = y) Λ (y « x)) ν ((x =y) Λ (y = x)) 3, lauselogiikka 5. (x « x) ν (x « x) ν (x « x) ν (x = y) 2A, 4, ID, lauselogiikka Eliminoidaan 2:n kanssa ristiriidassa olevat disjunktit ja saadaan (x = y).

  7. HT3 • HT3: heikko täydennysperiaate seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta, jos oletetaan perusmereologia. • x « y → (z)((z « y) Λ¬ (z ○ x)) • ¬(x < y) → (z)((z < x) Λ¬ (z ○ y)) Todistuksen perusidea • 1. x « y oletus • 2. ¬ (y < x) (prem. 1 seuraus) • 3. (z)((z < y) Λ¬ (z ○ x)) (VTP, 2)

  8. HT3 xy (¬(x < y) → (z)((z < x) Λ¬ (z ○ y))) SSP ├ xy((x« y) → (z)((z « y) Λ¬ (z ○ x))) WSP 1. xy (¬(x < y) → (z)((z < x) Λ¬ (z ○ y)) PR1 2. x « y apupremissi PR2 3. (y < x) ↔ ((y « x) ν (y = x)) US x/x, y/y MÄÄR. 4. xy ((x « y) → ¬(y < x)) Lemma 5. ¬(x « x) US Teor. x/x 6. ¬(x = y) MP 2,5, lausel. 7. x « y → ¬(y « x) US AKS. x/x, y/y 8. ¬(x = y) Λ ¬(y « x) MP t., 2,6,7 8A. ¬(y < x) 3, lauselogiikka 8B. (x « y) → ¬(y < x) CP 2,…8A Lemma 4 todistettu

  9. HT3 9. ¬(y < x) → (z)((z < y) Λ¬ (z ○ x)) US 1 x/x,y/y 10. x « y → (z)((z < y) Λ¬ (z ○ x)) 8B, 9 11. (z)((z < y) Λ¬ (z ○ x)) MP 2,4,10 12. (t < y) Λ¬ (t ○ x)) ES. t = txy 13. ((t « y) ν (t = y)) Λ¬ (t ○ x)) MÄÄR. 12 13A.((t « y) Λ¬ (t ○ x))ν ((t = y) Λ ¬ (t ○ x)) Lauselogiikka 13 14. ((t = y) Λ¬ (t ○ x)) apuoletus 15. ¬ (y ○ x) IK, 14 16.(x < x) teoreema, US 17.(x < y) 2, MÄÄR, MP 18. (x < y) Λ (x < x)) 16,17 19. w((w < y) Λ (w < x)) EG. 18(uusi muuttuja) 20. (y ○ x) 19, MÄÄR

  10. HT3 • 20A. ¬ (y ○ x) Λ(y ○ x) RR 21. (t « y) Λ¬ (t ○ x) 13 22. (z)((z « y) Λ¬ (z ○ x)) EG. 22, z 23. (x« y) → (z)((z « y) Λ¬ (z ○ x)) CP. 2…23 x y((x« y) → (z)((z « y) Λ¬ (z ○ x))) UG. 23

  11. HT4 • Väite: x y (¬ (x < y) → (z)((z < x) Λ¬ (z ○ x))) • ├ (z)((z « x) Λx y (z((z « x) → (z « y)) → (x < y))) • Todistetaan: • ├ (z)((z « x)) Λx y (¬ (x < y) → (w)((w « x) Λ¬ (w « y)) • Todistuksen perusidea • (z)((z « x)) Λ¬ (x < y) premissi • (z)((z < x) Λ¬ (z ○ x)) SSP • (¬ (x ○ y) Λ(z « x)) → ¬ (z « y) MÄÄR. • ¬ (x ○ y) → (z)((z « x) Λ¬ (z « y)) • (x ○ y) Λ ¬ (z ○ y) → ¬ (z = x) MÄÄR. • ((x ○ y) Λ (z < x) Λ¬ (z ○ y)) → ((z « x) Λ¬ (z « y)) • ((x ○ y) Λ (z < x)) → (z)((z « x) Λ¬ (z « y)) • ((x ○ y) ν (¬ (z ○ y)) • (z)((z « x) Λ¬ (z « y))

  12. HT4 A1. (z)((z « x)) Λ¬ (x < y) premissi A2. ¬ (x < y) → (z)((z < x) Λ¬ (z ○ y)) premissi, US x/x, y/y • ¬ (x ○ y) ↔ z ¬ ((z < x) Λ (z < y)) MÄÄR. Kvant. • ¬ (x ○ y) APUPREM. • (a « x) ES A1 a/y, a=axyz • ¬ ((a < x) Λ (a < y)) MP, US 1,2 a/z • (a < x) → ¬ (a < y) MP, Lausel. 4 • (a « x) → ¬ (a « y) MÄÄR., Lausel. 5 9. (a « x) Λ¬ (a « y) 3, 6 10. (w((w « x) Λ¬ (w « y)) EG 9 (uusi var.) 10A. ¬(x ○ y) → (w((w « x) Λ¬ (w « y)) CP

  13. HT4 • 11A. (x ○ y) APUPR. • 11B. ¬ (x < y) → ((a < x) Λ¬ (a ○ y)) ES A2. a/z • 11C. ((a < x) Λ¬ (a ○ y)) A1, 11B MP 12. ((x ○ y) Λ ¬ (a ○ y)) → ¬ (a = x) id. lausel. 13. (¬ (a = x) Λ (a < x)) → (a « x) Määr. < 14. ¬ (a ○ y) 11C 15. ¬ (a ○ y) ↔ v¬ ((v < a) Λ (v < y)) • 16. ¬ ((a < a) Λ (a < y)) US 15 a/v 17. ¬ (a < y) 18. ¬ (a « y) 17 MÄÄR. 19.((x ○ y) Λ (a < x) Λ¬ (a ○ y)) → ((a « x) Λ¬ (a « y)) 12, 13,18 21. (x ○ y) → ((a « x) Λ¬ (a « y)) 11…,20, CP

  14. HT4 22.(x ○ y) → (w)((w « x) Λ¬ (w « y)) EGEN 21 23. ((x ○ y) ν¬ (x ○ y) Taut. 24. (w)((w « x) Λ¬ (w « y)) 11A,22 • 25. (z)((z « x)) Λ¬ (x < y) → (w)((w « x) Λ¬ (w « y)) • 26. x y (z ((z « x)) Λ¬ (x < y) → (w)((w « x) Λ¬ (w « y))) UG 25

  15. HT5 P13. xy (z (z « x) → (z)((z « x) → (z « y)) → (x < y))) ├ xy((z(z « x) → (z)((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y))) • (z)(z « x) → (z((z « u) → (z « v)) → (u < v))) US u/x, v/y, PR1 1A. (z)(z « x) → (z((z « v) → (z « u)) → (v < u))) US v/x, u/y, PR1 • (a « u) → (z ((z « u) → (z « v)) → (u < v))) ES a/z, a= axy 2A. (a « u) → (z ((z « v) → (z « u)) → (v < u))) ES a/z, a=axy 3. (a « u) Apupremissi, 4.((t « u) → (t « v)) → (u < v)) MP, US t/z 2, 3 5.((t « v) → (t « u)) → (v < u)) MP, US t/z 2A, 3 6. ((t « u) ↔ (t « v)) → ((u < v) Λ (v < u)) 4,5, lauselogiikka 7. ((t « u) ↔ (t « v)) → (u = v) 6, teoreema < 8. Käänteinen: identiteetin korvattavuus 9. ((t « u) ↔ (t « v)) ↔ (u = v) 7,8

  16. HT5 10. (z)((z « u) ↔ (z « y)) ↔ (x = y) UG9 z/t 11. z((z « u) → (z)(((z « u) ↔ (z « u)) ↔ (u = v)))) Apup. EG 12. xyz((z « x) → (z (((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y)))) UG u/x, v/y P14. (z)((z « x) ν (z « y)) → ((z)((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y))

More Related