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Minimizzazione

Minimizzazione. Mappe di Karnaugh. Tale tecnica di minimizzazione è basata sull’idea che la somma di due prodotti di letterali può essere sostituita da un singolo prodotto se i due prodotti iniziali differiscono per un solo letterale. Mappe di Karnaugh.

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Presentation Transcript

  1. Minimizzazione

  2. Mappe di Karnaugh Tale tecnica di minimizzazione è basata sull’idea che la somma di due prodotti di letterali può essere sostituita da un singolo prodotto se i due prodotti iniziali differiscono per un solo letterale.

  3. Mappe di Karnaugh • partiamo dalla forma canonica disgiuntiva e introduciamo apposite tabelle con 2n celle yx z 00 01 11 10 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 se il mintermine fa parte della f.n.d.

  4. Mappe di Karnaugh • raggruppiamo gli uno che stanno in celle adiacenti (adiacenti significa anche sopra e sotto o destra e sinistra e quelle poste ai lati opposti della mappa) yx z 00 01 11 10 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 in gruppi di singoletti, coppie, quadruple…. potenze di 2

  5. Mappe di Karnaugh • i gruppi sono determinati in modo euristico (cioè basato su osservazioni ed esperienza anziché su una teoria) yx z 00 01 11 10 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 i blocchi ottenuti sono i mintermini che cerchiamo

  6. Mappe di Karnaugh • non è possibile applicare il metodo a funzioni con più di 4 variabili in maniera semplice cerchiamo un altro modo per poter minimizzare funzioni con più variabili mappe di Karnaugh: metodo grafico

  7. Metodo di Quine - McCluskey • non è grafico • determino gli implicanti primi (vedremo cosa sono) • cerco il ricoprimento minimo di tali implicanti

  8. implicanti x y z f(x, y, z) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 f implica f una funzione di n variabili f rico-pre un'altra funzione g (f > g) se f vale 1dove anche g vale 1 (ma non il vice versa) un prodotto p di m variabili (m < n) di f è un implicante per f se f > p

  9. implicanti x y z f(x, y, z) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 infatti y  z vale 1 un implicante p è primo per f se l'eliminazione di un letterale di p dà luogo ad un prodotto p' tale che f > p' x  y  z e ~x  y  z non sono primi: se elimino x e ~x ottengo ancora 1 è un implicante primo

  10. implicanti x y z v w 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 sono tutti i mintermini della forma canonica congiuntiva sono ordinati per peso: numero di 1 nella riga e peso delle variabili w è quella che pesa di meno

  11. implicanti x y z v w 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 due "coppie" sono unificabili se differiscono per un solo simbolo confronto il primo con tutti gli altri, poi il secondo e cosi via... creo una nuova tabella

  12. implicanti x y z v w 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 non unifica con nessuna per ora la ignoriamo

  13. implicanti x y z v w 1 0 0 - 0 1 0 - 0 0 1 0 - 1 0 1 0 1 - 0 1 0 1 1 - 1 1 0 - 1 1 - 1 1 1 1 1 - 1 1 x y z v w 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 A K B C D E F G H

  14. implicanti: diamo dei nomi alle righe x y z v w 1 0 0 - 0 1 0 - 0 0 1 0 - 1 0 1 0 1 - 0 1 0 1 1 - 1 1 0 - 1 1 - 1 1 1 1 1 - 1 1 x y z v w 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 A B C D E F G H AB AC BD CD DF EG FH GH

  15. implicanti: proseguiamo…. x y z v w 1 0 0 - 0 1 0 - 0 0 1 0 - 1 0 1 0 1 - 0 1 0 1 1 - 1 1 0 - 1 1 - 1 1 1 1 1 - 1 1 x y z v w 1 0 - - 0 ABCD AB combina con CD AC combina con DB AB AC BD CD DF EG FH GH

  16. quali sono gli implicanti primi • gli implicanti primi sono quelli che non sono stati fusi con altri: • K • DF • EG • FH • GH • ABCD

  17. Selezione degli implicanti primi K A B C D E F G H K X DF X X EG X X FH X X GH X X ABCD X X X X indica che l'implicante primo DF copre D

  18. Selezione degli implicanti primi • trovare un insieme di righe di cardinalità minima tale che, per ogni colonna della tabella, vi sia almeno una riga che abbia una X in quella colonna • Due tecniche: • Dominanza • Essenzialità

  19. Dominanza • Una riga i domina una riga j se i possiede X in tutte le posizioni di j

  20. Essenzialità • Una riga i è essenziale se è l'unica ad avere una X in una certa posizione • Possiamo eliminare le righe essenziali e le relative colonne

  21. Selezione degli implicanti primi K A B C D E F G H K X DF X X EG X X FH X X GH X X ABCD X X X X eliminiamo le righe e le colonne

  22. Selezione degli implicanti primi K A B C D E F G H K X DF X X EG X X FH X X GH X X ABCD X X X X rimangono tre righe e due colonne

  23. Selezione degli implicanti primi K A B C D E F G H K X DF X X EG X X FH X X GH X X ABCD X X X X FH domina GH e DF

  24. Risultato finale • La forma minima è data da K  EG  ABCD  FH cioè (~x  ~y  ~z  v  w)  (x  y  ~z  w)  (x  ~y  w)  (x  z  v  w)

  25. Considerazioni conclusive sulla minimizzazione • Osserviamo che siamo partiti dai letterali • potrebbero esserci forme più compatte • La minimizzazione è molto costosa e non sempre si riesce ad ottenere la forma minima

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