应力应变分析

1. 上篇 应力应变分析

2. 第一章 应力分析 • 主要内容： • 1. 应力分量、应力张量概念 • 2. 斜截面应力公式 • 3. 平衡微分方程 • 4. 应力边界条件 • 5. 应力分量坐标变换 • 6. 主应力，最大剪应力，Mohr应力圆 • 7. 偏应力张量，等效应力，主应力空间

3. z O y x §1-1 应力矢量 一、外力概念 （材力：集中力、分布力。） 体力、面力 (1) 体力 —— 物体内单位体积上所受的外力 —— 体力分布集度 （矢量） X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 单位： N/m3 kN/m3 (1) F 是坐标的连续分布函数； 说明： (2) F 的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。

4. z (3) 的正负号由坐标方向确定。 O y x (2) 面力 —— 作用于物体表面单位面积上的外力 —— 面力分布集度（矢量） —— 面力矢量在坐标轴上投影 单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕) (1) F 是坐标的连续分布函数； (2) F 的加载方式是任意的; 说明：

5. ΔF n (法线) ΔA 二、应力矢量 (1) 一点应力的概念 (1) 物体内部分子或原子间的相互作用力; (不考虑) 内力 (2) 由于外力作用引起的相互作用力. P (1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力 (2) 应力矢量. 的极限方向 由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度

6. 应力的法向分量 —— 正应力 应力分量 应力的切向分量 —— 剪应力 MPa (兆帕) 单位: 应力关于坐标连续分布的 应力分量沿坐标轴的分量： 用 表示坐标轴单位矢量 重要公式

7. (2) 一点的应力状态 通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： y面的应力： z面的应力：

8. z O y x 用矩阵表示： 应力符号的意义： 第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向； 第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。

9. z O y x

10. y x z O y x 与材力中剪应力τ正负号规定的区别： 规定使得单元体顺时转的剪应力τ为正，反之为负。 在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题

11. 剪应力互等定理 其中，只有6个量独立。

12. 重要公式 用张量表示：

13. §1-2 Cauchy公式（斜面应力公式） 已知物体在任一点P的六个应力分量 求经过P点的任一斜面上的应力。

14. 令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为 设三角形ABC的面积为S，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为lS、mS、 nS。四面体PABC的体积用V表示。三角形ABC上的应力 在坐标轴方向的分量 根据四面体的平衡条件 ，

16. 除以S，移项后，得 当斜面ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的微量，所以V/ S趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件 可以得出其余两式。 斜面应力(Cauchy)公式 重要公式

17. 设三角形ABC上的正应力为N , 则由投影可得 重要公式 将Cauchy公式代入，得 重要公式 斜面应力矢量大小 重要公式 斜面剪应力分量大小 重要公式

18. 在物体的任意一点，如果已知六个应力分量 就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。

19. §1-3 平衡微分方程 在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。

20. ¶ s s + z dz z ¶ ¶ t z C t ¶ t + yz dy t yz zy + ¶ ¶ t dz y z zy t + ¶ zx dz z ¶ s zx s ¶ s z + y dy x y t ¶ t y e xy yx ¶ t t + yx s dy dz t yx ¶ y y xz e' P t B dy yz zx t dx t zy s A o y ¶ t ¶ t ¶ s z t s t + xy + + xz dx x dx dx xz x xy ¶ ¶ ¶ x x x x

21. ¶ s s + z dz z ¶ ¶ t z C t ¶ t + yz dy t yz zy + ¶ ¶ t dz y z zy t + ¶ zx dz z ¶ s zx ¶ s z + y dy y ¶ t y e yx ¶ t t + yx s dy dz yx ¶ y y e' P t B dy yz zx t dx t zy s A o y z x 首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出力矩的平衡方程

22. 整理，并略去微量后，得 同样可以得出 剪应力互等定理

23. 由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方程。化简，除以dxdydz，得 列出x轴方向的力的平衡方程

24. 空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程） 重要公式

25. 如物体处于运动状态,根据达朗伯(d’Alembert)原理,在体力项中引入惯性力:如物体处于运动状态,根据达朗伯(d’Alembert)原理,在体力项中引入惯性力: 运动微分方程

26. §1-4 力边界条件 如果斜截面ABC是物体的边界面，则Tx、Ty、Tz 成为面力分量 ，于是得出 重要公式 即应力边界条件。 它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。

27. §1-5 应力分量的坐标变换 在给定载荷作用下，物体内的任意斜截面上应力的大小和方向是确定的，即一点的应力状态是确定的。不随所取坐标系的不同而变化。 • 一点的应力（应变）状态是用6个应力分量来定义，而应力分量是在一定的坐标系下确定的，且随坐标系的不同的变化。 • 本节重点是讨论坐标变换时应力分量的变化规律。

28. 坐标变换包括平移、旋转和反射。 对右手坐标系，平移和旋转变换后仍保持右手系，反射变换则变成左手系。 • 对平移变换，一点的应力分量保持不变。 • 本节主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化规律

29. z’ y’ e3’ e2’ e1’ x’ • 考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其单位矢量为ex、ey、ez，相应的应力分量为 z • 设ox’y’z’为新坐标，其单位矢量为ex’、ey’ 、ez’。相应的应力分量为 e3 y e1 e2 x

30. 新旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为

31. T3 T2 T1 • 作斜面abc垂直于x’轴，该斜面上的应力矢量为T。T在旧坐标系下的三个分量为Tx， Ty和Tz，则 由斜面应力(Cauchy)公式 z T z’ y’ y x’ x

32. T在新坐标系下的三个分量为 Tx’ 、Ty’、Tz’ 则

34. 用矩阵表示：

36. 同理： • 合并：

37. §1-6 主应力与应力张量不变量 • 已知一点的应力分量 ，则任意斜截面上的应力矢量 • 斜截面上的应力不仅与该点的应力状态 有关，且与斜面的方向 有关。

38. 问：是否存在一特定的斜截面，剪应力为零。 • 其上应力矢量T与截面法线同向。即T为该截面上的正应力 ， 已知

39. 当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向）称为主方向。当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向）称为主方向。

40. 上述方程为 的齐次线性方程组， 且常数项都为零。因为： ，故 不能同时为零，所以方程组的系数行列式应为零，即

41. 将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为应力张量 的特征方程。 式中

42. 展开后有 • 设特征方程的三个根为 ，则 （特征方程） • 比较上两式，有 对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，不随坐标系的变换而变化。故 是不随坐标系的变换而变化的量，称为应力张量不变量。 分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。

43. 例： 求主应力和主方向 解：

44. 代入特征方程： • 解得 • 求 对应的主方向

45. 1. 主应力为实数； 2. 三个主应力相互垂直； 即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，及对应的三个主应力。 （1）当 ，有3个相互垂直的主应力； （2）当 ，与 垂直的平面上的任意方向都为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力值相同。 （3）当 ，空间任意方向都是主方向，且应力值相同。 • 主应力的重要性质

46. 3. 主应力的极值性； （1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值； 设： ，则 （2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上全应力T的最大（或最小）值。

47. §1-7 最大剪应力 • 设3个主应力及主方向已知。以3个主方向为坐标轴方向。则应力分量：

48. 由斜面应力公式

49. 由 • 是m，n的函数， 取极值（ 也取极值）的条件是 • 即 • 上式第一式除 ，第二式除 ， 得

50. （1）当 第一组解： 对应主平面，其剪应力为零。（极小值） 第二组解： 对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的平面，其剪应力取极大值。