Download
1 / 16
190 likes | 584 Views
Tehted ratsionaalarvudega. Garfield räägib. Sisukord. Näide elust Vastandarvud Absoluutväärtus Ratsionaalarvude liitmine Ratsionaalarvude lahutamine Jäta meelde Ratsionaalarvude korrutamine Ratsionaalarvude jagamine Mitme erineva tehtega ülesanded- tehete järjekord Arvu aste
E N D
Tehted ratsionaalarvudega Garfield räägib
Sisukord • Näide elust • Vastandarvud • Absoluutväärtus • Ratsionaalarvude liitmine • Ratsionaalarvude lahutamine • Jäta meelde • Ratsionaalarvude korrutamine • Ratsionaalarvude jagamine • Mitme erineva tehtega ülesanded- tehete järjekord • Arvu aste • Kasulik teada • Tehted astmetega • Negatiivne astendaja
Sisukord Näide elust • Enne, kui Juku kooli läks, vaatas ta kodus termomeetrit. Väljas oli külma –2 oC. Koolist koju tulles märkas ta, et ilm on soojemaks läinud. Ta vaatas uuesti termomeetrit ja nägi, et väljas oli +3 oC. Ilm oli soojemaks läinud. Aga mitme kraadi võrra? Saame seda lugeda termomeetrilt. • Kuidas seda tehtena kirja panna? • Alguses oli temperatuur –2 oC. Soojenemist võime tähistada märgiga “+”. Soojenes 5oC võrra ning lõpptulemuseks jäi +3 oC. • Ehk kirja panduna: -2 oC + 5 oC = +3 oC(kui vaadelda termomeetrit arvteljena, siis toimus liikumine arvtelje positiivses suunas) • Õhtul läks aga taas külmemaks ning kraadiklaas näitas -4 oC. Seega mitu kraadi külmemaks läks, kui päeval oli temperatuur +3 oC? • Kuidas seda tehtena kirja panna, kui tähistada külmemaks minemist märgiga “-”? Millises suunas toimuks liikumine arvteljel?
Sisukord Vastandarvud • Kahte arvu, mille summa on null, nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Nende arvude kujutised arvteljel on nullpunktist võrdsetel kaugustel. Joonisel on näha, et arvud 4 ja – 4 ning 1,7 ja –1,7 on teineteise vastandarvud. Arvu 0 vastandarv on 0 ise. • Näide: Arvu 5 vastandarv on -5 ehk: -(+5) = -5. Arvu -5 vastandarv on 5 ehk: -(-5) = 5.
Sisukord Absoluutväärtus • Teame, et nulli ja positiivse arvu absoluutväärtus on see arv ise, negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne selle arvu vastandarvuga. |a| = a, kui a 0, |a| = -a, kui a < 0. • Ühegi arvu absoluutväärtus ei ole kunagi negatiivne. Näide: |4| = 4; |-5,6| = 5,6; |2/3| = 2/3; |0| = 0. • Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. Näide: |-3,4| = |3,4| = 3,4 • Kui märkida teineteise vastandarvud arvteljele võime veenduda, et absoluutväärtus tähendab sisuliselt seda arvu kujutava punkti kaugust arvtelje nullpunktist.
Sisukord Ratsionaalarvude liitmine Oletame, et võtame liitmist kui millegi juurde tekkimist. Tähistame külmakraade märgiga “-” ja soojakraade märgiga “+”. Saame tehetena kirja panna järgmised laused: • Väljas oli 2 kraadi sooja. Päeva jooksul tuli juurde 3 soojakraadi. (+2) + (+3) = +5 Teisiti öeldes-ilm soojenes 3 kraadi võrra: +2 + 3 = +5, paneme tähele, et +(+) = + • Väljas oli 4 kraadi külma. Õhtu jooksul tuli juurde 2 külmakraadi. (-4) + (-2) = -6 Teisiti öeldes, ilm jahenes 2 kraadi võrra: -4 – 2 = -6, paneme tähele, et +(-) = - Kui liita samamärgilisi arve, siis summa leidmiseks liidetakse nende arvude absoluutväärtused ja tulemuse ette pannakse nende arvude ühine märk. • Väljas oli 3 kraadi sooja. Ööseks tuli juurde 4 külmakraadi (+3) + (-4) = -1 Teisiti öeldes- ilm jahenes 4 kraadi võrra: +3 - 4 = -1, paneme tähele, et taas +(-) = - • Väljas oli 1 kraad külma. Päevaks tuli juurde 3 soojakraadi. (-1) + (+3) = +2 Teisiti öeldes- ilm soojenes 3 kraadi võrra: -1 + 3 = +2, paneme tähele, et taas +(+) = + Kui liita erimärgilisi arve, siis summa leidmiseks tuleb suuremast absoluutväärtusest lahutada väiksema absoluutväärtuse ja tulemuse ette panema suurema absoluutväärtusega arvu märgi.
Sisukord Ratsionaalarvude lahutamine • Tuleme tagasi õppetüki alguses toodud näite juurde. Situatsioon oli järgmine: Õhtul läks aga taas külmemaks ning kraadiklaas näitas -4 oC. Seega mitu kraadi külmemaks läks, kui päeval oli temperatuur +3 oC? Termomeetrilt lugedes said vastuseks, et temperatuur jahenes 7 kraadi võrra. Kuidas seda tehtena kirja panna, kui tähistada külmemaks minemist teatud kraadide võrra märgiga “-”? +3 – 7 = -4 Samas võime ka öelda nii, et juurde tuli 7 külmakraadi. Seega (+3) + (-7) = -4 • Näeme, et positiivse arvu LAHUTAMINE tähendab sama, mis selle arvu vastandarvu (mis on negatiivne) liitmine. • Niisamuti temperatuuri soojenemist “+” võib vaadelda, kui külmakraadide äraminemist Olgu väljas 3 soojakraadi. Oletame, et ilm soojeneb 2 kraadi võrra: 3 + 2 = 5 Võime selle kohta ka öelda, et külmakraade vähenes 2 võrra: 3 – (-2) = 5 • Näeme, et negatiivse arvu LAHUTAMINE tähendab sama, mis selle arvu vastandarvu (mis on positiivne) liitmine. Kokkuvõttes: Arvu lahutamine tähendab selle arvu vastandarvu liitmist: a – b = a + (-b).
Sisukord Jäta meelde • Tehetes sulgude kaotamisel kasutatakse järgmisi märgireegleid. Kaks ühesugust märki annavad plussmärgi ja kaks erinevat märki miinusmärgi, ehk: + (+ a) = + a - (- a) = + a + (- a) = - a - (+ a) = - a • Näide: (+3) + (+2) = 3 + 2 = 5 (+3) + (-2) = 3 – 2 = 1 (-3) + (+2) = -3 +2 = -1 (-3) + (-2) = -3-2 = -5 (+3) - (+2) = 3 - 2 = 1 (+3) - (-2) = 3 + 2 = 5 (-3) - (+2) = -3 - 2 = -5 (-3) - (-2) = -3 + 2 = -1
Sisukord Ratsionaalarvude korrutamine • Siin kehtib järgmine lihtne reegel: Kahe samamärgilise arvu korrutis on positiivne, kahe erimärgilise arvu korrutis on negatiivne. Tuleb korrutada tegurite absoluutväärtused ning tulemuse ette panna pluss, kui tegurite märgid on ühesugused ning miinus, kui tegurite märgid on erinevad. Näide: (-2) · 7 = -14 4,5 · (-3,2) = 14,4 (-2/3) · (-1/4) = 1/6 Nulliga korrutamisel saadakse tulemuseks 0. Kui negatiivseid tegureid on paarisarv, siis tuleb korrutis positiivne, kui negatiivseid tegureid on paaritu arv, siis tuleb korrutis negatiivne.
Sisukord Ratsionaalarvude jagamine • Siin kehtib järgmine lihtne reegel: Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne, kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne. Näide: -25 : 5 = 5 36 : (-0,5) = -72 -1/3 : (-2/5) = 5/6 Nulli jagamisel temast erineva arvuga saame tulemuseks nulli. Arvu pöördarvuks nimetatakse arvu, mille korrutis antud arvuga on 1. Näide: arvu 5 pöördarvuks on 1/5, sest 5 · 1/5 = 1.
Sisukord Mitme erineva tehtega ülesanded • Oleme nüüd õppinud ratsionaalarve liitma, lahutama, korrutama ja jagama. Kuid paljudes ülesannetes on mitu erinevat tehet korraga, selleks meenutame tehete järjekorda. Kui avaldises on sulud, siis teostatakse kõigepealt tehted sulgudes, seejärel korrutamis- ja jagamistehted ning lõpuks liitmis- ja lahutamistehted vasakult paremale sellises järjekorras, nagu need on kirjutatud. Näide: -3 + (8 - 72 : 3) · (-2) - 5,2 : 1,3 = 25 72 : 3 = 24; 8 – 24 = - 16: (-16) · (-2) = 32; 5,2 : 1,3 = 4; -3 + 32 = 29; 29 - 4 = 25.
Sisukord Arvu aste • Varasemates klassides oled õppinud leidma ruudu pindala ja kuubi ruumala. Sa tead, et kui ruudu külje pikkus on 6 cm, siis tema pindala S avaldub kujul: S = 6cm · 6cm = 36cm2. Ning kuubi ruumala V avaldub kujul V = 6cm · 6cm · 6cm = 216cm3. • Arvu a ruuduks, ehk arvu teiseks astmeks nimetatakse selle arvu korrutist iseendaga ja see korrutis kirjutatakse tavaliselt kujul a · a = a2. • Samamoodi nimetatakse korrutist a · a · aarvu a kuubiks, ehk arvu a kolmandaks astmeks ja kirjutatakse tavaliselt kujul a · a · a = a3. Samalaadset kirjutusviisi kasutatakse võrdsete tegurite korrutamisel ka siis, kui tegureid on enam kui kolm. • Üldiselt võib arvu a n-nda astme kirjutada välja nii:
Sisukord Kasulik teada • Negatiivse arvu aste on positiivne paarisarvulise astendaja korral ja negatiivne paarituarvulise astendaja korral. Näide: (-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -27; (-2)4 = (-2)·(-2)·(-2)·(-2) = 16. • Positiivse arvu kõik astmed on positiivsed arvud. • Arvu 1 iga aste on 1: 1n = 1. • Arvu 0 iga aste on 0: 0n = 0. • Arvu –1 iga aste on kas +1 või –1: (-1)2n = +1 ja (-1)2n+1 = -1 Tehete järjekord • Kui avaldises on lisaks astendamisele veel teisi tehteid ja tehete järjekord ei ole määratud sulgudega, siis tuleb kõigepealt astendada. Seejärel teostatakse ülejäänud tehted varem õpitud järjestuses. Seega on tehete järjekord määratud järgmiselt: • tehted sulgudes; • astendamine; • korrutamine ja jagamine; • liitmine ja lahutamine.
Sisukord Tehted astmetega • Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. am· an = am+n. Näide: 42· 43 = 4 2+3 = 47 = 16 384 • Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = am-n. Näide: (-2)3 : (-2)1 = (-2) 3-1 = (-2)2 = 4 • Iga arv astmes 0 võrdub ühega. a0 = 1. Näide: (-125)0 = 1 • Astme astendamisel astendajad korrutatakse. (am)n = am · n. Näide: ((-3)2)3 = (-3)2 · 3 = (-3)6 = 729 • Korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega. (a · b)n = an · b n. Näide: (2 · 5)2 = 22 · 5 2 = 4 · 25 =100 • Murru aste võrdub lugeja ja nimetaja astmete jagatisega. (a/b)n = an / b n. Näide: (3/10)2 = 32 / 102 = 9/100 = 0,09
Sisukord Negatiivne astendaja • Näide: 21 : 23 = 21/ 23 = 2/(2 · 2 · 2) = (taandades)= 1/(2 · 2) = 1/ 22 Kasutame valemit am : an = am-n ,saame 21 : 23 = 21-3 = 2-2. Et nii murdu taandades kui ka ühe ja sama arvu astmete jagamise valemi abil peaksime jõudma sama tulemuseni, siis on loomulik arvata, et kirjaviis 2-2 peaks tähendama sama, mis 1/ 22. • Ongi kokku lepitud, et a-n = 1/an , juhul, kui a 0. tingimusa 0 on vajalik, kuna nulliga ei saa jagada. • Erijuhul, kui n = -1, siis saame valemi arvu pöördväärtuse leidmiseks. a-1 = 1/a .
