2 ． 3.4 　平面与平面垂直的性质

2．3.4　平面与平面垂直的性质

要点一平面与平面垂直的性质的应用 • 在运用面面垂直性质定理时必须注意：(1)线在面内；(2)线垂直于两面的交线，由此才可以得出线面垂直．在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．

例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； • (2)求证：AD⊥PB. • 【分析】①ABCD是边长为a的菱形； • ②面PAD⊥面ABCD. • 解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．

【证明】(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.【证明】(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD. • 又平面PAD⊥平面ABCD， • ∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG. • 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， • ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. • 又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.

(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD. • 所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB. • 【规律方法】　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．

变式1　如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，CE、EF⊂α，∠FEC＝90°，求证：面EFD⊥面DCE.变式1　如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，CE、EF⊂α，∠FEC＝90°，求证：面EFD⊥面DCE.

证明：∵α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.证明：∵α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. • 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. • 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. • 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. • 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面DCE.

例2 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． • (1)求证：PA⊥平面ABC； • (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．

【分析】　由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理．【分析】　由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理．

【证明】 (1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F， • ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC， • ∴DF⊥平面PAC. • 又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA. • 作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA. • ∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.

(2)连接BE并延长交PC于H. • ∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC， • 故AE⊥PC，且AE∩BE＝E， • ∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB. • 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P， • ∴AB⊥平面PAC， • ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．

【规律方法】　已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论．【规律方法】　已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论．

变式2　如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求证：α∥β.变式2　如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求证：α∥β.

证明：如图，在平面α内作直线PQ⊥a，在平面β内作直线MN⊥b，垂足分别为Q、N.证明：如图，在平面α内作直线PQ⊥a，在平面β内作直线MN⊥b，垂足分别为Q、N.

∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴PQ⊥γ. • 同理MN⊥γ.∴PQ∥MN. • ∵PQ⊄β，MN⊂β， • ∴PQ∥β. • 同理a∥β.∵PQ⊂α，a⊂α，PQ∩a＝Q， • ∴α∥β.

要点二线线、线面、面面垂直的综合应用 • 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：

(1)EN∥平面PDC； • (2)BC⊥平面PEB； • (3)平面PBC⊥平面ADMN. • 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明，证EN∥DM. • (2)先证AD⊥平面PEB，再由AD∥BC证明． • (3)转化为证明PB⊥平面ADMN.

【证明】(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，【证明】(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC， • ∴AD∥平面PBC. • 又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN. • 又∵BC∥AD，∴MN∥BC. • 又N是PB的中点，∴点M为PC的中点．

(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°， • ∴BE⊥AD. • 又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点， • ∴PE⊥AD， • ∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC， • ∴BC⊥平面PEB.

(3)由(2)知AD⊥平面PBE. • 又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB. • 又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB. • 且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN. • 又∵PB⊂平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.

【规律方法】　运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．【规律方法】　运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．

变式3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，变式3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，

(1)求证：AD⊥PB； • (2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

证明：(1)设G为AD的中点，连接PG， • ∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD. • 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， • G为AD的中点，∴BG⊥AD. • 又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB. • ∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.

(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD. • 取PC的中点F，连接DE、EF、DF， • 在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE， • 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E. • ∴平面DEF∥平面PGB.

由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB， • ∴平面PGB⊥平面ABCD， • ∴平面DEF⊥平面ABCD.

2 ． 3.4 平面与平面垂直的性质