三角形的外心

自我評量 三角形的外心三角形的內心三角形的重心

如圖3-3，P 點在直線 L 上， (1)如果 L 是的中垂線，則。 (2)如果，則 L是的中垂線。圖 3-3 如果想作一個圓同時通過△ABC 的三個頂點，這個圓一定作得出來嗎？如果作得出來，它的圓心會在哪裡？

如圖3-4，△ABC中，L1為的中垂線，L2為 的中垂線，L1與L2交於 O 點，連接、、鈍角三角形直角三角形銳角三角形圖 3-4

∵L1是的中垂線，∴。 又 L2是的中垂線，∴。故，即 O 點到三頂點等距離。因此若以 O 點為圓心，為半徑畫圓，則此圓必通過△ABC 的三個頂點。如圖 3-4，若 L3為的中垂線，則 L3也會通過 O 點嗎？會

下列各圖的三角形中，虛線為該邊之中垂線，請利用這些中垂線，各作出一個圓，使這個圓通過三角形的三個頂點。下列各圖的三角形中，虛線為該邊之中垂線，請利用這些中垂線，各作出一個圓，使這個圓通過三角形的三個頂點。

由上面的說明與隨堂練習可知： 任意三角形三邊的中垂線交於同一點（設為O點），且此點到三頂點的距離相等（設為R）。若以O點為圓心，R為半徑，作一圓通過此三角形的三頂點，此圓稱為該三角形的外接圓，圓心稱為該三角形的外心。

外心會落在三角形的內部、三角形的邊上或三角形的外部？我們用圓周角的觀點說明如下：外心會落在三角形的內部、三角形的邊上或三角形的外部？我們用圓周角的觀點說明如下：　　如圖3-5，△ABE為銳角三角形，△ABD 為直角三角形，△ABC 為鈍角三角形，且△ABE、△ABD 與△ABC 皆為圓 O 的圓內接三角形，所以圖 3-5

(1)銳角三角形ABE的外心（圓心 O）會在三角形內部。 (2)直角三角形ABD的外心（圓心 O）剛好在三角形的斜邊中點。 (3)鈍角三角形ABC的外心（圓心 O）會在三角形外部。圖 3-5

搭配習作 P44 基礎題 4 如下圖，有A、B、C三村，想蓋一座公園到三村的距離相等，請用尺規作圖找出公園的位置。

搭配習作 P43 基礎題 1 1直角三角形外接圓半徑直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，＝6，＝8，試求△ABC外接圓的半徑長。 ∵△ABC 為直角三角形， ∴斜邊＝，且中點即為外心，故外接圓半徑＝＝10 ÷ 2＝5。解

斜邊＝ ∴外接圓半徑＝13÷2＝直角三角形ABC中，∠A＝90°，＝9，＝12，試求△ABC 外接圓的半徑長。

2 30°－60°－90°三角形三邊長比 如右圖，△ABC 中，已知∠ACB＝ 90°，∠B＝60°，∠A＝30°，＝a，試求、。

如右圖，作斜邊中點O，∵∠ACB＝90°， ∴O 為外心，＝＝，又∠OCB＝∠B＝60°，則∠BOC＝60°，故△OBC 為正三角形，＝＝＝a，＝＋＝2a ＝＝解

如圖3-6，△ABC 中， ＝c，＝a，＝b， ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，則△ABC 三邊長的比為 a：b：c＝1：：2 。圖3-6

如右圖，△ABC 中，∠A＝30°， ∠C＝60°，若＝6，試求。 ∠B＝180°－30°－60°＝90° ：：＝：1：2 6：＝：1 ＝

圓內接三角形的三內角為其外接圓的圓周角，而一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓心角度數的一半，可利用此關係求解相關問題。圓內接三角形的三內角為其外接圓的圓周角，而一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓心角度數的一半，可利用此關係求解相關問題。搭配習作 P43 基礎題 2 3 外接圓的應用如右圖，△ABC 中，∠A＝67°，O為△ABC的外心，試求∠BOC。

解如右圖，畫出△ABC的外接圓。 ∵∠A＝ ∠BOC （圓周角＝圓心角） ∴∠BOC＝2∠A＝2 × 67°＝134°

∠ACB＝180°－46°－79° ＝55° ∴∠AOB＝AB ＝2∠ACB＝110° 1.如右圖，△ABC中，O為外心，若∠BAC＝46°，∠ABC＝79°，試求∠AOB。

∠ACB＝180°－28°－106° ＝46° ∴∠AOB＝AB ＝2∠ACB＝92° 2.如右圖，△ABC為鈍角三角形，外心O在三角形外部，若∠ABC＝28°，∠BAC＝106°，試∠AOB。

如果想在三角形內部作一個圓，使得這個圓和三角形的三邊相切，這個圓一定作得出來嗎？如果作得出來，它的圓心會在哪裡？如果想在三角形內部作一個圓，使得這個圓和三角形的三邊相切，這個圓一定作得出來嗎？如果作得出來，它的圓心會在哪裡？如圖 3-7，△ABC 中，作 ∠CAB的角平分線 L1、∠ABC 的角平分線 L2，I 為 L1、L2 的交點，並作、、，分別交、、於 D、E、F。圖 3-7

∵ L1是∠CAB的角平分線， ∴ ， ∵ L2是∠ABC的角平分線， ∴ ，故，即 I 到△ABC三邊等距離。圖 3-8 因此，若以 I 為圓心，為半徑畫圓，則此圓和三角形的三邊相切，如圖 3-8。

若 L3為∠ACB 的角平分線，則 L3是否也會通過 I 點？由上面可知，，且、， ∴ I 點必在∠ACB 的角平分線 L3上。由此可知，三角形三內角的角平分線交於一點，且此點為三角形內切圓的圓心，所以將此點稱為三角形的內心。

(1)三角形三內角的角平分線交於一點，此點稱為三角形的內心。(1)三角形三內角的角平分線交於一點，此點稱為三角形的內心。 (2)三角形的內心到三邊等距離。 (3)若以三角形的內心為圓心，到三邊的距離為半徑畫圓，可得到三角形的內切圓。

如圖，△ABC為鈍角三角形，請利用尺規作圖， 求作：(1) △ABC的內心。 (2) △ABC的內切圓。

搭配習作 P43 基礎題 3 三角形的內心，一定都在三角形內部嗎？為什麼？ ∵內心為三內角的角平分線交點 ∴一定在三角形內部

搭配習作 P44 基礎題 5 4 角度的計算如右圖，I 為△ABC的內心，且∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，試求∠BIC。

∵I 為△ABC的內心， ∴為∠ABC的角平分線，則∠1＝ ∠ABC＝35°。同理，∠2＝ ∠ACB＝20°。 ∠BIC＝180°－∠1－∠2 ＝180°－35°－20°＝125° 解

∠EDF＝180°－40°－80°＝60° ∴∠DIF＝180°－∠IDF－∠IFD ＝180°－ ∠EDF－ ∠EFD ＝180°－30°－20° ＝130° 如右圖，△DEF 中，I 為內心，∠EFD＝40°，∠E＝80°，試求∠DIF。

將三角形的內心與三個頂點連接，可以將原三角形分成三個小三角形，因為內心到三邊的距離相等，我們可以利用此性質來討論這三個小三角形的面積比。將三角形的內心與三個頂點連接，可以將原三角形分成三個小三角形，因為內心到三邊的距離相等，我們可以利用此性質來討論這三個小三角形的面積比。如圖 3-9，△ABC中， I 為△ABC的內心，，，，其中D、E、F 為垂足， ∴ 圖 3-9

△AIB：△BIC：△CIA ＝( × ×)：( × × )：( × × ) ＝：：圖 3-9

5 三角形內心與面積 如右圖，△ABC 中，I 為內切圓的圓心，△ABI 的面積為24，△ACI 的面積為 15，△BCI 的面積為 21，試求：：。：：＝△ABI：△ACI：△BCI ＝24：15：21 ＝8：5：7 解

∵△ABC為等腰直角三角形，∠C＝90° ∴ ：：＝1：1：又 I 為內心，∴△AIB：△BIC：△CIA ＝：：＝：1：1 若△ABC 為等腰直角三角形，且∠C＝90°，I 為內心，試求△AIB：△BIC：△CIA。

如果已知道三角形的面積與各邊的邊長，我們也可利用三角形內心到三邊等距離的性質，算出三角形內切圓的半徑。如果已知道三角形的面積與各邊的邊長，我們也可利用三角形內心到三邊等距離的性質，算出三角形內切圓的半徑。搭配習作 P45 基礎題 6 6 內切圓半徑如右圖，I為△ABC的內心， △ABC的面積為84，若＝15，＝13，＝14，試求△ABC的內切圓半徑。

設內切圓半徑為 r，連接、、， ∵ I 為內心， ∴ I 到三邊的距離均為 r， △ABC＝△IAB＋△IBC＋△IAC 84＝．．r＋．．r＋．．r 84＝．14．r＋．13．r＋．15．r 84＝21r r＝4 故△ABC的內切圓半徑為4。解

如右圖，I為△ABC內心，， ，，若△ABC 面積為，且＝5，＝6，＝7，試求。

連接、、 ∵ I 為內心，∴ 令＝＝＝r， △ABC＝△AIB＋△BIC＋△CIA ∴ r＝故＝

如圖3-10，△ABC中，＝c， ＝a，＝b，內切圓半徑為 r， I 為內切圓的圓心，連接、、，則△IAB、△IBC、△IAC的底邊分別為c、a、b，且高都是r。圖 3-10

△ABC＝△IAB＋△IBC＋△ICA ＝＋＋＝（a＋b＋c）三角形的面積＝內切圓半徑與三角形周長之乘積的一半。　接下來，我們來探討直角三角形的兩股、斜邊與內切圓半徑的關係。

如圖3-11，直角三角形ABC中，∠C＝90°，作出內切圓 O，且切三邊於D、E、F 三點，令 r 為其半徑，分別連接、。圖 3-11

由於、為切線長，所以＝， 同理＝，＝。因為 E、F 為切點，∠C＝90°，＝＝r，因此四邊形OECF為正方形。故＋＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋2r ＝＋2r 由上面的說明可知：直角三角形的兩股和＝斜邊長＋內切圓半徑的2倍。

7直角三角形的內切圓 △ABC中，∠A＝90°，＝5，＝12，試求△ABC的內切圓半徑。＝ △ABC 的周長＝5＋12＋13＝30 △ABC＝．．＝．5．12＝30 解一設內切圓半徑為r △ABC＝．r．△ABC 的周長 30＝．r．30 r＝2 故內切圓半徑＝2

斜邊＝ 設內切圓半徑為r ＋＝＋2r 5＋12＝13＋2r r＝2 故內切圓半徑＝2 解二

斜邊＝ 設內切圓半徑為r ＋＝＋2r 8＋6＝10＋2r r＝2 直角三角形ABC 中，∠B＝90°，＝8，＝6，試求△ABC 的內切圓半徑。

將三角形的頂點和其對邊中點連線，此線段稱為三角形的中線，其長度稱為中線長。將三角形的頂點和其對邊中點連線，此線段稱為三角形的中線，其長度稱為中線長。如圖3-12，△ABC有三條中線，為上的中線，為上的中線，為上的中線。圖3-12

將一個質地均勻的三角板，依次輪流懸掛其中的一個頂點，然後將懸掛線延長，可觀察到這條線通過懸掛頂點的對邊中點，如圖3-13，兩條虛線會交於一點，那麼第三條虛線會交於同一點嗎？將一個質地均勻的三角板，依次輪流懸掛其中的一個頂點，然後將懸掛線延長，可觀察到這條線通過懸掛頂點的對邊中點，如圖3-13，兩條虛線會交於一點，那麼第三條虛線會交於同一點嗎？圖3-13

接下來，我們將證明第三條中線會通過前面二條中線的交點，而此交點稱為三角形的重心。接下來，我們將證明第三條中線會通過前面二條中線的交點，而此交點稱為三角形的重心。如圖 3-14，△ABC 中， D、E、F 分別為、、中點，且和兩中線交於 G 點。連接。圖 3-14

∵ E、F 分別為、中點， ∴// ，且＝。在△GBC 與△GEF 中， ∠1＝∠3，∠2＝∠4，（// ）則△GBC∼△GEF（AA 相似），故：＝：＝2：1。圖 3-14

　 如圖 3-15，設與兩 中線交於 G' 點，同理：＝2：1，故 G 與 G' 是同一點，即通過 G 點。圖 3-15

由上面的說明可知： 1.如圖3-16，△ABC的三中線、、交於重心 G。圖 3-16 2.如圖 3-17，若 G為△ ABC的重心，則＝，＝。圖 3-17

三角形的外心

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