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Gauß-Jordan-Verfahren

Gauß-Jordan-Verfahren. Lineares Gleichungssystem 1x + 2y +1z –2w = 2 2x + 4y +3z –5w = 4 1x + 3y +2z + 2w = 8. Tableau. Tableau-Form. Elementaroperationen. Multipliziere eine Zeile mit einem von null verschiedenen Faktor Vertausche zwei Zeilen

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Gauß-Jordan-Verfahren

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Presentation Transcript

  1. Gauß-Jordan-Verfahren

  2. Lineares Gleichungssystem 1x + 2y +1z –2w = 2 2x + 4y +3z –5w = 4 1x + 3y +2z + 2w = 8 Tableau Tableau-Form

  3. Elementaroperationen • Multipliziere eine Zeile mit einem von null verschiedenen Faktor • Vertausche zwei Zeilen • Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile

  4. Idee des Gauss-Jordan Verfahrens • Transformation des Gleichungssystems (Tableaus) in eines in Stufenform

  5. Stufenform • Wenn eine Zeile nicht nur Nullen enthält, dann ist der erste von null verschiedene Eintrag eine 1. • Wenn eine Zeile nur Nullen enthält, ist diese entweder die unterste Zeile oder alle Zeilen unter ihr enthalten auch nur Nullen. • In zwei Zeilen, welche nicht nur Nullen enthalten, steht die führende 1 in der oberen der beiden Zeilen links von der führenden 1 in der unteren der beiden Zeilen. • Jede Spalte, welche eine führende 1 enthält, enthält außer dieser nur Nullen.

  6. Lineares Gleichungssystem 1x + 0y +0z –11w = -10 0x + 1y + 0z + 5w = 6 0x + 0y + 1z – 1w = 0 Tableau Stufenform

  7. Lineares Gleichungssystem 1x + 0y +0z –11w = -10 0x + 1y + 0z + 5w = 6 0x + 0y + 1z – 1w = 0 Auflösen nach x,y,z ergibt: x=11w – 10, y= – 5w+6, z=w. w kann beliebig gewählt werden. Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

  8. Gauß-Jordan Verfahren • Setzek=0. • Wenn k=N Stopp, sonst k=k+1. • Finde unter den Spalten, welche in den Zeilen k… N nicht nur Nullen haben, diejenige Spalte l welche am weitesten links steht. Falls es keine solche Spalte gibt, Stopp . • Wenn notwendig, tausche Zeilen so, dass der Eintrag akl von null verschieden ist. • Multipliziere die Zeile k mit 1/ akl. • Addiere Vielfache der Zeilek zu allen anderen Zeilen so, dass in der Spalte l außer in der k-ten Zeile nur Nullen stehen. Gehe zu Schritt 2.

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