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玻尔兹曼对于麦克斯韦速度分布律的推导

玻尔兹曼对于麦克斯韦速度分布律的推导. 1876年，玻尔兹曼提出以下证明思路：在均匀重力场中恒温理想气体的分子数密度为 n ( h ) = n (0)exp[  mgh /( kT )]. 但是，速度分量 v z 的分布函数 f ( v z ) 应该仅由温度 T 决定而与重力场强 g 或高度 h 无关。高处的 n ( h ) 之所以会比较小，是由于低处那些 v z 小的分子不能克服重力场而飞到高处。. 因此，正是分子的速度分布决定了其在重力场中按高度的分布。两者密切相关，据此可以推导速度分量 v z 的分布函数 f ( v z ).

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玻尔兹曼对于麦克斯韦速度分布律的推导

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  1. 玻尔兹曼对于麦克斯韦速度分布律的推导

  2. 1876年，玻尔兹曼提出以下证明思路：在均匀重力场中恒温理想气体的分子数密度为n(h) = n(0)exp[mgh/(kT)].

  3. 但是，速度分量vz的分布函数f(vz)应该仅由温度T决定而与重力场强g或高度h无关。高处的n(h)之所以会比较小，是由于低处那些vz小的分子不能克服重力场而飞到高处。

  4. 因此，正是分子的速度分布决定了其在重力场中按高度的分布。两者密切相关，据此可以推导速度分量vz的分布函数f(vz).

  5. n(h) = n(0)exp[mgh/(kT)]. mvz2/2 = mgh,m  0,vzdvz = gdh.

  6. 在h = 0处，速度分量vz分布在vzvz+dvz区间内的分子向上的通量，应该等于在h处与在h+dh处各种速率分子向上的通量之差。

  7. n(0)vzf(vz)dvz = dJ(0, vzvz+dvz) = J0(h)J0(h+dh) = dJ0(h) = d0n(h)vzf(vz)dvz

  8. = d{n(0)exp[mgh/ (kT)]}0vzf(vz)dvz= n(0)[mg/(kT)] exp[mgh/(kT)]dh0vzf(vz)dvz

  9. = n(0)[m/(kT)] exp[mvz2/ (2kT)]vzdvz 0vzf(vz)dvz= {[m/(kT)]0vzf(vz)dvz}n(0)exp[mvz2/(2kT)]vzdvz

  10. = Cexp[mvz2/(2kT)]n(0)vzdvz.C = [m/(kT)]0vzf(vz)dvz.n(0)vzdvz  0,f(vz) = Cexp[mvz2/(2kT)].再利用分布函数f(vz)的归一化条件就能确定C的值。

  11. 20f(vz)dvz = 1 = 2C[kT/(2m)]1/2 = C(2kT/m)1/2.f(vz) = [m/(2kT)]1/2exp[mvz2/(2kT)].

  12. 现在分布函数f(vz)可以用于g = 0（即无重力场）时沿任何方向所选定的 z轴。换句话说，加上或取消重力场，都不会影响与改变分子的速度分布。原来利用重力场只是手段。

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