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王阳恩

王阳恩. 考虑两个惯性参考系 S ( Oxyz ) 和 S  ( O  x  y  z  ), 它们的对应坐标轴相互平行 , 且 S  系相对 S 系以速度 v 沿 Ox 轴的正方向运动 . 开始时 , 两惯性系重合. y. S. y . S . y. y . v. O. •. P. x. vt. x . O . x. x . z. z. z . z . 第一章 . 狭义相对论基础. §1. 伽利略变换 牛顿的绝对时空观. 一 . 力学的相对性原理. 牛顿运动定律适用一切惯性参考系. t =0 时，

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  1. 王阳恩

  2. 考虑两个惯性参考系S(Oxyz)和S(Oxyz), 它们的对应坐标轴相互平行, 且S系相对S系以速度v沿Ox轴的正方向运动.开始时,两惯性系重合. y S y S y y v O • P x vt x O x x z z z z 第一章.狭义相对论基础 §1.伽利略变换 牛顿的绝对时空观 一.力学的相对性原理 牛顿运动定律适用一切惯性参考系. t=0时， 两者重合. 伽利略位置坐标变换 力学现象对一切惯性系来说,都遵从同样的规律;或者说,在研究力学规律时,一切惯性系都是等价的.——力学相对性原理. 二.伽利略变换式 力学相对性原理的数学表述.

  3. 考虑两个惯性参考系S(Oxyz)和S(Oxyz), 它们的对应坐标轴相互平行, 且S系相对S系以速度沿Ox轴的正方向运动.开始时,两惯性系重合. y S y S t=0时， 两者重合. y y 伽利略位置坐标变换 v O • P x vt x O x x z z z z S相对S系以v沿x轴运动 点P在两坐标系中的关系为: 若认为同一事件在两系中经历的时间相同,即Δt=Δt.有: 或

  4. S相对S系以v沿x轴运动 点P在两坐标系中的关系为: 若认为同一事件在两系中经历的时间相同,即Δt=Δt.有: u= u + v 或 伽利略坐标变换 伽利略速度变换 对伽利略坐标变换对时间求一阶导数 ——伽利略速度变换. 其矢量形式为:

  5. 上式再对时间求导: 伽利略坐标变换 伽利略速度变换 对伽利略坐标变换对时间求一阶导数 a = a u= u + v ——伽利略速度变换. 其矢量形式为: 其矢量形式为: 物体的加速度对伽利略变换是不变的. 即牛顿定律对S系和S系有相同的形式. F= m a F= m a 即牛顿定律在伽利略变换下是不变的.或者说力学规律对伽利略变换是不变的.力学的相对性原理.

  6. 上式再对时间求导: 其矢量形式为: 物体的加速度对伽利略变换是不变的. 即牛顿定律对S系和S系有相同的形式. a = a F= m a F= m a 即牛顿定律在伽利略变换下是不变的.或者说力学规律对伽利略变换是不变的.力学的相对性原理. 三.经典力学时空观 伽利略变换的假设(基本前提) ①存在不受运动状态影响的时钟——绝对时间 从而有: 即有: 任何事件所经历的时间在不同参考系下都是不变的. ②空间任意两点间的距离与参考系的选择无关.——绝对空间. 即有:

  7. 三.经典力学时空观 伽利略变换的假设(基本前提) ①存在不受运动状态影响的时钟——绝对时间 从而有: 即有: 任何事件所经历的时间在不同参考系下都是不变的. ②空间任意两点间的距离与参考系的选择无关.——绝对空间. 即有: 在牛顿力学中,时间,长度,质量都是伽利略变换不变量. 力学相对性原理并不是以绝对时空观为前提的. §2迈克耳孙—莫雷实验 一.问题的提出 • 是否有一个与绝对空间相对静止的参考系？ • 如果有,如何判断它的存在? • 显然力学原理不能找出这个特殊的惯性系,那么电磁学现象呢?

  8. 在牛顿力学中,时间,长度,质量都是伽利略变换不变量.在牛顿力学中,时间,长度,质量都是伽利略变换不变量. 力学相对性原理并不是以绝对时空观为前提的. §2迈克耳孙—莫雷实验 一.问题的提出 • 是否有一个与绝对空间相对静止的参考系？ • 如果有,如何判断它的存在? • 显然力学原理不能找出这个特殊的惯性系,那么电磁学现象呢? • 电磁波传播的媒质是什么? 人们假定: 电磁波(光)传播的媒质是以太,以太静止在绝对空间. 光相对以太的传播速度为c, 若有其它惯性系相对绝对空间运动,则相对此惯性系的速度将不是c. 寻找以太成为判断绝对参考系存在的关健.

  9. 电磁波传播的媒质是什么? 人们假定: 电磁波(光)传播的媒质是以太,以太静止在绝对空间. 光相对以太的传播速度为c, 若有其它惯性系相对绝对空间运动,则相对此惯性系的速度将不是c. 寻找以太成为判断绝对参考系存在的关健. 二.迈克耳孙-----莫雷实验 把迈克耳孙干涉仪固连在地球上. 设想以太相对太阳是静止的,则地球固连的干涉仪以v的速率相对以太运动.设计实验理论计算条纹移动数为: 实际实验为零结果:无条纹移动. →以太不存在.即否定了电磁理论适用的绝对以太参照系!

  10. 把迈克耳孙干涉仪固连在地球上. 设想以太相对太阳是静止的,则地球固连的干涉仪以v的速率相对以太运动.设计实验理论计算条纹移动数为: 实际实验为零结果:无条纹移动. →以太不存在.即否定了电磁理论适用的绝对以太参照系! →伽利略变换不正确. 二.迈克耳孙莫雷实验 →绝对时空观有问题. 三.出路:认为力,电理论正确,以太也要,需找新假设;力学及相对性原理正确,电磁理论及以太应改造;----行不通.爱因斯坦找到了出路.

  11. 爱因斯坦: Einstein 现代时空的创始人

  12. §3.狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式 →伽利略变换不正确. →绝对时空观有问题. 三.出路:认为力,电理论正确,以太也要,需找新假设;力学及相对性原理正确,电磁理论及以太应改造;----行不通.爱因斯坦找到了出路. 一.爱因斯坦狭义相对论的基本原理(两条基本假设) 1.狭义相对性原理 物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式,即所有的惯性系对运动的描述都有是等效的. 换言之,绝对静止的参考系是不存在的.

  13. §3.狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式 一.爱因斯坦狭义相对论的基本原理(两条基本假设) 1.狭义相对性原理 物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式,即所有的惯性系对运动的描述都有是等效的. 换言之,绝对静止的参考系是不存在的. 2.光速不变原理 真空中的光速是常量,它与光源或观测者的运动无关,即不依赖于惯性系的选择. 说明: (1)第一假设说明运动的描述具有相对意义,绝对静止的参考系不存在. (2)第二假设隐含真空各向同性;且在不同的参考系中,时间的流逝不相同.

  14. 2.光速不变原理 真空中的光速是常量,它与光源或观测者的运动无关,即不依赖于惯性系的选择. 说明: (1)第一假设说明运动的描述具有相对意义,绝对静止的参考系不存在. (2)第二假设隐含真空各向同性;且在不同的参考系中,时间的流逝不相同. (3)所有物理定律都遵从相对性原理. (4)伽利略变换不再适用. 二.洛伦兹变换 洛伦兹研究Maxwell方程的不变性时,得出了一套坐标变换:

  15. (3)所有物理定律都遵从相对性原理. (4)伽利略变换不再适用. 二.洛伦兹变换 洛伦兹研究Maxwell方程的不变性时,得出了一套坐标变换: 式中 c为真空中的光速 上式可解出x,y,z,t, 得逆变换 说明: (1) S相对S系以v沿x轴运动, t=0时，两原点重合. (2)它在相对论中占中心地位.

  16. 式中 c为真空中的光速 (6)v<<c, 伽利略变换.故v<<c为非相对论条件. 上式可解出x,y,z,t, 得逆变换 说明: (1) S相对S系以v沿x轴运动, t=0时，两原点重合. (2)它在相对论中占中心地位. (3)变换式是同一事件在不同惯性系两组时空坐标之间的变换式. (4)各系中时空度量基准必须一致.故规定:各系中的尺和钟必须相对该惯性系处于静止状态. (5)v≦c，物体的速度上限为c.

  17. (3)变换式是同一事件在不同惯性系两组时空坐标之间的变换式.(3)变换式是同一事件在不同惯性系两组时空坐标之间的变换式. (6)v<<c, 伽利略变换.故v<<c为非相对论条件. (4)各系中时空度量基准必须一致.故规定:各系中的尺和钟必须相对该惯性系处于静止状态. (5)v≦c，物体的速度上限为c. 三.洛伦兹速度变换式 设从S系看,点P的速度为u(ux,uy,uz),从S´系看,点P的速度为u(ux´,uy´,uz´) 由洛伦兹坐标变换公式可得 洛伦兹速度变换公式

  18. 设从S系看,点P的速度为u(ux,uy,uz),从S´系看,点P的速度为u(ux´,uy´,uz´)设从S系看,点P的速度为u(ux,uy,uz),从S´系看,点P的速度为u(ux´,uy´,uz´) 由洛伦兹坐标变换公式可得 洛伦兹速度变换公式 三.洛伦兹速度变换式 其逆变换为:

  19. 其逆变换为: §4 狭义相对论的时空观 一.同时的相对性 同时指两事件发生在同一时刻. 经典时空观认为:同时的概念是绝对的,与参考系无关. 相对论时空观认为:同时的概念是相对的.在一个惯性系两个事件是同时发生的, 在另一惯性中, 这两事件可能不是同时发生的. 考虑一作匀速运动的车厢,对地的速度为v

  20. 一.同时的相对性 同时指两事件发生在同一时刻. 经典时空观认为:同时的概念是绝对的,与参考系无关. 相对论时空观认为:同时的概念是相对的.在一个惯性系两个事件是同时发生的, 在另一惯性中, 这两事件可能不是同时发生的. S v O * 考虑一作匀速运动的车厢,对地的速度为v O´ S´ §4 狭义相对论的时空观 前后门都用光信号控制,光信号从O点发出. 同时的相对性 从S系看，光信号同时到达前后门.两门同时开启. 从S系看,由于光速不变,但后门也以v 向前运动,光信号先到后门,两门并不同时开启.

  21. 下面用洛伦兹变换讨论此问题 前后门都用光信号控制,光信号从O点发出. 同时的相对性 从S系看，光信号同时到达前后门.两门同时开启. S v 从S系看,由于光速不变,但后门也以v 向前运动,光信号先到后门,两门并不同时开启. O * O´ S´ 应用洛伦兹变换的注意事项: (1)洛伦兹变换中的坐标关系是对同一事件而言的. (2)各惯性系中的度量基准应一致(如尺、钟应相同） (3)各惯性系中的尺、钟应相对自己是静止的.

  22. 下面用洛伦兹变换讨论此问题 应用洛伦兹变换的注意事项: (1)洛伦兹变换中的坐标关系是对同一事件而言的. (2)各惯性系中的度量基准应一致(如尺、钟应相同） (3)各惯性系中的尺、钟应相对自己是静止的. 讨论: 1.在一个惯性系(S系)中 不同地点(xa , xb)同时发生的两事件,在另一惯性系(S系)来看,并不同时. 因为 由洛伦兹变换:

  23. 讨论: 1.在一个惯性系(S系)中 不同地点(xa , xb)同时发生的两事件,在另一惯性系(S系)来看,并不同时. 因为 由洛伦兹变换: 2.在一个惯性系中即同时又同地发生的两事件呢? 则: 在另一惯性系看也同时发生.

  24. 2.在一个惯性系中即同时又同地发生的两事件呢?2.在一个惯性系中即同时又同地发生的两事件呢? 则: 在另一惯性系看也同时发生. 3.在一惯性系中不同时,也不同地发生的两事件 如果 即: 则: Δt = 0 即在另一个惯性看来,可能是同时发生的.

  25. 3.在一惯性系中不同时,也不同地发生的两事件 如果 即: 则: Δt = 0 即在另一个惯性看来,可能是同时发生的. 4.同时具有相对意义.但因果关系不会改变.即有因果联系的事件,其先后顺序仍然是不可改变的. 二.长度的收缩 一切物质运动的速度都不能超过光速. 在S中静止的棒,长度为l0 (t’1 ≠ t’2) 在S系中测量,长度为l

  26. 4.同时具有相对意义.但因果关系不会改变.即有因果联系的事件,其先后顺序仍然是不可改变的.4.同时具有相对意义.但因果关系不会改变.即有因果联系的事件,其先后顺序仍然是不可改变的. 一切物质运动的速度都不能超过光速. 二.长度的收缩 在S中静止的棒,长度为l0 (t’1 ≠ t’2) 在S系中测量,长度为l 由洛伦兹变换 在S系中测x1 、x2应为同时，即 t1 = t2 = t0 有: 即: 或: 由于 故: l < l0 , 称为长度收缩.

  27. 由洛伦兹变换 在S系中测x1 、x2应为同时，即 t1 = t2 = t0 有: 即: 或: 由于 故: l < l0 , 称为长度收缩. 说明: (1) 相对静止的系中测得的固有长度l0最长. l为运动物体的长度,物体沿运动方向收缩. (2)收缩只发生在运动方向上,垂直方向上不发生收缩. (3)长度比较具有相对意义.只有物体相对静止且平行时,比较才绝对. (4)当 v<<c 时,

  28. 说明: (1) 相对静止的系中测得的固有长度l0最长. l为运动物体的长度,物体沿运动方向收缩. 如图所示,一长为1m的棒静止地放在O´x´y´z´平面内.在S´系的观察者测得此棒与轴成45º角.试问从S系的观察者来看,此棒的长度以及棒与Ox轴的夹角是多少?设想S ´系以速度 沿Ox轴相对S系运动. (2)收缩只发生在运动方向上,垂直方向上不发生收缩. (3)长度比较具有相对意义.只有物体相对静止且平行时,比较才绝对. (4)当 v<<c 时, 例题1 解:棒静止在S´系中的长度为l´

  29. 如图所示,一长为1m的棒静止地放在O´x´y´z´平面内.在S´系的观察者测得此棒与轴成45º角.试问从S系的观察者来看,此棒的长度以及棒与Ox轴的夹角是多少?设想S ´系以速度 沿Ox轴相对S系运动. y y v S S vt l ly θ´ lx O O x x 解:棒静止在S´系中的长度为l´ 例题1 S´系在S系Ox轴方向运动,收缩只在x方向上.y分量不变. 从S系看棒长为

  30. y y v S´系在S系Ox轴方向运动,收缩只在x方向上.y分量不变. S S vt l ly θ´ lx O O x x 从S系看棒长为 棒与Ox轴的夹角为 三.时间的延缓 代入数据有 l = 0.79m , θ = 63.43º. 考虑在S´系中(静止)发生于同一地点x´=ξ 的两事件. S´系看: 事件1: (x´1=ξ, t1 ) 事件2: (x´2=ξ, t2 )

  31. 棒与Ox轴的夹角为 代入数据有 l = 0.79m , θ = 63.43º. 考虑在S´系中(静止)发生于同一地点x´=ξ 的两事件. S´系看: 事件1: (x´1=ξ, t1 ) 事件2: (x´2=ξ, t2 ) 事件1: (x1 , t1 ) S系看: 三.时间的延缓 事件2: (x2 , t2) 由洛伦兹变换: 于是: 或者: 可见两事件时间间隔不等.

  32. 说明: (1)发生于同一地点,相对静止的系中测得的固有时间τ0 (Δt´)最短. Δt 运动时间—相对运动惯性系中测量的时间.( Δt= 事件1: (x1 , t1 ) S系看: 事件2: (x2 , t2) 由洛伦兹变换: 于是: 或者: 可见两事件时间间隔不等. γτ0 > τ0)大于静止时间, 或者说在运动参考系中测量事物变化过程，时间间隔变大，叫时间膨胀或时间延缓,也叫运动的时钟变慢. 反过来,S´系也认为S系运动而时钟变慢. 时钟变慢与时钟的结构无关.它是相对性效应.

  33. 说明: (1)发生于同一地点,相对静止的系中测得的固有时间τ0 (Δt´)最短. Δt 运动时间—相对运动惯性系中测量的时间.( Δt= γτ0 > τ0)大于静止时间, 或者说在运动参考系中测量事物变化过程，时间间隔变大，叫时间膨胀或时间延缓,也叫运动的时钟变慢. (3)当 v<<c时, 反过来,S´系也认为S系运动而时钟变慢. 时钟变慢与时钟的结构无关.它是相对性效应. (2)时钟快慢比较具有相对意义.只有两钟相对静止时,比较才绝对. 例题2.测得高能宇宙射线中的μ子平均寿命为 τ1=2.67×10-5s, 某实验室中产生的μ子平均寿命为τ2=2.2×10-6s. 设实验室中产生的μ子的运动速度v<<c.试按相对论估算宇宙射线中的速度,及其产生地离地面的高度.

  34. (2)时钟快慢比较具有相对意义.只有两钟相对静止时,比较才绝对.(2)时钟快慢比较具有相对意义.只有两钟相对静止时,比较才绝对. 例题2.测得高能宇宙射线中的μ子平均寿命为 τ1=2.67×10-5s, 某实验室中产生的μ子平均寿命为τ2=2.2×10-6s. 设实验室中产生的μ子的运动速度v<<c.试按相对论估算宇宙射线中的速度,及其产生地离地面的高度. (3)当 v<<c时, 解:μ子的固有时间τ0=2.2×10-6s 运动时为 τ1= γ τ0 故 在τ1时间内,μ子飞过和距离为 μ子的产生地离地面约8000m.

  35. 例题3. 解:μ子的固有时间τ0=2.2×10-6s 运动时为 τ1= γ τ0 故 由 解: （1） 在τ1时间内,μ子飞过和距离为 μ子的产生地离地面约8000m. 在惯性系S中，有两个事件同时发生在x轴上相距1000m的两点，而另一惯性系S ’中，（S ’沿x轴方向相对S运动）。测的这两个事件发生的地点相距2000m，求： （1）S ’系相对s的速度； （2）在S ’系中测的这两个事件的时间间隔。 有

  36. 例题3. 在惯性系S中，有两个事件同时发生在x轴上相距1000m的两点，而另一惯性系S ’中，（S ’沿x轴方向相对S运动）。测的这两个事件发生的地点相距2000m，求： （1）S ’系相对s的速度； （2）在S ’系中测的这两个事件的时间间隔。 由 解: （1） 有 则 v = 0.866c （2）

  37. 则 v = 0.866c （2） S´系 p = m v m0 A v´=-v B S系 碰前: m(v) m0 v B A u 碰后: M(u) u´=-u M(u) 一.动量与速度的关系 §5.相对论动力学基础*** 质点的动量 可证明 m0为静质量 v→c, m →∞; 以两个全同粒子完全非弹性碰撞为例,推证质量关系.

  38. 一.动量与速度的关系 质点的动量 可证明 S´系 p = m v m0为静质量 m0 v→c, m →∞; A 以两个全同粒子完全非弹性碰撞为例,推证质量关系. v´=-v B S系 碰前: m(v) m0 v B A u 碰后: M(u) u´=-u M(u) S系看, B粒子静止, A粒子速度为v，碰后成为一个粒子.速度为u §5.相对论动力学基础*** 满足质量守恒: m(v)+m0=M(u) m(v)v=M(u)u 动量守恒: 所以: S´系看,A粒子静止, B粒子的速度为-v, 碰后速度为 u´=-u 由速度变换公式:

  39. S系看, B粒子静止, A粒子速度为v，碰后成为一个粒子.速度为u 满足质量守恒: m(v)+m0=M(u) m(v)v=M(u)u 动量守恒: 所以: S´系看,A粒子静止, B粒子的速度为-v, 碰后速度为 u´=-u 由速度变换公式: 整理变形有： 解得： 因为 u < v, 故上式取正号． 解得：

  40. 4 3 2 1 0 0.2 0.4 0.8 1.0 0.6 物体的 静止质量。 相对于观察 者以速度 运动时的质 量。

  41. 整理变形有： 当有外力F 作用于质点时，有: 解得： 因为 u < v, 故上式取正号． 解得： 二．狭义相对论力学的基本方程 改造牛顿力学,使它在洛伦兹变换下不变. ——相对论基本方程 系统的动量守恒定律:

  42. 当有外力F 作用于质点时，有: 改造牛顿力学,使它在洛伦兹变换下不变. ——相对论基本方程 系统的动量守恒定律: 二．狭义相对论力学的基本方程 当质点运动速度远小于光速β(v/c)<<1 ——牛顿第二定律 ——经典力学的动量守恒

  43. 当质点运动速度远小于光速β(v/c)<<1 ——牛顿第二定律 ——经典力学的动量守恒 三.质量与能量的关系 由动能定理,外力的功等于质点动能的增量. 考虑一维情况 利用 得 即：

  44. 三.质量与能量的关系 由动能定理,外力的功等于质点动能的增量. 考虑一维情况 利用 得 即： 或者 m0c2为静能 mc2为总能 相对性动能表达式与经典力学中的动能表达式完全不同

  45. 或者 m0c2为静能 mc2为总能 相对性动能表达式与经典力学中的动能表达式完全不同 质能关系: 由

  46. 质能关系: 由 用E=mc2表示总能—质能关系 静能m0c2: 物体内能的总和. E=Ek+m0c2 如质量发生变化，则能量也发生变化 ΔE=(Δm)c2 质量亏损:核反应前后静质量之差:

  47. 用E=mc2表示总能—质能关系 静能m0c2: 物体内能的总和. E=Ek+m0c2 如质量发生变化，则能量也发生变化 ΔE=(Δm)c2 质量亏损:核反应前后静质量之差: 四.能量与动量的关系 由质量关系: 上式平方有: 两边乘c2(c2-v2)有

  48. 其中 E2 = m2c4 由质量关系: 上式平方有: E p2c2 质量 两边乘c2(c2-v2)有 m0c2 动量 p2c2=m2v2c2 四.能量与动量的关系 故 可用矢量三角形表示 E = pc 对于光子 m0=0 能量 E=hν

  49. 其中 E2 = m2c4 p2c2=m2v2c2 故 可用矢量三角形表示 E = pc 对于光子 m0=0 能量 E=hν E p2c2 质量 m0c2 动量 把电子的速度由0.9c增加到0.99c. 所需能量为多少?这时电子的质量增加多少? 例题3 解: 故

  50. 把电子的速度由0.9c增加到0.99c. 所需能量为多少?这时电子的质量增加多少? 解: 已知一个氚核 和一个氘核 可聚变成一个氦核 ,并产生一个中子 .试问在这个核聚变中有多少能量被释放出来. 故 =(7.0888-2.294) ×9.1×10 -31×9×1016 例题3 =3.93×10 -13J Δm=(γ2 - γ1)m0=4.37×10-30kg 例题4.

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