第八节曲线积分

第八节曲线积分 一、对弧长的曲线积分总假定：曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都有切线，且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动；分段光滑是指：曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成）。例如，圆周、抛物线都是光滑曲线；四边形的周线是分段光滑曲线。显然，光滑曲线或分段光滑曲线都是可求长的。 1. 对弧长的曲线积分的概念和性质

曲线的质量 设在xOy面上有一条质量不均匀的物质曲线段L 。假定在其上各点的质量线密度在L上是连续的。求曲线段L的质量m y B=Mn L （1）分割：在L上插入分点A=M0(x0,y0), M1(x1,y1),… ,Mn(xn,yn)=B,把L分成n个小弧段。其中第i个小弧段Mi-1Mi的长度记为 Mi Mi-1 M2 M1 A=M0 ( O x ( （2）近似:在Mi-1Mi 上任取一点，则

（3）求和： （4）取极限：（为最长的小弧段的长度）

定义设L为xOy面上的一条光滑曲线弧段，函数f(x ,y)在L上有界，用L上的点A=M0, M1, … , Mi-1,Mi,…,Mn-1, Mn=B将L分成n个小弧段Mi-1Mi (i= 1,2,…,n)，设第i个小弧段的长度为，记（即为n个小弧段的最大长度），点为第i个小弧段上的任意一点，如果极限存在，则称这个极限值为函数f(x ,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分，记作 ( 其中L称为积分曲线，f(x ,y)称为被积函数，ds称为曲线弧长元素

可以证明：当函数f(x ,y)在光滑曲线弧L上 连续时，总存在。以后总假定：f(x ,y)在L上连续。回顾：曲线的质量对弧长的曲线积分的性质：性质1 若改变L的方向，则对弧长的曲线积分值不变。即（L-表示与L相反指向的同一曲线弧）性质2 （其中L1+L2=L）

若L为封闭曲线弧（两端点A与B重合），则记 2. 对弧长的曲线积分的计算方法指出（证明从略）：弧长元素（微小切线段的长度）（1）L: （参数方程）,则（2）L: y=y(x) （普通方程），则

（3）L: x=x(y) （普通方程），则 例1 计算，其中L为圆x2+y2=a2在第一象限内的圆弧。 y B(1,2) 2 例2 计算，其中L 是由y2=4x，直线x=1及x轴所围的闭曲线（如图）。 1 A 1 x O

完全类似地，可定义三元函数f(x ,y,z)在空间曲线弧上的对弧长的曲线积分为注意到的参数方程为故不举例了。

二、对坐标的曲线积分 1. 对坐标的曲线积分的概念和性质变力沿曲线作功设有一质点位于平面力场 B=Mn y Mi L Mi-1 M2 M1 中,求质点沿光滑曲线弧L从A到B处,力场所作的功W A=M0 （1）分割：在L上插入分点A=M0(x0,y0), M1(x1,y1), O x … ,Mn(xn,yn)=B,将L分成n个小弧段（（2）近似：在Mi-1Mi 上任取一点 ,则

（3）求和： （4）取极限：

定义设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x ,y),Q(x ,y)在L上有界，用L上的点A= 存在，则称这个极限值为函数P(x ,y)在有向曲线弧L 上对坐标x的曲线积分，记作 . 类似地,若极限存在，则称这个极限值为函数Q(x ,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记为 M0(x0,y0),M1(x1,y1), … , Mn(xn,yn) =B, 将L分成 ( n个有向小弧段Mi-1Mi (i=1,2,… ,n).设 ( 在Mi-1Mi上任取一点。如果极限

即称P(x ,y), Q(x ,y)为被积函数，L为积分弧段。可以证明：当P(x ,y), Q(x ,y)在L上连续时，与均存在。（总假定：P, Q在L上连续）应用上常用组合积分

或写为向量形式： （其中）回顾：功对坐标的曲线积分的性质：性质1 （L-与L反向）性质2 (L=L1+L2) 封闭曲线积分记号：

布置作业： P238: 1. 2. 3. 4.

第八节 曲线积分