Единый Государственный Экзамен

1. Единый Государственный Экзамен Математика - 2014 Малюгин Николай Иванович учитель математики МАОУ Боровская СОШ № 1

2. С 4 Многоконфигурационная планиметрическая задача

3. Две окружности касаются внешним образом в точке K . Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

4. D С К O1 O2 H В М А

5. Решение. а) Обозначим центры окружностей О1 и О2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в Точке K , пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана Равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

6. Вписанный угол AKD — прямой, Поэтому он опирается на диаметр AD . Значит, AD AB. Аналогично получаем, что BC AB . Следовательно, прямые AD и BC параллельны. б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен1. Треугольники BKC и AKD подобны. Пусть , тогда

7. У треугольников AKD и AKB общая высота АК, следовательно, , т.е. . Аналогично Площадь трапеции ABCD равна 4S. Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр О2Н = АВ Из прямоугольного треугольника О1НО2 по теореме Пифагора найдем О2Н:

8. Тогда Следовательно, 25S = 20, S=0,8 Ответ: 3,2.

9. С 5 Уравнения, неравенства, системы с параметром

10. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции больше1

11. Определение: а, если а 0, ≥ |а| = - а, еслиa < 0

12. 1 случай Пусть , т.е. , то Это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии параболы Тогда возможны следующие случаи:

13. 1 7 1 7 1 7 1 7

14. 2 случай Пусть , т.е. , то Это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии параболы Тогда возможны следующие случаи:

15. 1 7 1 7

16. Следовательно, нужно решить систему неравенств: а). Если , то -3 3

17. б). Если , то 3