第四章 中值定理与导数的应用

1. 第四章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性的判别法 第四节 函数的极值 第五节 函数的最值 第六节 曲线的凹凸性与拐点 第七节 函数图形的描绘

2. 第一节 中值定理 一、罗尔中值定理 定理1如果函数 f(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b）内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，则在(a,b)内至少 有一点ξ ，使 f ′(ξ)=0. 罗尔定理的几何解释: 如图4-1所示.连续曲线y=f(x)在区间(a,b)内每点都 有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等，则至少 在一点处的切线是水平的.

4. 例1验证函数f(x)=(x-1)(x -3) 在闭区间[1,3]上满足罗 尔定理的条件，并求ξ ． 解 （1）f(x)在闭区间[1,3]上连续； （2）在开区间（1,3）内可导，且f′(x)=2x-4， （3）两端点函数值相等，即f(1)=f(3)=0， 即f(x)在[1,3]上满足罗尔定理的三个条件. 因此, 在(1,3)内至少有一点ξ ，使f ′(ξ)=2ξ-4=0， 可知 ξ =2. 注意: 罗尔定理的条件有三个，若缺少一个条件，则结论不 一定成立. 如下图所示.

6. 二、拉格朗日中值定理 定理2 如果函数 f(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b）内可导； 则在(a,b)内至少有一点ξ ，使 f(b)-f(a)=f ′(ξ)(b-a). 拉格朗日定理的几何解释： 把 f(b)-f(a) = f ′(ξ)(b-a)写成 [f(b)-f(a)]/ (b-a) =f ′(ξ), 如下图所示,数值[f(b)-f(a)]/ (b-a)表示弦AB的斜率， 而f ′(ξ)表示曲线在C点的切线斜率.拉格朗日定理表明 在定理的条件下，该曲线上至少有一点C，在该点的切线平 行于弦AB.

8. 推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零，推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零， 则f(x)在区间(a,b)内是一个常数. 证 在(a,b)内任取两点x1, x2， 在区间[x1, x2]上应用拉格朗日定理，在与之间有ξ 使得 f (x2)- f (x1 )= f ′(ξ)(x2 - x1 )， 由已知 f ′(ξ) =0,得 f (x1 )= f (x2), 所以 f(x) =C （ C为常数）.

9. 推论2 如果在区间(a,b)内, f′(x)= g′(x),则f(x)=g(x)+C （C为常数）. 证 令F(x)=f(x)-g(x), 则F′(x)≡0, 由推论1知，F(x)在 (a,b)内为一常数C，即 f(x)-g(x)=C，x∈(a,b). 例2 证明：|sinx-siny|≤|x-y|. 证 设f(t)=sint,在区间[x,y]上应用拉格朗日定理，有ξ ∈ (x,y)使得 sinx-siny =(cos ξ )(x-y), 因此， |sinx - siny|=|cos ξ ||x-y |≤|x-y|.

10. 例3 证明：当x>0时, ln(1+x)<x. 证 设函数f(t)=lnt，在区间[1,1+x]上应用拉格朗日定理， 有 ln(1+x)-ln1=x/ξ， 其中 1< ξ<1+x， 所以 ln(1+x)<x.

11. 例4证明 arcsinx+arccosx=π/2 (-1≤x≤1). 证 设f(x)=arcsinx+arccosx, 当-1<x<1时，f′(x)=0 ,由推论1知， f(x)=arcsinx+arccosx=C（C为常数）． 不妨设x=0，得 C=f(0)=arcsin0+arccos0= π/2. 又当x= -1,x=1时,有 f(-1)=arcsin(-1)+arcos(-1)=π/2, f(1)=arcsin1+arccos1= π/2 +0= π/2. 所以 arcsinx+arccosx= π/2 (-1≤x≤1).

12. 三、柯西中值定理 定理3如果函数f(x)与g(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b）内可导，且 g′(x)≠0, 则在(a,b)内至少有一点ξ，使 [f(b)-f(a)]/[g(b)-a)]=f′(ξ)/g′(ξ). 注意 在柯西定理中，令g(x)=x，则得到拉格朗日定理. 罗尔定理是拉格朗日定理的特例，柯西定理是拉格朗日定 理的推广. 要求：记住定理的条件和结论．

13. 第二节 洛必达法则 一、 型和 型未定式 当x→a(或x → ∞)时，两个函数f(x)与g(x)都是无穷小，它 们比值 的极限可能存在也可能不存在, 通常称 这种比值的极限为 型未定式. 当x→a(或x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都是无穷大，它们 比值 的极限可能存在也可能不存在,通常称这种 比值的极限为 型未定式.

14. 定理（洛必达法则）如果函数 f(x)和g(x)在a 的某 个空心邻域内可导，且 （1） f(x)= g(x)=0； （2）在a 的某个空心邻域内， 都存, 且 ≠0； （3） (A为常数或为无穷大)， 则

15. 说明 （1）定理中将“x→a”改为“ x→∞”，洛必达法则仍然成立. （2）定理中将“在a的某个空心邻域内可导”改为“有某个正数X,当|x|>X时”，条件(1)改为“limf(x)=limg(x)=∞”, 洛必达法则仍然成立.因此，洛必达法则既适用于 型未定式，又适用于 型未定式.

16. 例1 计算 解 这是 型. 例2 计算 解 这是 型.

17. 二、其他型未定式 除0/0、∞/∞型未定式外，还有0·∞、∞-∞、1、0、∞五种类型未定式，通常是将其变形为型未定式或型未定式,再考虑应用洛必达法则. 例3 计算 解 这是0·∞型.

18. 例4 计算 解 这是∞-∞型.

19. 例5 计算 解 这是 型. 因为 , 且 是 型未定式， 所以

20. 例6 计算 解 因为 不存在，不满足洛必达法 则的条件，所以不能应用洛必达法则. 但是

21. 第三节 函数单调性的判别法 定理（函数单调性的判别法） 设函数f (x)在[a ,b]上连续，在(a ,b）内可导, (1)如果函数f (x)在（a ,b）内>0，则f (x)在[a ,b]上单调增加； (2)如果函数f (x)在（a ,b）内<0，则f (x)在[a ,b]上单调减少. 证 在[a ,b]上任取两点 ,不妨设 在 上应用拉格朗日定理，有 因为 所以 ，即函数 上单调增加. 的情况可类似证明.

22. 例1 讨论函数 的单调性. 解 定义域为(-∞,+∞)，

23. 例2证明： 证 设 f (x) 在区间[1,+∞）上连续. 在区间（1,+∞）内， 所以 f (x)在区间[1,+∞）上单调增加. 由单调增加的定义知， 当x>1时， f (x) > f (1) =0， 所以，当 x>1时，

24. 第四节 函数的极值 一、极值的定义 设函数 f (x)在 (a ,b）内有定义, 是 (a ,b）内 的点．如果如果对　 的某邻域内任何点　　　 恒有　　　　　 则称 是 f (x) 的极大值，点 是极大值点； 如果对 的邻域内任何点 恒有 则称 是 f (x) 的极小值，点 是极小值点. 注意 （1）函数的极值是局部性概念，函数在一个区间上可能有多个极大值（或极小值），有的极大值可能比极小值还小； （2）函数的极大值（或极小值）不一定是整个定义域上的最大值（或最小值）.

25. 如图4-6所示，是极小值．

26. 二、极值的求法 定理1(必要条件）设函数 f(x)在点可导且取得极值 f(x),则 f(x)=0. 定义2 注意 可导函数的极值点一定是驻点.反之，驻点不一定是极值 点. 一般来说，对于一个连续函数，它的极值点可能是驻点，还 可能是导数不存在的点. 函数的驻点和不可导点统称为可能极值 点.

27. 定理2(第一充分条件) 设连续函数 f (x)在点 的某空心邻域内可导， 求函数极值的一般步骤： （1）求导数 （2）求出 （3）考察（2）中的每个点是不是极值点(可用（2）中的点将定义 域划分为若干区间，考察各区间内函数的单调性，并求出极值点)； （4）求出各极值点处的函数值，即得函数的全部极值.

28. 例1 求函数 的极值. 解 定义域为(-∞,+∞)，

29. 例2 求函数 解 定义域为(-∞,+∞)，

30. 注意 求函数的极值点，应先求函数的可能极值点（驻点和不可 导点），再用极值的充分条件来判定. 极值存在的第一充分条件 既适用于在可能极值点处可导，也适用于在可能极值点处不可导 的函数. 极值存在的第二充分条件只适用于在驻点处二阶导数存 在且不为零的函数.

31. 第五节 函数的最大值和最小值 一、函数 f (x) 在闭区间[a , b] 上连续，且至多存在有限个可能极值点 在 [a , b] 上连续的函数 f (x)，一定存在最大值和最小值. 这时f (x) 在 [a , b] 上的最大值点和最小值点一定是区间的端点或可能极值点. 求法如下： (1) 求函数f (x) 在 (a ,b）内的所有驻点和导数不存在的点； (2) 计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函数值，其中最大者就是极大值，最小者就是极小值．　　　　　

32. 例1 解

33. 二、函数 f (x) 在一般区间（包括无穷区间）上连续，且有惟一的可能极值点 如果惟一的可能极值点是函数的极大（小）值点，则它也是函数的最大（小）值点. 在最大（小）值的实际应用问题中，所讨论的函数往往是只有一个驻点的情形．而根据问题的实际意义，可以断定函数在定义区间内一定取得最大（小）值，所以，可以直接断定该惟一驻点就是函数的最大（小）值．

34. 例2 有一块宽 2a 的长方形铁片，将宽的两个边缘向上折起， 做成一个开口水槽，其截面为矩形，高为 x. 问 x 取何值时 水槽的流量最大？ 解 设两边各折起 x, 则横截面的面积为

35. 例3 由电动势E、内电阻r与外电阻R构成的闭合电路（如图），E与r的值已知.问当R多大时，能使输出功率最大？ 解 由电学知道，通过R的功率为 P = I R ， 其中回路电流 I 为

36. 第五节 函数的最大值和最小值 一、函数 f (x) 在闭区间[a , b] 上连续，且至多存在有限个可能极值点 在 [a , b] 上连续的函数 f (x)，一定存在最大值和最小值. 这时f (x) 在 [a , b] 上的最大值点和最小值点一定是区间的端点或可能极值点. 求法如下： (1) 求函数f (x) 在 (a ,b）内的所有驻点和导数不存在的点； (2) 计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函数值，其中最大者就是极大值，最小者就是极小值．　　　　　

37. 例1 解

38. 二、函数 f (x) 在一般区间（包括无穷区间）上连续，且有惟一的可能极值点 如果惟一的可能极值点是函数的极大（小）值点，则它也是函数的最大（小）值点. 在最大（小）值的实际应用问题中，所讨论的函数往往是只有一个驻点的情形．而根据问题的实际意义，可以断定函数在定义区间内一定取得最大（小）值，所以，可以直接断定该惟一驻点就是函数的最大（小）值．

39. 例2 有一块宽 2a 的长方形铁片，将宽的两个边缘向上折起， 做成一个开口水槽，其截面为矩形，高为 x. 问 x 取何值时 水槽的流量最大？ 解 设两边各折起 x, 则横截面的面积为

40. 例3 由电动势E、内电阻r与外电阻R构成的闭合电路（如图），E与r的值已知.问当R多大时，能使输出功率最大？ 解 由电学知道，通过R的功率为 P = I R ， 其中回路电流 I 为

41. 第六节 曲线的凹凸性与拐点 一、曲线的凹凸性的定义 设曲线 f (x) 在(a, b)内各点都有切线，在切点附近如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 f (x) 在（ a, b）上是凹的．如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线　f (x) 在（ a, b）上是凸的.

42. 曲线凹凸的判别法： 　　设函数 f (x) 在(a, b)内具有二阶导数， (1) 如果在(a, b)内　　　　　 二、曲线的拐点 　　连续曲线 y= f (x) 上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点．

43. 例1 求曲线　　　　　　　　的凹凸区间和拐点. 解 定义域为(-∞,+∞)，

44. 例２ 求曲线　　　　　　　的凹凸区间和拐点. 解 定义域为(-∞,+∞)，

45. 第七节 函数图形的描绘 一、曲线的水平与垂直渐近线

46. 例1 求曲线　　　　　　　 的水平与垂直渐近线. 解

47. 　二、函数图形的描绘 　　利用函数导数的符号可以判定函数曲线的升降和凹凸，并可求出函数的极值点和拐点，再由曲线的渐近线，就可以比较准确地描绘出函数的图形． 　 描绘函数图形的一般步骤： (1) 确定函数的定义域；　

48. 例2 描绘函数　　　　的图形. 解 (1)定义域为(-∞,+∞)．函数是偶函数，图形关于 y 轴对称，只需讨论（０，+∞）上的图形．