函数 y= A sin( x + ) 的图象

函数 y=Asin(x+)的图象

物理背景 在物理中,简谐振动中如单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都是常数）. 函数y＝Asin(ωx＋φ)， (其中A>0, ω >0)表示一个振动量时， A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数，

称为振动的频率； 称为相位；x=0时的相位φ称为初相。

知识回顾: 1 - - -1 在函数的图象上，起关键作用的点有： - -1 最高点：最低点：与x轴的交点：在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。

x 新课讲解: 例1、作函数及的图象。解：1.列表

y 2 1 2  O x y= sinx 1 2 2. 描点、作图： y=2sinx y=sinx 周期相同

y= sinx 一、函数y=Asinx(A>0)的图象 y y=2sinx 2 1 2  O x 1 A

结论一 函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx，x∈R的值域为[-A,A]，最大值为A，最小值为-A.

x y 2 1 2 3 O 1 2 例2、作函数及的图象。 1. 列表： 2. 描点： y=sinx 连线:  x y=sin2x

y 1 2 3 4  x O 1 y=sin x 1. 列表 0 1 0 -1 0 2. 描点作图： y=sinx

y=sin x y 1 2 3 4  x O 1 y=sinx y=sin2x

y=sin x y 1 2 3 4  x O 1 y=sin x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）。二、函数y=sinx(>0)的图象 y=sin2x y=sinx

结论二 函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的倍(纵坐标不变) 而得到的。练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：

x 0 1 0 -1 0 y 1 2 x  O 1 例3 、作函数及的图象。作图

1 2 x  O 1 三、函数y=sin(x+φ)图象结论三函数y=sin(x+φ)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的。思考：函数y=f(x)与函数y=f(x+φ)的图像有何关系？

例4 作函数及 的图象。 x 0 1 0 -1 0 y 1  x O 1 四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系作图 y=sin2x

y 1  x O 1 y=sin2x 四、函数y=sinωx与y=sin(ωx+φ)图象的关系结论四?

思考：函数与 的图像有何关系？结论四 函数y=sin (x + )( >0且≠1)的图象可以看作是把 y=sin x的图象向左 (当 >0时)或向右(当 ﹤0时)平移个单位而得到的。提示：由于我们研究的函数仅限于 >0的情况，所以只需要判断的正负即可判断平移方向

思考：如果先伸缩变换再平移变换，如何能得到？思考：如果先伸缩变换再平移变换，如何能得到？

纵坐标不变，横坐标 变为原来的倍向左或向右平移个单位纵坐标不变，横坐标变为原来的倍向左或向右平移个单位横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍

解：（画法一） 1、先把正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到的图像。 2、把后者所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到的图像。 3、把所得的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，而得到函数的图像。

解：（画法二） 1、先把后者所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的图像。 2、再把正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到的图像。 3、再把所得的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，而得到函数的图像。

③ y=sin(x- )① ② y=sinx y 3 2 1 o 2 x -１ -2 -3

y 2 x O -2

解：设 ,则 数学应用: 例题若函数表示一个振动量： ⑴求这个振动的振幅、周期、初相； ⑵不用计算机和图形计算器，画出该函数的简图； ⑶根据函数的简图，写出函数的单调区间.

（2）描点 y 3 x O -3 （3）连线

解：求单调增区间，可令 解得：求单调减区间，可令解得：原函数的单调递增区间为：单调递减区间为：

函 数 y= A sin( x + ) 的图象