二項式定理

1. 二項式定理 機率概念與應用網路學習研究

2. 在國中曾學過二項和的平方公式為 ，但對於二項和立方公式 則未學過公式，但我們可以利用下式推導來找出結果：

3. 我們想知道如果要推廣二項和的四次方、五次方或更一般的二項和之n次方， 它的展開式是否有一般的公式呢？

4. 可視為４個 的連乘積， 即 第1個 第2個 第3個 第4個

5. 展式中共有五項，分別為 故一般項可寫成 的形式，其中 。 我們想瞭解一般項的係數是如何產生的？

6. 先看 之係數：因為 是表示 在四個 項的連乘積中有三項 選 ，一項選 ，即：

7. 所以 的展式中 項的係數為４，是由三個相同的 與一個 做相同事物的排列而得，或可視為四個 中選出三個 的組合方法(或四個 中選出一個 的組合方法數)。 故 的係數為

8. 同理， 可視為４個 中選４個(或4個 中選0個)的組合數，故 項係數為 。 用組合的符號來表示 的展式： • 由4次的展式可推廣到一般 的二項式定理。

9. 二項式定理 (Binomial Theorem ) 對任意二實數a、b及正整數n

10. 例題1. 求 的展開式。 解答：

11. 例題2. 求 的展開式。 解答：

12. 例題3. • 求         的展式中常數項的係數與   係數 • 解答： • 令 則 k＝4         • 故常數項係數為 • 令              則 k＝1 • 故    項的係數為                       

13. 二項式定理是指 (a + b)n在n為正整數時的展開式。(a + b)n的係數表為： 1 1    1 1     2     1 1     3     3     1 1     4     6     4     1 1     5     10     10     5     1 1     6     15     20     15     6  1

14. 有人將該係數表稱為「賈憲三角」，一般認為是北宋數學家賈憲所首創。一般卻將之稱為「帕斯卡三角形」，因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。無論如何，二項式定理的發現，在我國比在歐洲至少要早300年。有人將該係數表稱為「賈憲三角」，一般認為是北宋數學家賈憲所首創。一般卻將之稱為「帕斯卡三角形」，因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。無論如何，二項式定理的發現，在我國比在歐洲至少要早300年。

15. 二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，及差分法中廣泛的被應用，因此可知二項式定理之重要。二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，及差分法中廣泛的被應用，因此可知二項式定理之重要。

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