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第 二 章 初等模型

第 二 章 初等模型. 2.3 划艇比赛的成绩 2.6 交通流与道路通行能力 2.8 扬帆远航. 初 等 模 型. 研究对象的机理比较简单. 可以利用初等数学方法来构造和求解模型. 研究对象难以从机理上建模. 只能建立测试分析（数据拟合）模型. 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎. 剑桥和牛津一年一度的划艇. 赛艇 2000m 成绩 t ( m in ) 种类 1 2 3 4 平均

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第 二 章 初等模型

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  1. 第二章 初等模型 2.3 划艇比赛的成绩 2.6 交通流与道路通行能力 2.8 扬帆远航

  2. 初 等 模 型 • 研究对象的机理比较简单 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 • 研究对象难以从机理上建模 只能建立测试分析（数据拟合）模型 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.

  3. 剑桥和牛津一年一度的划艇

  4. 赛艇 2000m成绩 t (min) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 艇长l 艇宽b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 空艇重w0(kg) 桨手数n 16.3 13.6 18.1 14.7 l /b, w0/n基本不变 2.3划艇比赛的成绩 对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系. 试建立数学模型揭示这种关系. 问题 准备 调查赛艇的尺寸和质量 你同意吗？ 有点牵强喔

  5. 前进 动力 划桨 功率 桨手数量 赛艇 速度 前进 阻力 浸没 面积 赛艇 速度 艇 重 问题分析 分析赛艇速度与桨手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定: • 前进动力 ~ 桨手的划桨功率 • 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 • 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. • 运用合适的物理定律建立模型.

  6. v (n/s)1/3 np fv, f sv2, AW(=w0+nw)n sn2/3 s1/2A1/3, vn1/9 比赛成绩tn– 1/9 模型假设 符号：艇速 v, 浸没面积s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率p, 桨手体重w, 艇重 W. 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 流体阻力公式 f=ksv2 2）v是匀速，阻力 f与 s及v2成正比 3）桨手无差别，p与w均为常数 总功率 模型建立 艇形状、材料相同

  7. 利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn– 1/ 9 进行检验. • • t nt 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 • 7.21 • 6.88 6.32 O 5.84 n 1 8 2 4 线性最小二乘法 模型检验 课本算错啦！ 与机理模型基本吻合！

  8. 模型检验 n=1,2,4,8, 代入模型 计算t, 与真实数据比较，误差很小。

  9. 最小二乘拟合原理 非线性最小二乘：求a和b使得误差平方和 达到最小。非线性函数极值问题(解非线性方程组) 。 线性化最小二乘：求loga和b使得误差平方和 达到最小。二次函数极值问题(解线性方程组)。

  10. Matlab程序 线性最小二乘 n=[1 2 4 8]; t=[7.21 6.88 6.32 5.84]; logn=log(n);logt=log(t); c=polyfit(logn,logt,1); a=exp(c(2)),b=c(1) t2=a*n.^b %结果=7.284, =-0.1035 非线性最小二乘 n=[1 2 4 8]; t=[7.21 6.88 6.32 5.84]; fun=@(c,n)c(2)*n.^c(1) ; c=lsqcurvefit(fun,[7,-0.1],n,t) ; a=c(2),b=c(1) %结果=7.275, =-0.1021

  11. 划艇比赛 小结 • 对实际数据做比较分析，发现并提出问题. • 利用物理基本知识分析问题. • 利用合适的物理定律建模. • 用数据拟合未知参数（最小二乘法） • 检验：模型结果与实际数据基本吻合 • 缺点：模型假设比较粗糙.

  12. 大城市病：塞车

  13. 2.6 交通流与道路通行能力 背景和问题 现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象，在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长的汽车队伍等待放行. 通过信号灯控制等管理手段提高道路通行能力，已经成为城市交通工程面临的重要课题之一. • 介绍交通流的基本参数及它们之间的关系; • 讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通行能力.

  14. 模型一：Greenshields交通流模型(1935) 交通流~ 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响. 借用物理学概念, 将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体, 用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性. 流量q~某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆/h ) 速度v ~某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h) 密度k~某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆/km ) 3个参数之间的基本关系

  15. 车流密度加大 司机被迫减速 模型一：Greenshields交通流模型(1935) 速度v 与密度k 的关系 线性模型 适合车流密度适中的情况 vf ~畅行车速(k=0时) kj~阻塞密度(v=0时) 对数模型 车流密度较大时适用 v1~ k=kj/e时的车速(理论上), 由观测数据确定. 指数模型 车流密度较小时适用 上述结论可利用微分方程理论证明。见刘来福《数学模型与数学建模》，北京师范大学出版社。

  16. 流量q qm 0 kj km 速度v vf vf vm vm 0 qm km kj 0 密度k 流量q 线性模型的流量-速度-密度关系 km=kj/2 ~最大流量时的密度 vm=vf/2 ~最大流量时的速度

  17. 模型二：城市干道的通行能力 道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. • 交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态 • 交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，出现交通拥堵. 饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度. 城市干道的通行能力~在理想的道路和交通条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数N (辆/h).

  18. 城市干道的通行能力 单位时间内通过的最大车辆数N v~车速(km/h)， d~最小车头间隔(m) • d 主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关. d1~刹车时司机在反应时间t0内汽车行驶的距离. d2~刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离. c~与路面阻力、车重、湿度、坡度等有关的系数. d3~两车之间的安全距离，d4~车辆的标准长度.

  19. 城市干道的通行能力 最大通行能力 交通工程的专业教材: 司机刹车的反应时间t0 =1s，系数c=0.01,安全距离d3=2m，小型车辆的标准长度d4=5m. 当t0，c，d3，d4变大时最大通行能力Nm减小.

  20. 常数 制动距离与车速的模型 制动距离：制动器作用力、车重、车速、道路、气候… 设计制动器的合理原则： 最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动. 模型假设 刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比. F d2= m v2/2 F m

  21. 北 西 东 南 模型三：信号灯控制的十字路口的通行能力 典型的十字路口 东西方向有3条车道：左转、直行、直右混行 南北方向有2条车道：左转、直右混行 信号灯控制采用4相位方案 相位D 相位A 相位B 相位C

  22. 信号灯控制的十字路口的通行能力 • 假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时间间隔通过停止线. 某一相位下每小时通过停止线的最大车辆数(单行道) S (辆/h) T(s)~信号灯周期， tg(s)~某相位的绿灯时间. t0(s)~绿灯后第1辆车通过停止线的时间. ts(s)~直行或右转车辆通过停止线的时间. ~反映车辆通过路口不均匀性的折减系数.

  23. t0=2.3s，ts=2.5s(小型车辆)~3.5s(大型车辆)， 对直行或右转=0.9(左转更小) 调整4个相位的绿信比, 使GA:GB:GC:GD qA:qB:qC:qD 信号灯控制的十字路口的通行能力 每小时通过停止线的最大车辆数 G=tg/T~绿灯时间与信号灯周期之比(绿信比) Q= 3600/ts~小时流量(按每ts(s) 通过一辆车计算) 实地调查高峰时段 4个相位通行的实际流量qA, qB, qC, qD

  24. 上海交警发明“左转弯待转区”； MCM2009竞赛题A：环岛城市交通 CUMCM2013竞赛题A：车道被占用对道路通行能力的影响 交通流问题的扩展

  25. 习题 P56 ex7, ex8 补充题：作出交通流对数模型、指数模型的流量-速度-密度关系示意图，并求最大流量。

  26. 帆船比赛

  27. 航向 北 帆船  风向 帆  确定起航时的航向以及帆的朝向 . A B 2.8 扬帆远航 海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点。 先向东北，再向东南。

  28. p2 w=w1+w2 p1 p w1=f1+f2  w w1 f1 w2 f2 • 风(通过帆)对船的推力w 模型分析 水的阻力呢？ • 风对船体部分的阻力p 推力w的分解 f1~航行方向的推力 阻力p的分解 p=p1+p2 p1 ~航行方向的阻力 • w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且s1远大于s2 . 模型假设

  29. p2 p1 p v  w w1 f1 w2 f2 v1 模型假设 • w2与帆面平行，可忽略. • f2, p2垂直于船身，可由舵抵消. • 航向速度v与力f=f1–p1成正比. w=ks1, p=ks2 模型建立 w1=wsin(–) f1=w1sin=wsin sin(–) p1=pcos v=k1(f1–p1) 船在正东方向速度分量v1=vcos

  30. p2 p1 p v  w w1 f1 w2 f2 v1  = /2 时 f1=w(1–cos)/2最大 模型建立 = k1(f1–p1)cos v1=vcos f1=w1sin=wsin sin(–) p1=pcos 模型求解 求, ,使 v1最大 1) 当固定时求使f1最大 f1=w[cos(–2)–cos]/2 2) 令 = /2, v1=k1 [w(1–cos)/2–pcos]cos  求使v1最大（w=ks1, p=ks2）

  31. v1最大 v1=k1 [w(1–cos)/2–pcos]cos  模型求解 =(k1w/2)[1–(1+2p/w)cos]cos  w=ks1, p=ks2 记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 s1>>s2 s1>2 s2 1< t < 2 1/4<cos <1/2 60º<  < 75º 当s1>> s2很小， 60º

  32. 结论和讨论 讨论起航时的航向和帆角 =/2. 60º <  < 75º 当s1>> s2很小， 60º 注意：航行过程中终点B将不在正东方，应调整和 . 先向东北，再向东南。 补充习题：（1）起点 =0是否可以？（2）终点B不在正东方时，怎样确定和？（3）最优航行线路？（4）考虑水的阻力？

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