爱 因 斯 坦

1. 爱 因 斯 坦 A.Einstein

2. §1 狭义相对论基本原理 一、以太 以太：绝对静止的参照系。 任何惯性系，对于描写机械运动规律 都是等价的。 F = ma 无法用力学实验的手段来确定以太。 是否可以借助光学实验的手段来发现 以太呢？

3. 二、迈克耳逊——莫雷实验 M 2 u M S * 1 地球相对以太的速度 （大于公转速度） u 迈克耳逊——莫雷希望利用干涉仪，测 出地球相对于以太的运动速度。

4. 地球相对以太的速度 u 但是，实验的结果: u = 0。 说明： 绝对参照系以太是不存在的；

5. 三、狭义相对论基本原理 1. 相对性原理：在所有惯性系中, 物理 定律的表达形式都是相同的。 所有惯 性系都是等价的。 2.光速不变原理：在所有惯性系中，自 由空间（真空）中的光速具有相同的量值c 。 在任一惯性系中所测得的真空中的光速 都是相等的。

6. §2 洛仑兹变换 k k ´ u ´ O O u x ´ x β = 设： c x u t x ´ = 2 β 1 y y ´ = z z ´ = t x u c 2 ´ t = 2 β 1 一、洛仑兹变换 在t = 0时刻两参照系的坐标重合，k´系相对于k 系以速率u 沿k´系的x 轴正方向运动 洛仑兹坐标变换式

7. 逆变换 正变换 k k ´ k´ k x u t x ´ u t ´ + x x ´ = = 2 2 β β 1 1 y y ´ = y y ´ = z z ´ = z z ´ = ´ ´ u t x t x + u c c 2 2 ´ t = t = 2 2 β β 1 1

8. 讨论： x x u t ´ = x u t x ´ = 2 β 1 当 u u c < < β = c ´ t t = t x u c 2 ´ t = 0 β 2 β 1 y y y y ´ ´ = = u c 则洛仑兹变换退化为伽利略 若 1. < < z z z z ´ ´ = = 变换即相对论包括了经典力学的内容。 2. ∵ (1-β2)>0 ∴β<1 ∴ u <c ∴光速是相对运动的极限速度。 3.在洛伦兹变换中时间和空间密切相关， 它们不再是相互独立的。

9. 二、 k k ´ u d z d x d y v v v = = = v y z x d t d t d t ´ O O x ´ x d y d z ´ ´ d x ´ v v ´ ´ = = v ´ = y z d t d t ´ ´ x d t ´ 相对论速度变换公式 在k系中的速度表达式为： 在k ´系中的速度表达式为：

10. x u t t x 由坐标 变换式： u c 2 x ´ ´ = d x t = ´ v ´ = 2 1 β β 2 1 x ´ d t 1 u ) d t ( d t d x ´ = c 2 2 1 β d x u d t v u 1 x ) d x = ( d x u d t = ´ = u u v 2 1 d t d x 1 β c x 2 c 2 v v β β 2 2 1 1 v v ´ ´ y z = = u u y z v v 1 1 c c x x 2 2 两式微 分得到： 同样 可得到：

11. 相 对 论 速 度 变 换 式 v u v x ´ = u x v v ´ u 1 + v x c = x 2 u x v 1 + ´ c x 2 v β 2 正变换 逆变换 1 k k ´ k ´ k v ´ y = u y v β 2 v 1 1 ´ v y c = x 2 u y v 1 + ´ c x 2 v β 2 1 v ´ z = u z ´ v β 2 v 1 1 v z c = x 2 u z v 1 ´ + c x 2

12. 设飞机以光速飞行，飞机上的灯光 以光速向前传播。 求：飞机上灯光对地球的速度。 [例1] k’ c u = c v ´ u + v x = k u x v 1 + ´ c x 2 ´ v c u c = = x c c + c = = c 1 c + c 2 解： 光速不变

13. 设飞船A及B分别以 o.9c 的速度沿 相反方向飞行。 试求：飞船 A 相对于飞船 B 的速度。 [例2] v ´ u y + y ´ v x 中 国 航 天 = u x v 1 + ´ c 中 国 航 天 x 2 x 0.9c o x ´ 0.9c o ´ ´ v 0.9c u 0.9c = = x 0.9c + 0.9c 0.994c = = 1 0.9×0.9 + A B 若按伽利略速度变换 vx=1.8c

14. 在实验室参照系中两个质点互成直角地运动，其中一个质点的速度为 v1，另一个的速度为 v2。求：(1)在实验室参照系中两质点互相靠拢的速度； 2 2 2 2 v = vx + vy = v1 + v2 [例3] (2) 它们的相对速度。 解：(1) ∵ v1 、v2 在实验室参照系的速度 ∴ 求在实验室系中两质点靠拢的速度 不涉及参照系的变换

15. (2) 它们的相对速度。 k v2 v1 v ´ x v u x = u v 1 = v2 c x 2 2 2 1-v1 /c v β 2 1 v ´ y = 2 2 2 2 2 v = v1 + v2 -v1v2 /c u y v 1 c x 2 以 1 号作为 k′系 u = v1 vx = 0， vy = v2 = -v1

16. §3 处同时发生两事件 在 、 x x 中 t t k = 1 2 1 2 x 事件1： ( t ) ， ´ k k 1 1 粉 笔 落 地 小 球 落 地 u x 事件2； ( t ) ， 2 2 ´ 在 中 这两事件 k t t 1 2 x x 1 2 x t u c 2 ´ t 1 = 1 1 β 1 2 狭义相对论的时空观 一、同时性的相对性 是否同时发生？

17. x t u c 2 1 ´ t = 1 1 1 β 2 u Dt Dx c 2 Dt´ ´ = 1 β 2 u Dx c 2 ¹ 0 = 1 β 2 即： t t ´ ¹ ´ 2 1 ´ 在 中 这两事件 并不同时发生。 k 所以，同时 是相对的。

18. u ´ Dt Dx k k c 粉 笔 落 地 小 球 落 地 2 Dt´ u ´ = 1 β 2 t t 1 2 x x 1 2 u 只要 在 k´系中是同时发生。 Dt = Dx c 2 讨论： 1. 在 k系中，同时、同地发生的事件 在 k′系中必同时发生。 2. 在 k系中，同时但不同地发生的事件 且是 k 系 在 k′系中必不同时发生， 运动方向后方的事件先发生。 3. 在 k系中，不同时不同地发生的事件，

19. 先开枪，后鸟死 在 中： k ´ 在 中： 是否会先鸟死，后开枪？ k v ( ) 子弹 后 x t ， x ( t ) ， 前 2 2 1 1 在 中： t t k > 2 1 二、因果律 时序: 两个事件发生的时间顺序。 鸟死 开枪 事件1： 事件2：

20. 在 ´ 中： k x t u c Dx 2 u ´ Dt (1 ) 1 t = 1 c Dt β 1 1 2 2 = 1 β 2 u Dt Dx c 2 Dt´ ´ = 1 β 2 子弹速度 u v Dt 1 ( ) c x x 2 ( ) 0 > = 2 1 v = 1 β t t 2 ( ) 2 1 u c 因为 v 2 > 信号传递速度 t t ´ 所以 ´ > 2 1 在 中：仍然是开枪在前，鸟死在后。 ´ k 所以由因果率联系的两事件的时序不会颠倒。

21. 三、时间膨胀 ´ k k 系 系 u 哥 哥 . . x ´ 弟 弟 a . e f 0 σ x d 出生事件： t d ， 1 死亡事件： d ， t 2 Δ ´ ´ ´ t t t = 2 1 Δ t t t = 2 1 在k系d 处发生两个事件： 在静系中测得的时间间隔(寿命) 在动系中测得的时间间隔(寿命)

22. t u d c t u d c 2 2 1 2 t ´ = t ´ = β β 1 2 1 1 2 2 t t ´ Δ ´ ´ t t t 2 1 = = 2 1 β 1 2 Δ t Δ t ´ = Δ t > Δ t ´ β 1 2 由相对于事件静止的惯性系中测得的 Δ t 时间间隔，称为固有时间或原时。 运动事件经历的时间将延长。 固有时间最短。

23. ´ x x ´ l ´ = 在相对静止参照系中测得的物长 2 1 x x l = 在相对运动参照系中测得的物长 2 1 k k ´ u 哥 哥 . 弟 弟 a . e f x ´ x x ´ ´ 0 1 2 x 四、长度收缩

24. k k ´ 哥 哥 u . . 弟 弟 a . x ´ e f x x ´ ´ 0 1 2 x 在k中必须 同时测量 x u t ´ x = 1 β 2 x u t x u t x x x x ´ ´ 2 1 2 1 l0 = = = 2 1 1 1 1 β β β 2 2 2 < l l l0 1 = l β 2 动 静

25. 由相对于物体静止的惯性系中测得的 l0 ∵y y ´ = ∴Dy Dy ´ = < l l l0 1 = l β 2 动 静 物体，称为固有长度或原长。 运动物体的长度将收缩。 固有长度最长。 收缩效应只在运动方向上发生。

26. 一短跑选手，在地球上以10s的时间 跑完100m。在飞行速度为0.98c的飞船中的 观测者，这选手跑了多长时间和多长距离？ [例1] u Dt Dx c 2 Dt´ ´ = 1 β 2 ( ) 0.98c ( 100 ) c 2 10 0 0 50.25s = = 1 0.98 2 解：起跑是一个事件，到终点是另一个 事件，这是在不同地点发生的两个事件。 所以不能套用时间膨胀公式。

27. ( x x ) u ( t t ) ´ x x ´ 2 1 2 1 = 2 1 β 1 2 ( ) 0.98c 10 ( ) 100 0 0 = 1 0.98 2 m 1010 -1.48 = × 本题要计算起跑和到达终点两个事件并 不同时发生 ，所以不能套用长度收缩公式。 则：

28. [例2 ] 在静止的火箭上有一杆子长为 l = 1m与 x轴夹角为450。试问：当火箭以 中 国 航 天 3 u = c 2 y l 0 q =45 O x Z 运动时，在地面观察者此杆与X 轴 的夹角为多大？此杆长度为多大？

29. y ´ y l ´ l ´ ly ly ´ q q 中 国 航 天 中 国 航 天 O O 3 lx x x ´ lx ´ u = c z z ´ l l l 2 y x x u 2 2 3 1 1 ) 0.5 ( = = c 2 2 u u 2 2 1m, ´ q 450 q l 1 = 1 = l cos = = c c 2 2 0 45 0.5 0.354 1 cos = = × × ´ l = 0 q 1 45 0.707 sin sin = l = = y × ´ l tg y ´ q 2 q ´ 63.4 0 = = = ´ l x

30. y ´ y l ´ l ´ ly ly ´ q q 中 国 航 天 中 国 航 天 O O lx x x ´ lx ´ z z ´ ´ 0.354 l = x ´ 0.707 l = y ´ ´ ´ l l + l 2 0.790 m 2 = = x y

31. 有一个边长为 a的等边三角形。在以匀速 v相对于该三角形运动的参照系中，试求下面两种情况下的三角形的周长： (1) 参照系沿三角形的角平分线运动； [例3] (2) 沿着它的一条边运动。

32. 介子的平均 测得宇宙射线中的 [例4] m τ 0.997c 2.67 10-5 s u = = × 而在实验室中它的 × 寿命为 103 m 8 = × τ 2.67 10-5s， = × 2.2 10-6s = × τ 2 = u = c ( ) = 0.997c 1 τ u 2 1 c 2 τ τ τ 0 0 0 速度远小于光速，测得的平均寿命为 求介子的速度及飞行距离。 介子的飞行距离为：

33. 在 K 参照系中，时钟应以多大的速度运动，才能比静止时钟的时间在t=5.0s内(K系的时间)延迟 t = 0.10s？ Δ t0 Δ t = β 1 2 Dt0 2 Dt u = c ( ) = 0.198c 1 [例5] 解： ∵ 时钟相对 K 系在运动 在 K系中延迟后时间为： t=5.0s Dt = 5.0 s , ∴Dt0= 4.9 s 为固有时

35. [例3] 20-8 介子在K参照系中以v=0.990c的速度运动，从它产生的地点到衰变点的飞行距离l=3.0km。算出： (1)粒子本身的寿命； 从“粒子的观点”出发，在K系中飞行的距离。