定义设随机试验 E 的基本空间为 Ω ， X 和 Y 是定义在 Ω 上的两个随机变量，由它们构成的向量 ( X ， Y ) 叫做二维随机变量．

第一节二维随机变量 第三章多维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布函数定义设随机试验E的基本空间为Ω，X和Y是定义在Ω上的两个随机变量，由它们构成的向量(X，Y)叫做二维随机变量．二维随机变量 (X，Y) 可以看作是 xoy 面上的随机点，它们的取值是xoy 面上的一个定点（x，y）．(X，Y) 可能落在 xoy 面上的有限个点处，也可能落在 xoy 面上某个区域内的所有点上．我们把二维随机变量分成离散型和连续型两类．

定义设 (X，Y) 为二维随机变量，对任意实数 x，y，二元函数称为二维随机变量 (X，Y) 的分布函数，或称为X与Y的联合分布函数.．注：1°规定{ X ≤x , Y ≤ y }表示事件 { X ≤x }与{Y ≤ y }的积事件． 2°分布函数 F(x，y) 在点(x，y) 处的值，就是（X，Y）的取值落在矩形－∞＜ X ≤ x , －∞＜Y ≤ y上的概率．

二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x，y)具有性质：二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x，y)具有性质： 1°0≤F(x，y)，且对任意x，y有 . 2°F(x，y)是变量x和y的单调不减函数． 3°F(x，y)关于x右连续，关于y也右连续 4°(X，Y)落在矩形区域x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2上的概率为 .

设二维离散型随机变量 (X，Y) 所有可能取值为 记（*）且有则称（*）式为(X，Y)的概率分布或X与Y的联合分布律．二、二维离散型随机变量定义若二维随机变量 (X，Y) 所有可能取的值是有限对或可列无穷多对，则称 (X，Y) 为二维离散型随机变量．

Y y1y2y3. . . X x1 p11 p12 p13 . . . x2 p21 p22 p23 . . . x3 p31 p32 p33 . . . . . . . . . . . . . . .

例1设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定义两个随机变量如下例1设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定义两个随机变量如下 X 表示骰子出现的点数. 试求X与Y的联合分布律．解 (X，Y)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)．

同理 Y X 1 2 1 1 / 6 0 2 0 1 / 6 3 1 / 6 0 4 0 1 / 6 5 1 / 6 0 6 0 1 / 6 二维离散型随机变量(X，Y)的分布函数为 .

定义设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使对任意x,y有．则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X，Y)的概率密度或X、Y的联合概率密度．性质1．性质2 . 三、二维连续型随机变量

性质3在f(x,y)的连续点处有 ．性质4设G为xoy面上一个区域，点(X，Y)落在G内的概率为．例2设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（1）求k；（2）求分布函数F(x,y)；（3）求P{X＞Y}．解（1）由．而

则有k =6． （2）当 x＞0，y＞0时．对于其它点(x，y)，由于f (x,y)=0，则F(x,y)=0．于是

（3）以G表示区域{(x,y)|x＞y}，则有 1．均匀分布设D为xoy面上的有界区域，其面积为S，如果二维随机变量(X，Y)具有概率密度则称(X，Y)在区域D上服从均匀分布．四、均匀分布和正态分布

例3 设二维随机变量(X，Y)在 上服从均匀分布，求：（1） (X，Y)的概率密度；（2）．解（1）如图，区域D的面积为，因此 (X，Y)的密度为（2）记区域， ,

．则有． 2．正态分布设二维随机变量(X，Y)的概率密度为，

其中均为常数，且 ，则称(X，Y)服从参数为的二维正态分布，记作(X，Y) ~ ．例4 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为，求．解．

设(X，Y)的分布函数为F(x，y)，关于X的边缘分布函数为设(X，Y)的分布函数为F(x，y)，关于X的边缘分布函数为．关于Y的边缘分布函数为．设(X，Y)的联合分布律为，则第二节边缘分布一、二维随机变量(X，Y)的边缘分布函数二、二维离散型随机变量的边缘分布律

. 即关于X的边缘分布律为，关于Y的边缘分布律为 .

例1设(X，Y)的联合分布律为 Y X 1 2 1 1 / 6 0 2 0 1 / 6 3 1 / 6 0 4 0 1 / 6 5 1 / 6 0 6 0 1 / 6 求关于X、Y的边缘分布律．解, ， … … … ,

即关于X的边缘分布律为 X 1 2 3 4 5 6 P 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 , , 即关于Y的边缘分布律为 Y 1 2 P 1 / 2 1 / 2

例2设(X，Y)的联合分布律为 X 1 2 3 4 Y的边缘分布 Y 1 1 / 4 1 / 8 1 / 12 1 / 16 25 / 48 2 0 1 / 8 1 / 12 1 / 16 13 / 48 3 0 0 1 / 12 1 / 16 7 / 48 4 0 0 0 1 / 16 3 / 48 X的边缘分布律1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1

X的分布律 X 1 2 3 4 P 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 Y的分布律 X 1 2 3 4 P 25 / 48 13 / 48 7 / 48 3 / 48 设(X，Y)的联合概率密度为 f (x, y) ，则关于X 的边缘分布函数为，关于X 的边缘概率密度为． 1 D 三、二维连续型随机变量的边缘概率密度

同理，关于Y的边缘概率密度为 ．解如图D的面积为 . 因此(X，Y)的概率密度为当 0＜x＜1时，．当 x≤0 或 x ≥1时，．例3设(X，Y)在由曲线 y=x2 与 y=x 围成的区域 D 上服从均匀分布，求关于X、Y 的边缘密度．

因此同理练习1．设(X，Y) 在由 x=0，y=0，x+y=1围成的区域上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘分布． 2．设(X，Y) ~ ，即

关于X、Y的边缘密度分别为 即，．若(X，Y)的分布函数为F(x，y)，关于X、Y的边缘分布函数为FX(x)、FY(y)，则X与Y相互独立的充要条件是．第四节随机变量的相互独立性定义设(X，Y)是二维随机变量，若X与Y的联合分布等于边缘分布的乘积，则称X与Y相互独立．对于二维离散型随机变量(X，Y)，X与Y相互独立的充要条件是联合分布律等于边缘分布律的乘积，即

. 对于二维连续型随机变量(X，Y)，X与Y相互独立的充要条件是联合概率密度等于边缘概率密度的乘积，即定理设随机变量X与Y相互独立，则（1）对任意常数a，b，c，d，事件与相互独立；（2）对任意常数a，b，c，d，随机变量与相互独立；（3）X2 与Y2 相互独立；（4）对任意连续函数 h，g，随机变量与相互独立．例1第二节例1中的随机变量X与Y不相互独立，因为 , 而 , , .

例2设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 问X与Y是否相互独立？解对任意 x，y 有，即X与Y相互独立．例3设X与Y独立，，，求．

解 . . 例4设(X，Y) ~ ，证明X与Y相互独立的充要条件是．证： 1°充分性：设，则有，

而，于是，即X与Y相互独立． 2°必要性：设X与Y相互独立，即对任意x，y有，即 = ，特别令 , 则得，从而有．

一、的分布 例1设相互独立，，，求的分布．解的可取值为0, 1, 2,…，对任意正整数 k ，有第五节两个随机变量的函数的分布定义设 ( X,Y ) 是二维随机变量, z = f (x, y) 是二元函数，若当 (X,Y) 取值 (x, y) 时，随机变量 Z 取值为 z = f (x, y)，则称 Z 是X、Y 的函数，记作 Z = f (X,Y)．

即 . 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f ( x, y), 则Z = X+Y 的分布函数为由于，所以，

从而得到的概率密度为 ．同理可得．当 X 与 Y 相互独立时，有，或．解例2设 X、Y相互独立，均服从标准正态分布，求 Z = X + Y的概率密度．

即． 可以证明，若 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布，则 Z = X + Y 仍服从正态分布．例3设 X 与 Y 相互独立，且都在区间(0, 1)上服从均匀分布，求Z = X + Y的概率密度．

解由卷积公式有 (1) 当时，，此时． (2) 当时，，此时． (3) 当 2时，，此时． (4) 当时，，此时．因此

例4设随机变量 X 和 Y相互独立，并且都服从正态分布，求的分布．解设的分布函数为，当时，有

当时， . 综上

从而得到Z的密度为 二、及的分布设 X与 Y 相互独立，分布函数分别为、．则

定义 设随机试验 E 的基本空间为 Ω ， X 和 Y 是定义在 Ω 上的两个随机变量，由它们构成的向量 ( X ， Y ) 叫做二维随机变量．