§12 ． 4 线性微分方程

1. §12．4 线性微分方程 一、线性方程 齐次线性方程的解法 线性方程、 非齐次线性方程的解法 二、伯努利方程 伯努利方程、伯努利方程的解法：

2. 一、 线性方程 线性方程： 下列方程各是什么类型方程？ 方程 叫做一阶线性微分方程． 如果Q(x)0 ，则方程称为齐 次的，否则方程称为非齐次的． 方程 叫做对应于非齐次线性方程 的齐次线性方程．

3. 齐次线性方程的解法： 是变量可分离方程．分离变量得 解 这是齐次线性方程，分 离变量得 两边积分，得 两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC， 方程的通解为 yC(x2)． 这就是齐次线性方程和通解 （积分中不再加任意常数）．

4. 非齐次线性方程的解法： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把 设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得 于是非齐次线性方程的通解为

5. 再求所给方程的通解． 把C换成u，即令yu(x1)2， 代入所给非齐次线性方程，得 解 这是非齐次线性方程． 先求对应的齐次线性方程 的通解． 分离变量得 再把上式代入yu(x1)2中，即得 所求方程的通解为 两边积分得 ln y2ln (x1)ln C， 齐次线性方程的通解为 yC(x1)2．

6. R i 即 L ~ E K 例3有一个电路如图所示，其中电源电动势为E = Emsin w t (Em、w都是常数)，电阻R和电感L都是常量．求电流i(t)． 由回路电压定律得出 把EEmsinwt代入上式，得 初始条件为i|t00．

7. 问题归结为解初值问题 由通解公式，得 因此，所求函数i(t)为

8. 二、伯努利方程 伯努利方程： 伯努利方程的解法： 方程 以yn除方程的两边，得 叫做伯努利方程． 令z=y1-n，得线性方程 下列方程是什么类型方程？

9. 解 以y2除方程的两端，得 以y1代z，得所求方程的通解为 令zy1，则上述方程成为 这是一个线性方程，它的通解为

10. 经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化 为已知其求解方法的方程． 解 令xyu，则原方程化为 两端积分得 uln |u1|xC． 以uxy代入上式，得 yln |xy1|C， 或 xC 1eyy1 (C 1eC)．