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高三数学专题复习（ 8 ）

高三数学专题复习（ 8 ）. 江苏省宿豫中学：杨亚. 怎样求动点的轨迹方程. 复习目标：. 1. 在一轮复习的基础上，进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。 2. 培养思维的灵活性和严密性 3. 进一步渗透“数形结合”的思想. 课前预习 ：. 1. 已知向量 OP 与 OQ 是关于 y 轴对称 , 且 2 OP · OQ =1, 则点 P （ x ， y ）的轨迹方程是 _________ 。. y 2 -x 2 =1/2. 总结：所谓直接法即是根据已知条件探求动点所满足的等量关系，且把这个等量关系中各个变量用动点坐标表示出来，一般有五个步骤。.

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高三数学专题复习（ 8 ）

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  1. 高三数学专题复习（8） 江苏省宿豫中学：杨亚

  2. 怎样求动点的轨迹方程

  3. 复习目标： • 1.在一轮复习的基础上，进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。 • 2.培养思维的灵活性和严密性 • 3.进一步渗透“数形结合”的思想

  4. 课前预习： • 1.已知向量OP与OQ是关于y轴对称,且2OP·OQ=1,则点P（x，y）的轨迹方程是_________。 y2 -x2 =1/2 • 总结：所谓直接法即是根据已知条件探求动点所满足的等量关系，且把这个等量关系中各个变量用动点坐标表示出来，一般有五个步骤。

  5. 2设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点，另有A(1,0)，线段AQ的垂直平分线交直线CQ于点P，当点Q在圆上运动时，点P的轨迹方程为2设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点，另有A(1,0)，线段AQ的垂直平分线交直线CQ于点P，当点Q在圆上运动时，点P的轨迹方程为 x2/4+ y2/3=1 总结：在熟知各种曲线（如：圆，椭圆，双曲线，抛物线）定义的基础上，分析动点运动规律符合某已知曲线的定义，然后设其方程求出方程中的待定系数。

  6. 9x2/25+y2=1(y≠0） • 3.点P是以F1，F2为焦点的椭圆x2/25+y2/9=1上的动点，则△F1F2P的重心轨迹方程为: _______________________ • 总结：当动点M随着已知方程的曲线上另一个动点C（x0，y0）运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用（x，y）表示（x0，y0）再将x0，y0代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。

  7. y2=2x+4 (-2≤x≤2） 4.已知点P（x , y)满足x2+y2=4,则点Q（x y,x+y）的轨迹方程为： ___________________. • 总结：在求曲线方程时，如果动点坐标x，y关系不易表达，可根据具体题设条件引进一个（或多个）中间变量来分别表示动点坐标x，y，间接地把x，y的关系找出来，然后消去参数即可

  8. 归纳： • 由以上几个题目可以看出求动点的轨迹方程常用的方法有： 1.直接法; 2.定义法（和几何法联系） 3.相关点法; 4.参数法 求动点的轨迹方程中的注意点： 1.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。 2.注意平面几何知识的运用。 3.注意要求是求轨迹方程还是轨迹。

  9. 例题 • 1.设过点A（1，0）的直线与抛物线:x2=4y交于不同的两点P，Q，求PQ中点M的轨迹方程

  10. x=( x1+x2)/2=2k, 消去k得： y=(y1+y2)/2= 2k2-k • 解：法一 设P（x，y）设直线PQ的方程为y=k（x-1）代入抛物线方程x2=4y中，消去y并整理得： x2-4kx+4K=0，∴x1+x2=4k,x1x2=4k, ∴y1+y2=(x12+x22)/4=[(x1+x2)2-2x1x2]/4=4k2-2k, • y=(x2-x)/2=(x-1/2)2/2-1/8 • ∵直线PQ与抛物线有两个交点， • ∴△=16k2-16k＞0，所以：k＞1或 k ＜0， • ∴ x＞2或x ＜0, ∴点M的轨迹方程为： • y=(x2-x)/2（ x＞2或x ＜0 ）

  11. x12=4y1 x22=4y2得： y=1/2x(x-1) x2=4y • 法二： 设P(x1,y1),Q(x2,y2,)，P(x,y)，由P、Q均在抛物线上得： (y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/4=x1/2=K pq 又∵k pq=y/x-1 ∴y/x-1=x/2 ∴y=x(x-1)/2 由 得两交点坐标为（0，0），（2，1） ∵中点M必在抛物线内 ∴由图可知x＞2或x ＜0, ∴点M的轨迹方程为： y=(x2-x)/2（ x＞2或x ＜0 ）

  12. 变题： • 1、过抛物线x2=4y的焦点的弦PQ的中点的轨迹方程为______. • 2、过点A(1,0)的直线与圆x2+y2=1/4交于不同的两点P、Q，则PQ的中点轨迹方程为_______.

  13. 2.已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使向量MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程。（2002年天津考题）2.已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使向量MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程。（2002年天津考题）

  14. 解：设点p(x,y),由M(-1,0)N(1,0)得： MP=(x+1),MN=(2,0),PM=(-1-x,y), PN=(1-x,-y),NM=(-2,0),NP=(x-1,y) ∴ MP· MN= 2(x+1) ， PM · PN= (1-x)(-1-x )+y2， NM · NP= -2（ x-1） 由已知得： 2y2+2 (1-x)(-1-x )=2 (x+1)- 2（ x-1） -2（ x-1）- 2(x+1)＜0 ∴点P的轨迹方程为：x2+y2=3(x＞0)

  15. 巩固练习： 1、线段AB长为3，端点A，B分别在x轴与y轴上滑动，点分AB成2：1，则点P的轨迹方程。 x2+y2/4=1 2、动点P在直线x=1上，O为原点，以OP为直角边，点O为直角顶点，作直角三角形OPQ，则Q的轨迹为。 A 圆 B 双曲线 C 两条平行线 D 抛物线 C

  16. 总结： 请同学们自己完成

  17. 再 见

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