微分中值定理 拉格朗日定理及函数的单调性 函数的极值与最值 函数的凹凸性与拐点 函数图象的讨论

1. 第五章 微分学的基本定理及其应用 • 微分中值定理 • 拉格朗日定理及函数的单调性 • 函数的极值与最值 • 函数的凹凸性与拐点 • 函数图象的讨论

2. 第五章 微分学的基本定理及其应用 · 一 微分中值定理

3. 微 分中值定理

11. 小结：本节课主要讲了Rolle Th和Lagrange Th.它们是微分学中最重要的定理，是沟通函数与其导数之间的一座桥梁，是应用导数的局部性质研究函数整体性质的重要数学工具.一般来说，凡是涉及到函数与其导数的问题，首先应联想到微分中值定理.

12. 第五章 微分学的基本定理及其应用 二 拉格朗日定理和函数的单调性

13. 引 入 新 课 导数的几何意义： y y=f(x) α 0 x

14. 引例. 解： y P B x 0 A 注：这个例题反映了一个一般事实，可以写成下面的定理。

15. 定理：如果函数y=(x)满足， 10.在（a、b)上连续 20.在（a、b)内可导，则至少存在一点 使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。 一.拉格朗日中值定理 新 课 讲 授 推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0 则在此区间内f(x)≡c(常数）。 注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。

16. ∴ξ 例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉  格朗日中值定理的ξ值。 解： f(1)-f(0)=3 ∴2ξ+2=3 练习1：下列函数中在区间[-1、1]上满足拉格朗日中值  定理条件的是______ 1)f(x)=ln(1+x) 2)f(x)=|x| 4)f(x)=arctanx

17. 二.函数单调性的判定法 A B y y y=f(x) y=f(x) A B a a b 0 0 b x x 几何特征： f '(x)>0 f '(x)<0 定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导. 1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。

18. 证明 在(a、b)内任取两点x1,x2且x1<x2.则在[x1、x2]上 函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。 ∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1) ξ∈(x1、x2) 若f’(x)>0,则f’(ξ)>0又x2-x1>0 ∴f(x2)>f(x1) ∴y=f(x)在[a、b]上单调增加 同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少 注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。 2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f '(x)>0(或 f '(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少).

19. 例1. 判定y=x3的单调性 y'=3x2 解： 当x=0时 y'=0 当x≠0时 y'>0 ∴x∈(-∞,+∞) y单调增加 y 例2.判断下列函数的单调性 0 x

20. 解： 1） 定义域为(-∞、+∞) 2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令 f'(x)=0 得x1=1 x2=2 3)列表： 1 （1、2） 2 (2、+∞) (-∞、1) x y' + 0 0 - + y 4）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞） 单调减区间为（1、2）。 练习：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。

21. 例4： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞). 解： 3)列表: (-∞、-2) -2 （-2、-1） （-1、0） 0 (0、+∞) x y’ 0 0 + + - - y 4） 由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞) 单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。

22. 小 结 与 作 业 三.小结与作业 1.拉格朗日中值定理及推论. 2.函数单调性的判定方法与步骤.

23. 第五章 微分学的基本定理及其应用 三 函数的极值与最值

24. 复习引入 1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间. 解： 1）函数f(x)的定义域为（-∞，+∞） 2）又f’(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f’(x)=0,得x=1或x=2. 3） 2 x (-∞，1) (1，2) (2，+∞） 1 0 0 - + f’(x) + f(x) 4）单调增区间为(-∞，1]和[2，+∞） 单调减区间为[1，2]

25. 2.根据单调性画出函数f(x)的草图 y f’(1)=0 2 f’(2)=0 1 0 x 1 2 -1 -2 由图知：f(x)在x=1处的函数值大于它近两旁各点的函数值；  而f(x)在x=2处的函数值小于它近两旁各点的函数值。

27. 极大值, 极大值点. 极小值, 极小值点. 讲授新课 一.极值的概念 • 定义：设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b) 极大值 极大值点 极值 极值点 极小值 极小值点 注：1）极值是指函数值，而极值点是自变量的值； 2）函数的极值概念具有局部性；在小范围内相比比较  而言该点的函数值较大，而不是在整个定义域上最  大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大。 3）函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。

28. y y + - - + x0 0 x 0 x0 x 几何特征： f’(x)从-到+ f’(x)从+到- 结论：1）f(x)在x0处有极值且可导，则f’(x0)=0 2）f(x)在x0处有极值且可导，则f’(x0)在x0的左右 两旁的符号要改变。

29. 极大值. 极小值. 二.判定定理 • 定理:

30. 极值的求法： 1）求出函数f(x)的定义域； 2）求出函数f(x)的导数f'(x)； 3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部驻点。 4）用驻点把函数的定义域划分成若干个部分区间， 考察每个部分区间内f’(x)的符号，以确定该驻点 是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。

31. 例题与练习 解： 3 x -3 (-∞，-3) (-3，3) (3，+∞） f’(x) 0 - + 0 + 极大值 22 极小值 -14 f(x) 由上表得 极大值f(-3)=22, 极小值f(3)=-14 练习1. 求函数y=xln2x

32. 例2.求函数f(x)=(x2-1)3的极值 解： 1 0 (0，1） (1，+∞) x -1 (-∞，-1) (-1，0) f’(x) - - 0 0 + + 0 极小值 -1 f(x) 练习2.

33. 解： x f’(x) - + 0 极大值 f(x) 练习3.

34. 例4：求函数f(x)=x3-3x2-9x+5在[-2，6]上的极值. 解： (1)f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3) (2)令f'(x)=0， (3)列表考察f'(x)的符号 x (-2，-1) -1 (-1，3) (3，6) 3 - + f'(x) 0 0 + 极大值 10 极小值 -22 f(x) 草图： (4)极小值f(3)=-22,极大值f(-1)=10 y 由图知，极大值为10 但不是最大值。 (6,59) (-1,10) 10 (-2,3) 问题：求f(x)=x3-3x2-9x+5 在[-2，6]上的最大(小)值. 3 x 0 -2 -1 6 (3,-22)

35. 三.函数的最值 函数最大值和最小值的一般求法： (一) y=f(x) x∈[a,b] (1)求出f(x)的导数f'(x)； 令f'(x)=0，求出驻点； (2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值； (3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最大值.

36. 三.函数的最值 函数最大值和最小值的一般求法： (一) y=f(x) x∈[a,b] (1)求出f(x)的导数f'(x)； 令f'(x)=0，求出驻点； (2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值； (3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最大值.

37. 三.函数的最值 函数最大值和最小值的一般求法： (一) y=f(x) x∈[a,b] (1)求出f(x)的导数f'(x)； 令f'(x)=0，求出驻点； (2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值； (3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最大值.

38. (三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤： (1).根据题意建立函数关系式. (2).确定函数的定义域.. (3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值. 例3.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边 为圆的弦，问应这样设计，才能使梯形的面积最大？ 解： 练习3.求半径为R的半圆的内接矩形的最大面积.

39. 例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元) 问生产多少个单位时获得的利润最大？ 解： (1)函数关系式为P(x)=5000+x-0.00001x2 (x>0). (2)P’(x)=1-0.00002x (3)令P’(x)=0得驻点x=5×104 ∵x=5×104是唯一驻点，又利润最大值存在. ∴当生产5×104个单位时获得的利润最大. 练习：

40. 小结与作业 求函数极值的步骤： 1）求出函数的定义域； 2）求出函数f(x)的导数f'(x)； 3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部驻点。 4）列表考察f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点， 并由极值点求出函数的极值。

41. 小结与作业 最值问题的两种类型： 1.已知函数解析式及闭区间求最值. 令f'(x)=0，求出驻点； (1)求出给定解析式的导数f'(x)； (2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值； (3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最大值. 2.实际问题求最值. (1)根据题意建立函数关系式y=f(x)； (2)根据实际问题确定函数的定义域； (3)求出函数y=f(x)的导数，令f‘(x)=0，求出驻点； 若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数 存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.

42. 第五章 微分学的基本定理及其应用 四 函数的凹凸性与拐点

43. y=f(x) y=f(x) 复习引入 1.函数y=f(x)单调性的判定 y y p y0 y0 p x x x0 x0 o o K切=f '(x)>0 y单调递增 K切=f '(x)<0 y单调递减 2.几何特征Ｉ 凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方. 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.

44. x x x x x x 2 3 1 2 3 1 θ θ θ θ θ θ 3 2 3 1 1 2 曲线的凹凸与拐点 讲授新课 一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. y y • • • • • • x x a a b o o b 1.几何特征Ⅱ 凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大. 凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.

45. 曲线y=f(x)的凹凸性可以用f′的单调性来判定. 即y=f(x)的凹凸性与f″ 的符号有关. (x) (x) 设f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数f″ . (x) (x) (2)如果在(a,b)内f″ <0,那么曲线在(a,b)内 是凹的. (x) (1)如果在(a,b)内f″ >0,那末曲线在(a,b)内 是凸的. 2.结论: 二.定理: 三.定义: 连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的 分界点称为拐点.

46. 例1.判定y=ax²+bx+c的凹凸性. (a≠0) 解: 定义域为(−∞,+∞) y'=2ax+b y"=2a 当a>0时，y">0,曲线y=ax²+bx+c在 (−∞,+∞)内是凸的. 当a<0时，y"<0,曲线y=ax²+bx+c在 (−∞,+∞)内是凹的. 注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口 方向相结合。

47. 1.y=x4−2x³+1 （3）令y"=0, 得x =0,x =1 1 2 拐点 （1，0） 拐点 （0，1） 例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点 解：（1）定义域为（−∞,+∞） y"=12x²−12x=12x(x−1) （2）y'=4x³−6x² （4）列表 x （−∞，0） （0，1） （1，+∞） 0 1 y″ 0 0 − + + y ∪ ∪ ∩ ∴已知曲线的凸区间为（−∞，0）∪（1，+∞）， 凹区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.

48. 2.y=(2x-1) +1 4 （1）y=3x −4x³+1 4 解：（1）定义域为（−∞，+∞） y"=48(2x-1)² （2）y'=8(2x-1)³ （3）显然x∈(−∞,+∞), y"≥0 ∴凸区间（−∞，+∞），无拐点 1.下列结论是否正确 练习 （1）.由f"(x0)=0所确定的点(x0,f(x0))一定是拐点. （2）.若函数f(x)在(a,b)内二次可导,且f'(x)<0, f"(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)单调递减 且凸向上. 2.求下列曲线的凸区间与拐点 （2）y=ln(1+x²)

49. 小结: 1.如何来研究函数的凹凸性. 2.凹与凸的定义 , 拐点的定义. 3.凹与凸的判定.

50. 第五章 微分学的基本定理及其应用 五 函数图象的讨论