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对数函数

对数函数. y. y=a x (a>1). y=a x (0<a<1). y. 图 象. a > 1. 0 < a < 1. y=1. (0,1). y=1. (0,1). x. x. 0. 0. 性 质. 值 域 : ( 0 , + ). 8. 一般的 , 函数 y = a x ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做 指数函数 , 其中 x 是自变量 . 函数的定义域是 R. 复习. 定 义 域 : R.

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Presentation Transcript

  1. 对数函数

  2. y y=ax (a>1) y=ax (0<a<1) y 图 象 a > 1 0 < a < 1 y=1 (0,1) y=1 (0,1) x x 0 0 性 质 值 域 : ( 0 , + ) 8 一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R. 复习 定 义 域 : R 过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 在 R上是增函数 在 R上是减函数

  3. 求指数函数 y ＝ ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )的反函数 问题 解 指数式和对数式的互化： 将 ab＝N化成对数式,会得到logaN ＝ b 从 y ＝ ax 可以解得：x ＝ logay 因此指数函数 y ＝ ax 的反函数是 y＝logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 又因为 y ＝ ax 的值域为（0，＋∞） 所以 y＝logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 的定义域为（0，＋∞）

  4. 函数 y = logax (a＞0,且a≠1)是指数函数y = ax的反函数 结论 函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数， 其中 x是自变量，函数的定义域是（ 0 , +∞） 对数函数和指数函数互为反函数

  5. 问题:作出函数 y ＝ log 2 x 和函数 y ＝log x的图像. y＝log2x y＝ 2x y= log x y =( ) x y =( ) x 的反函数为 的反函数为 y y 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 x x 0 -3 -2 -1 0 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -1 -2 -3 y＝ 2x y＝x y＝x y＝log2x y= log x 分析:互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称

  6. y = log2x 两个对数函数 的图象特征 和性质的分析 y = log x 图象特征 函数性质 y ㈠ 0 x 1 ㈡ 定义域是( 0,＋∞） 图像都在 y 轴右侧 1 的对数是 0 图像都经过 (1,0) 点 当底数a＞1时,x＞1 , 则logax＞0 0＜x＜1 ,则 logax＜0 当底数0＜a＜1时,x＞1 , 则logax＜0 0＜x＜1 ,则logax＞0 图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左边的纵坐标都小于0; 图像㈡则正好相反 自左向右看, 图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降 当a>1时,y=logax在(0,+∞)是增函数 当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)是减函数

  7. a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 y x＝1 y y=logax (a＞1) 图 象 性 质 0 0 (1,0) x x y=logax (0＜a＜1) (1,0) 讲解 对数函数的图象和性质 定义域 : ( 0 ,+∞) 值 域 : R 过点 ( 1 , 0 ) , 即当 x ＝1时, y＝0 在 ( 0 ,+∞)上 是增函数 在 ( 0 ,+∞)上 是减函数

  8. 例1 比较下列各组数中两个值的大小： ⑴ log 23.4 , log 28.5 　　⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 　　⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 例题 解　⑴考察对数函数 y = log 2x， 因为它的底数2＞1, 所以它在(0,+∞)上是增函数, 于是log 23.4＜log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x， 因为它的底数为0.3, 即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 0.31.8＞log 0.32.7

  9. ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 例题 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是log a5.1＞log a5.9 注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

  10. 比较下列各题中两个值的大小 ⑴ log106 log108 ⑵ log0.56 log0.54 ⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.51.6 log1.51.4 练习 ＜ ＜ ＞ ＞

  11. 例2 比较下列各组中两个值的大小: ⑴log 67 ,log 7 6 ;⑵log 3π ,log 2 0.8 例题 提示: log aa＝1 解: ⑴∵log67＞log66＝1 log76＜log77＝1 　 ∴log67＞log76 提示: log a1＝0 ⑵∵log3π＞log31＝0 log20.8＜log21＝0 ∴ log3π＞log20.8 注：例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小。 当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一 个已知数(如1或0等)，间接比较上述两个对数的大小

  12. 例3、求下列函数的定义域 (1) y=loga(x2-3x+2) 例题 解 (1) ∵ x2-3x+2>0 ∴ x>2或x<1 ∴函数的定义域是{x|x>2或x<1} (2)依题意，可知 ∴-2<x<-1或1<x<3 ∴函数的定义域是 {x| -2<x<-1或1<x<3}

  13. 小结目录 对数函数的定义 对数函数的图象和性质 比较两个对数值的大小

  14. 对数函数定义 小结 函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域是（ 0 , +∞）

  15. y = log2x 两个对数函数 的图象特征 和性质的分析 y = log x 图象特征 函数性质 y ㈠ 0 x 1 ㈡ 定义域是( 0,＋∞） 图像都在 y 轴右侧 1 的对数是 0 图像都经过 (1,0) 点 当底数a＞1时,x＞1 , 则logax＞0 0＜x＜1 ,则 logax＜0 当底数0＜a＜1时,x＞1 , 则logax＜0 0＜x＜1 ,则logax＞0 图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左边的纵坐标都小于0; 图像㈡则正好相反 自左向右看, 图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降 当a>1时,y=logax在(0,+∞)是增函数 当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)是减函数

  16. 比较两个对数值的大小 小结 ㈠ 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断. ㈡ 若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. ㈢ 若底数、真数都不相同,则常借助1、0、－1等中间量进行比较　

  17. SEE YOU

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